Développements limités

Auteurs: Marc Fouchard, Jérôme Thiébaut, S. Renner, Stéphane Erard

Lentille gravitationnelle
Ex : Lentille gravitationnelle
Repérage des astres
Ex: Repérage des astres
Equation de Kepler
Ex: Equation de Kepler
Effet de marée et limite de Roche
Ex: Effet de marée et limite de Roche
Générateur de coefficients de Taylor
Ex: générateur de coefficients de Taylor
Limites de la loi de Planck
Ex: Limites de la loi de Planck

Lentille gravitationnelle

Auteur : Jérôme Thiébaut

L'idée de base de la relativité générale est que la matière, par sa masse, courbe l'espace. Ainsi, une planète orbitant autour d'une étoile n'est pas soumise à une force de gravitation mais circule librement sur un espace courbé par l'étoile. Il s'ensuit que la lumière, bien que dépourvue de masse, est également déviée par la présence d'un corps massif. Si un corps massif se situe entre une galaxie lointaine et un observateur, celui ci va donc dévier la lumière de la galaxie et déformer son image. C'est ce qu'on appelle une lentille gravitationnelle. Dans le cas où les trois objets sont parfaitement alignés, l'image de la galaxie se déforme pour former un anneau autour de la lentille appelé anneau d'Einstein. Le but de cet exercice est de déterminer le diamètre angulaire de cet anneau en fonction des caractéristiques du système (masse et distances).

Lentille Gravitationnelle

Lentille gravitationnelle : la déviation de la lumière par un fort potentiel gravitationnel (l'amas de galaxies 0024+1654) conduit à de multiples images d'un objet situé derrière le centre de masse du déflecteur.

Crédit : HST

Ex : Lentille gravitationnelle

Auteur: Jérôme Thiébaut

Lentille gravitationnelle

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

La figure montre le schéma du principe d'une lentille gravitationnelle. La source, S, est déviée par la lentille, L, et son image, I, est donc vue par l'observateur, O, selon un angle theta_I au lieu de theta_S .

Principe d'une lentille gravitationnelle

Crédit : Jérôme Thiébaut

Question 1)

Exprimer les distances AS et AI en fonction des angles theta_S et theta_I et de la distance OS.

Question 2)

Les calculs relativistes montrent que la distance SI vaut alpha*LS où l'angle de déviation, alpha , vaut 4GM/c^2*theta_I*OL , avec G la constante de gravitation, M la masse de la lentille et c la vitesse de la lumière. Dans l'approximation des petits angles, déterminer l'équation du second degré à laquelle obéit theta_I en fonction de theta_S , et des grandeurs caractéristiques du système, LS, OS, OL et M.

Question 3)

Dans le cas où la source, la lentille et l'observateur sont parfaitement alignés, déterminer le rayon angulaire (rayon d'Einstein) sous lequel sera vu la source toujours en fonction des grandeurs caractéristiques du système.

Repérage des astres

Auteur : S. Renner

Date de création: 30 novembre 2009

On propose ici un exercice en lien avec le passage des coordonnées locales (ou horizontales) aux coordonnées horaires (angle horaire et déclinaison).

Il est donc préférable de se familiariser avec les systèmes de coordonnées utilisés en astronomie pour le repérage des étoiles dans le ciel, ainsi qu'avec les formules de base de la trigonométrie sphérique.

Ex: Repérage des astres

Auteur: S. Renner

Repérage des astres

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

Dans le triangle sphérique PZM (voir la fiche de résolution du triangle sphérique), on obtient des relations qui permettent de passer des coordonnées horizontales aux coordonnées horaires, et inversement.

Question 1)

La distance zénithale dépendant seulement de la variable (angle horaire), démontrer que ${dz \over dH} = \cos \phi \sin a$ , puis ${da \over dH} = {\cos \delta \cos S \over \sin z}$ .

Question 2)

En déduire qu'au voisinage du passage au méridien d'un astre, sa distance zénithale varie comme le carré de l'angle horaire (en se limitant au 2ème ordre).

Equation de Kepler

Auteur : Marc Fouchard

Dans le problème de deux corps (voir cet exercice), on sait que le déplacement d'un corps par rapport à l'autre se fait sur une conique dont le deuxième corps occupe l'un des foyers (voir aussi cet . Une fois la conique fixée il ne reste alors qu'à positionner le corps sur son orbite. Pour cela on utilise une quantité qu'on appelle anomalie. On définie trois types d'anomalie: l'anomalie moyenne, l'anomalie vraie et l'anomalie excentrique.

Les trois anomalies

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Bessou Fouchard

L'animation ci-dessus montre le lien entre les 3 anomalies. Comme on peut le voir, l'anomalie moyenne correspond en fait à un temps. Il n'existe pas de relation géométrique entre l'anomalie moyenne et les autres anomalies. En revanche, il existe une relation (voir cet exercice), appelée équation de Kepler, qui relie l'anomalie moyenne à l'anomalie excentrique. Cette relation est:

$M=E-e\sin E$ ,

où est l'anomalie moyenne, l'anomalie excentrique et l'excentricité de la trajectoire.

On voit que connaissant il est facile d'avoir , mais en revanche connaissant il n'est pas possible d'avoir sous forme analytique. L'objet de cette exercice est justement de déterminer un algorithme puissant d'inversion de cette équation.

Ex: Equation de Kepler

Auteur: Marc Fouchard

Equation de Kepler

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h30

Question 1)

On souhaite résoudre une équation du type f(x)=0 . Soit une solution à l'équation. On supposera dans la suite que, sur un intervalle contenant , ne s'annulle jamais et que est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur cet intervalle. Soit x_n , la suite définie par :

$x_{n+1}=x_n+\delta_n$ ,

avec $\delta_n$ , la solution de $f(x_n)+\delta_n f'(x_n)+\cdots+\frac{\delta^n}{k!}f^{(k)}(x_n)=0$ ( étant fixé).

On souhaite montrer que si la suite x_n converge vers , alors elle converge au moins avec l'ordre k+1 .

Calculer $f(x_{n+1})$ en fonction de $\delta_n$ et un nombre $\zeta_1 \in \lbrack x_n,x_{n+1}\rbrack$ .

Question 2)

Soit $\epsilon_{n+1}$ l'erreur de $x_{n+1}$ définie par $\epsilon_{n+1}=a-x_{n+1}$ . Cacluler $\epsilon_{n+1}$ en fonction de $\delta_n$ , $\zeta_1$ et un nombre $\zeta_2 \in \lbrack x_{n+1},a\rbrack$ .

Question 3)

Montrer que:

$\frac{\epsilon_n}{\delta_n}=\frac{f'(x_n)}{f'(\zeta_3)}+\frac{\delta_n}{2!}\frac{f''(x_n)}{f'(\zeta_3)}+\cdots+\frac{\delta_n^{k-1}}{k!}\frac{f^{(k)}(x_n)}{f'(\zeta_3)}$ , avec $\zeta_3$ un nombre entre et x_n .

Question 4)

En déduire que $\lim_{n\to +\infty}\frac{\epsilon_n}{\delta_n}=1$ .

Question 5)

En déduire que $\lim_{n\to+\inty}\frac{\epsilon_{n+1}}{\epsilon_n^{k+1}}=-\frac{1}{(k+1)!}\frac{f^{(k+1)}(a)}{f'(a)}$ , et que la suite x_n converge vers au moins à l'ordre k+1 .

Question 6)

Il nous faut maintenant calculer la solution $\delta_n$ de l'équation qui le défini. Avant tout, jusitfier pourquoi il suffit d'avoir une solution approxée à $\delta_n^{k+1}$ près.

Question 7)

Montrer que pour k=3 , on a:

$\delta_n=-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)+\frac{1}{2}\delta_n f''(x_n)+\frac{1}{6}\delta_n^2f'''(x_n)}$

Question 8)

Montrer qu'en utilisant la séquance suivante:

$\delta_{n1}=-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ ,

$\delta_{n2}=-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)+\frac{1}{2}\delta_{n1}f''(x_n)}$ ,

$\delta_{n3}=-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)+\frac{1}{2}\delta_{n2}f''(x_n)+\frac{1}{6}\delta_{n2}f'''(x_n)}$ ,

on obtient une approximation de $\delta_n$ à $\delta_n^4$ près. On pourra procéder par étape en montrant que $\delta_n-\delta_{n1}=\mathcal{O}(\delta_n^2)$ , puis que $\delta_n-\delta_{n2}=\mathcal{O}(\delta_n^3)$ et enfin que $\delta_n-\delta_{n3}=\mathcal{O}(\delta_n^4)$ .

Question 9)

Montrer que l'on peut appliquer l'algorithme précédent pour inverser l'équation de Kepler sur l'intervalle $[0,2\pi]$ . Aplliquer l'algorithme à quelque exemple et remarquer qu'on obtient une erreur inférieure à $10^{-12}$ en moins de 4 itérations.

Effet de marée et limite de Roche

Auteur : S. Renner

Date de création: 31 janvier 2011

On cherche à déterminer la distance, que l'on notera d_R , en dessous de laquelle un satellite commence à se disloquer sous l'action des forces de marée causées par la planète autour de laquelle il orbite.

Cette distance théorique s'appelle la limite de Roche. Elle tire son nom de l'astronome français qui l'a formulée en 1850.

Ex: Effet de marée et limite de Roche

Auteur: S. Renner

Effet de marée et limite de Roche

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

On se place dans un référentiel galiléen centré sur la planète, supposée sphérique, homogène, de masse , rayon , et masse volumique $\rho_P$ .

On suppose que le satellite est constitué de deux sphères homogènes identiques (de masse , de rayon et de masse volumique $\rho$ ), et qu'il est en orbite circulaire de rayon autour de la planète.

Bilan des forces agissant sur une masse

dans le repère lié à la planète (supposé galiléen) : ${\bf F_{P1}}$ est la force d'attraction gravitationnelle de la planète, ${\bf F_m}$ celle de la deuxième sphère de masse

, ${\bf C_1}$ la force de contact entre les deux sphères.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Renner

Question 1)

En appliquant le principe fondamental de la dynamique (PFD) au système des deux masses , montrer qu'au premier ordre en r/d la vitesse angulaire de la comète est $\displaystyle \omega = \sqrt{\frac{G M}{d^3}}$ .

Question 2)

Appliquer le PFD à l'une des masses , et trouver un critère de fragmentation du satellite (contact rompu entre les deux sphères) au premier ordre en r/d .

Question 3)

En déduire l'expression de la limite de Roche d_R en fonction de , , , puis en fonction de $\rho_P$ , $\rho$ , .

Question 4)

Retrouver l'expression de la limite de Roche en écrivant que la différence de force entre les deux masses due à l'attraction gravitationnelle de la planète est supérieure à la force de gravitation mutuelle entre les deux sphères.

Générateur de coefficients de Taylor

Auteur : Marc Fouchard

Date de création: 8 Mai 2013

En astronomie on a souvent besoin de reproduire le mouvement des objets en effectuant des intégraitons numériques. Quelque soit la méthode, elle repose toujours sur des approximations et elle nécessite un certain temps de calcul. Ainsi l'objectif d'une méthode est de trouver le meilleur compromis entre temps de calcul et précision.

Une méthode très performante est la méthode dite de Taylor.

Soit l'équation différentielle suivante :

$\mathbf{y}' = f(t,\mathbf{y}), \quad \mathbf{y}(t_0)=\mathbf{y}_0$ .

Soit , un pas d'intégration. Le but est de trouver $\mathbf{y}(t_0+h)$ avec la meilleure précision possible.

La méthode de Taylor repose sur le développement de $\mathbf{y}$ en t_0 :

$\mathbf{y}(t_0+h)=\mathbf{y}(t_0) + \mathbf{y}'(t_0) h + \frac{1}{2!}\mathbf{y}''(t_0) h ^2 + \cdots + \frac{1}{k!}\mathbf{y}^{(k)}(t_0) h^k + \cdots$

Le problème principal est donc d'estimer les coefficients du développement de Taylor de la solution.

Ex: générateur de coefficients de Taylor

Auteur: Marc Fouchard

Générateur de coefficients de Taylor

Difficulté : ☆☆ Temps : 30mn

Question 1)

Soit , une fonction analytique. On note (f)_i , le ème coefficient de Taylor de la fonction en t_0 défini par :

$(f)_i = \frac{f^{(i)}(t_0)}{i!}$ .

Soit et , deux fonctions analytiques, déterminer $(p \pm q )_i$ et (pq)_i

Question 2)

Déterminer $\left(\frac{p}{q}\right)_i$ .

Question 3)

Montrer que :

$(p^a)_i=\frac{1}{p}\sum_{r=0}^{i-1} \left ( a -\frac{r(a+1)}{i}\right) (p)_{i-r}(p^a)_r$

Limites de la loi de Planck

Auteur : Stéphane Erard

Date de création: 30 Mai 2013

La loi de Planck donne l'expression exacte du spectre du corps noir. Historiquement elle a été dérivée après des approximations valables aux grandes et courtes longueurs d'onde, qui sont toujours utilisées dans certaines situations. L'exercice propose de retrouver ces approximations à partir de la loi complète.

Ex: Limites de la loi de Planck

Auteur: Stéphane Erard

Limites de la loi de Plack

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

On connaît la luminance du corps noir en fonction de la longueur d'onde, donnée par la loi de Planck (voir par exemple l'exercice sur la loi de Wien) : $B_{\lambda} = \frac{2hc^2}{\lambda^5 (e^{hc/kT\lambda} -1) }$

où est la vitesse de la lumière dans le vide, la constante de Planck, la constante de Boltzmann, $\lambda$ la longueur d'onde et la température du corps noir.

Cette expression donne la luminance directionnelle, en $W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,\mu m^{-1}$ , du corps noir à toutes les longueurs d'onde.

Question 1)

Donner une expression de cette loi à courtes longueurs d'onde. Cette expression est connue sous le nom de loi ou distribution de Wien.

Question 2)

Donner une expression de cette loi à grandes longueurs d'onde. Cette expression est connue sous le nom de loi de Rayleigh-Jeans. Commentaire ?

Question 3)

Tracer les graphiques de ces deux expressions et de la loi de Planck en échelle log/log, comparer. Quel problème pose l'approximation de Rayleigh-Jeans ?

Réponses aux exercices

pages_dl/lensing-ex.html

Exercice 'Lentille gravitationnelle'

Question 1
Solution :
Question 2
Solution :
AI=AS+SI
Question 3
Aide :
Dans le cas d'un alignement, .

Solution :

pages_dl/exo-reperage-astre.html

Exercice 'Repérage des astres'

Question 1
Solution :
$\cos z = \sin \phi \sin \delta + \cos \phi \cos \delta \cos H$

Donc $- \sin z {dz \over dH} = - \cos \delta \sin H \cos \phi = - \sin z \sin a \cos \phi$ (formule des sinus).

Finalement, ${dz \over dH} = \cos \phi \sin a$ .

D'autre part, d'après la formule des sinus, $\cos \delta \sin H = \sin z \sin a$ .

On dérive par rapport à H: $\cos \delta \cos H = \cos z {dz \over dH} \sin a + \sin z \cos a {da \over dH} = \cos z \sin^2 a \cos \phi + \sin z \cos a {da \over dH}$ .

On a aussi: $\cos \delta \cos H = \cos \phi \cos z + \sin \phi \sin z \cos a$ .

Donc ${da \over dH} = \big{(} \cos \phi \cos z \cos a + \sin \phi \sin z \big{)} / \sin z$ , et finalement ${da \over dH} = {\cos \delta \cos S \over \sin z}$ .
Question 2
Solution :
Au passage au méridien: $a = H = \delta = 0, z = \phi - \delta$ .

Donc ${dz \over dH} = 0$ et $z = z (H=0) + {1 \over 2} {d^2 z \over dH^2} \Delta H^2$ .

Or ${d^2 z \over dH^2} = \cos a \cos \phi {da \over dH} = \cos a \cos \phi {\cos \delta \cos S \over \sin z}$ .

Donc ${d^2 z \over dH^2} (H=0) = {\cos \delta \cos \phi \over \sin (\phi - \delta)}$ , et finalement: $z = z (H=0) + {1 \over 2} {\cos \delta \cos \phi \over \sin (\phi - \delta)} \Delta H^2$ .

pages_dl/eq-kepler-exo.html

Exercice 'Equation de Kepler'

Question 1
Solution :
On a, d'après la formule de Taylor avec reste, $f(x_{n+1})=f(x_n+\delta_n)=f(x_n)+\delta_n f'(x_n)+\cdots+\frac{\delta_n^k}{k!}f^{(k)}(x_n)+\frac{\delta_n^(k+1)}{(k+1)!}f^{(k+1)}(\zeta_1)$ , avec $\zeta_1$ compris entre et $x_{n+1}$ . D'après la définition de $\delta_n$ , on obtient: $f(x_{n+1)}=\frac{\delta_n^(k+1)}{(k+1)!}f^{(k+1)}(\zeta_1)$ .
Question 2
Solution :
On a $0=f(a)=f(x_{n+1}+\epsilon_{n+1})=f(x_{n+1})+\espilon_{n+1}f'(\zeta_2)$ , avec $\zeta_2$ un nombre entre $x_{n+1}$ et . En combinant avec l'expression de $f(x_{n+1})$ obtenue précédemment, et sachant que d'après nos hypothèses $f'(\zeta_2)\neq 0$ , on obtient:

$\epsilon_{n+1}=-\frac{\delta_n^{k+1}f^{(k+1)}(\zeta_1)}{(k+1)! f'(\zeta_2)}$ .
Question 3
Solution :
On a $0=f(x_n+\epsilon_n)=f(x_n)+\epsilon_n f'(\zeta_3)$ avec $\zeta_3$ compris entre et . En remplaçant par $-\epsilon_n f'(\zeta_3)$ dans l'équation définissant $\delta_n$ et en divisant par $\delta_n f'(\zeta_3)$ (ce que l'on peut faire puisque, d'après nos hypothèses, $f'(\zeta_3)\neq 0$ ) on obtient l'expression voulue.
Question 4
Solution :
On sait par hypothèse que $\lim_{n\to+\infty}x_n=a$ . Donc d'après la définition de $\zeta_3$ , on a aussi $\lim_{n\to +\infty} \zeta_3=a$ . Comme est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur , sa dérivée première est continue, donc $\lim_{n\to+\infty}\frac{f^'(x_n)}{f'(\zeta_3)}=\frac{f'(a)}{f'(a)}=1$ . Dautre part on a $\lim_{n\to+\infty}\delta_n=0$ donc, d'après l'expression obtenue précedemment pour $\frac{\epsilon_n}{\delta_n}$ , on a bien la limite demandée.
Question 5
Solution :
On a:

$\lim_{n\to +\infty}\frac{\epsilon_{n+1}}{\epsilon_n^{k+1}}=\lim_{n\to +\infty} -\frac{\delta_{n}^{k+1}}{\epsilon_n^{k+1}}\frac{1}{(k+1)!}\frac{f^{(k+1)}(\zeta_1)}{f'(\zeta_2)}=-\frac{1}{(k+1)!}\frac{f^{(k+1)}(a)}{f'(a)}$ .

La première égalité vient de l'expression de $\epsilon_{n+1}$ en fonction de $\delta_{n}$ calculée prcédemment et la deuxième découle de la continuité des dérivées successives de et de la définition de $\zeta_1$ et $\zeta_2$ .

La conlusion découle de la définition de la convergence à l'ordre .
Question 6
Solution :
En effectuant la différence entre les deux équations définissant $\epsilon_n$ et $\delta_n$ on a:

$0=(\epsilon_n-\delta_n)\left(f'(x_n)+\frac{\epsilon_n+\delta_n}{2!}f''(x_n)+\cdots+\frac{P_k(\epsilon_n,\delta_n)}{k!}f^{(k)}(x_n)}\right)+\mathcal{O}\left(\epsilon_n^{k+1}\right)$ ,

avec $P_k(\epsilon_n,\delta_n)=\sum_{i=0}^{k}{k \choose i} \epsilon_n^i \delta_n^{k-i}$ . Comme on a vu que $\epsilon_n$ et $\delta_n$ sont équivalents, on a bien:

$\delta_n=\epsilon_n+\mathcal{O}(\delta_n^{k+1})$ ,

ainsi il suffit bien d'avoir une solution approchée à $\delta_n^{k+1}$ près.
Question 7
Solution :
Il suffit d'inverser l'équation qui définie $\delta_n$ pour en l'écrivant sous la forme:

$0=f(x_n)+\delta_n\left(f'(x_n)+\frac{1}{2}\delta_nf''(x_n)+\frac{1}{6}\delta_n^2f'''(x_n)\right)$ .
Question 8
Solution :
On a:

$\delta_n=-\frac{f}{f'+\frac{1}{2}\delta_nf''+\frac{1}{6}\delta_n^2f'''}$

où on a omis la variable pour simplifier.

En utilisant le dévelopement limité de $\frac{1}{1+x}=1-x+\mathcal{O}(x^2)$ , on a:

$\delta_n-\delta_{n1}=-\frac{f}{f'}\left( 1+\mathcal{O}(\delta_n)-1\right)$ .

Or, d'après la définition de $\delta_n$ : $f(x_n)=\mathcal{O}(\delta_n)$ , donc $\delta_n-\delta_{n1}=\mathcal{O}(\delta_n^2)$ .

De même:

$\begin{array}{rcl}\delta_n-\delta_{n2}&=&-\frac{f}{f'}\left(1-\frac{1}{2}\delta_n\frac{f''}{f'}+\mathcal{O}(\delta_n^2)-1+\frac{1}{2}\delta_{n1}\frac{f''}{f'}+\mathcal{O}(\delta_{n1}^2)\right)\\ &=&-\frac{f}{f'}\left(\frac{1}{2}(\delta_n-\delta_{n1})\frac{f''}{f'}+\mathcal{O}(\delta_n^2)+\mathcal{O}(\delta_{n1}^2)\right)\end{array}$ ,

qui, d'après le résultat précédent nous donne $\delta_n-\delta_{n2}=\mathcal{O}(\delta_n^3)$ .

Enfin, on a:

$\begin{array}{rcl}\delta_n-\delta_{n3}&=&-\frac{f}{f'}\left(1-\frac{1}{2}\delta_n\frac{f''}{f'}-\frac{1}{6}\delta_n^2\frac{f'''}{f'}+\frac{1}{4}\delta_n^2\frac{f''^2}{f'^2}+\mathcal{O}(\delta_n^3)-1+\frac{1}{2}\delta_{n2}\frac{f''}{f'}+\frac{1}{6}\delta_{n2}^2\frac{f'''}{f'}+\frac{1}{4}\delta_{n2}^2\frac{f''^2}{f'^2}+\mathcal{O}(\delta_{n2}^3)\right)\\ &=&-\frac{f}{f'}\left\lbrack-\left(\delta_n-\delta_{n2}\right)\left(\frac{1}{2}\frac{f''}{f'}+\frac{1}{6}(\delta_n+\delta_{n2})\frac{f'''}{f'}-\frac{1}{4}(\delta_n+\delta_{n2})\frac{f''^2}{f'^2}\right)+\mathcal{O}(\delta_n^3)+\mathcal{O}(\delta_{n2}^3)\right\rbrack\end{array}$ ,

En utilisant les résutlats précédents, on trouve bien: $\delta_n-\delta_{n3}=\mathcal{O}(\delta_n^4)$ .
Question 9
Solution :
Inverser l'équation de Kepler, revient à résoudre avec $f(x)=x-e\sin (x)-M$ , avec l'excentricité $e\in [0,1[$ et l'anomalie moyenne $M\in [0,2\pi]$ , des paramètres de l'équation. est évidement de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ , et $f'(x)=1-e\cos(x)$ , ne s'annule effectivement jamais d'apèrs l'intervalle dans lequel peut prendre ses valeurs. L'application numérique est laissée au lecteur.

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Exercice 'Effet de marée et limite de Roche'

Question 1
Solution :
PFD appliqué au système des 2 masses : ${\bf F_{P1}} + {\bf F_{P2}}= 2m {\bf a}$ (les caractères en gras désignent des vecteurs)

$F_{P1} = \frac{GMm}{(d-r)^2}$ , $F_{P2}= \frac{GMm}{(d+r)^2}$

${\bf a} = \Big{(} \frac{d^2 \theta}{dt^2} - d (\frac{d\theta}{dt})^2 \Big{)} {\bf e_r} = - d (\frac{d\theta}{dt})^2 {\bf e_r} \equiv -d \omega^2 {\bf e_r}$ ,

où ${\bf e_r}$ est un vecteur unitaire radial. On obtient alors :

$- \frac{GMm}{(d-r)^2} - \frac{GMm}{(d+r)^2} = - 2 m d \omega^2$

Au premier ordre en , $\frac{1}{(d-r)^2} \simeq \frac{1}{d^2} (1 + 2 r/d)$ et $\frac{1}{(d+r)^2} \simeq \frac{1}{d^2} (1 - 2 r/d)$

Donc $\omega^2 = \frac{GM}{d^3}$ au premier ordre en . On retrouve la troisième loi de Kepler.
Question 2
Solution :
$- F_{P1} + F_m - C_1 = - m \omega^2 (d-r)$ , avec $F_{P1} = \frac{GMm}{(d-r)^2}$ et $F_m = \frac{G m^2}{(2r)^2}$ .

Donc $C_1 \simeq \frac{GMm}{d^3} (d-r) - \frac{GMm}{d^2} ( 1 + 2 r/d) + \frac{Gm^2}{4r^2} \simeq Gm ( \frac{m}{4r^2} - \frac{3 Mr}{d^3} )$

Le satellite se détruit si , i.e. lorsque $\frac{m}{4r^2} = \frac{3 Mr}{d^3}$ .
Question 3
Solution :
$d_R^3 = 12 \frac{M}{m} r^3$

En tenant compte des masses volumiques de la planète et du satellite, $M=\frac{4}{3} \pi \rho_P R^3$ et $m=\frac{4}{3} \pi \rho r^3$ , on obtient :

$d_R=R \sqrt[\displaystyle 3]{12 \frac{\rho_P}{\rho}} \simeq 2.29 R \sqrt[\displaystyle 3]{ \frac{\rho_P}{\rho}}$ .
Question 4
Solution :
Différence de force entre les 2 masses due à la planète: $\Delta F = \frac{GMm}{(d-r)^2} - \frac{GMm}{(d+r)^2} \simeq GMm \frac{4r}{d^3}$ .

Force de cohésion du satellite : $F_m= \frac{Gm^2}{(2r)^2}$

Le satellite se détruit si $\Delta F \geq F_m \Longleftrightarrow d \leq R \sqrt[\displaystyle 3]{16 \frac{\rho_P}{\rho}} \simeq 2.52 R \sqrt[\displaystyle 3]{\frac{\rho_P}{\rho}}$ .

pages_dl/exo-coef-taylor.html

Exercice 'Générateur de coefficients de Taylor'

Question 1
Solution :
$(p\pm q)_i = (p)_i \pm (q)_i$

$(pq)_i = \frac{1}{i!}\sum_{r=0}^{i}\frac{i!}{r! (i-r)!}p^{(r)}q^{(i-r)}=\sum_{r=0}^{i} (p)_r (q)_{i-r}$
Question 2
Solution :
$(p\pm q)_i = (p)_i \pm (q)_i$

$(pq)_i = \frac{1}{i!}\sum_{r=0}^{i}\frac{i!}{r! (i-r)!}p^{(r)}q^{(i-r)}=\sum_{r=0}^{i} (p)_r (q)_{i-r}$

Soit $f=\frac{p}{q}$ . Ainsi on a . D'après le résultat précédent on en déduit que $(p)_i=\sum_{r=0}^i (q)_r (f)_{i-r}=\sum_{r=1}^{i} (q)_r (f)_{i-r}+q(f)_i$ .

Ainsi :

$\left(\frac{p}{q}\right)_i = \frac{1}{q}\left\lbrace (p)_i - \sum_{r=1}^{i}(q)_r\left(\frac{p}{q}\right)_{i-r} \right\rbrace$
Question 3
Aide :
On pourra développer de deux manière différentes $(p^{a+1})_i$

Solution :
On a $(p^{a+1})_i =(p\,p^a)_i=\sum_{r=0}^i(p^a)_r(p)_{i-r}$ .

De même, on a:

$(p^{a+1})_i=\frac{a+1}{i}(p'\,p^a)_{i-1}=\frac{a+1}{i}\sum_{r=0}^{i-1}(i-r)(p)_{i-r}(p^a)_r$

En identifant les deux expressions et en isolant le terme avec dans la première somme on trouve bien le résultat demandé.

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Exercice 'Limites de la loi de Plack'

Question 1
Solution :
$\lim_{\lambda \rightarrow 0} \frac{2hc^2}{\lambda^5 (e^{hc/kT\lambda} -1) } = 2hc^2\lambda^{-5} e^{-hc/kT\lambda}}$

L'approximation de Wien est valable pour les objets chauds (étoiles…) dans le visible ou le proche infrarouge.
Question 2
Solution :
$\lim_{\lambda \rightarrow \infty} \frac{2hc^2}{\lambda^5 (e^{hc/kT\lambda} -1) } = 2hc^2\lambda^{-5} \frac{kT\lambda}{hc} = 2kTc\lambda^{-4}$

L'approximation de Rayleigh-Jeans donne une luminance proportionnelle à la température, valable dans le domaine submillimétrique et radio (milieu interstellaire…).
Question 3
Solution :

Approximation du corps noir

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

On voit que les deux approximations ajustent la courbe de Planck de part et d'autre comme attendu, mais qu'elles s'en éloignent notablement de l'autre côté.

L'approximation de Rayleigh-Jeans n'est pas intégrable à courtes longueurs d'onde, elle donnerait un flux total infini pour le corps noir. C'est ce qu'on appelait la "catastrophe ultra-violette" à la fin du XIX siècle, qui a conduit Planck à chercher une expresssion plus satisfaisante - à l'origine de l'hypothèse des quantas.