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Equation de Kepler elliptique

Marc Fouchard

Le but de cet exercice est de résoudre l'équation de Kepler par la méthode de Newton.

L'équation de Kepler est:

$E-e\,\sin E -M =0$

où s'appelle l'anomalie excentrique, l'anomalie moyenne et l'excentricité. Dans le cas présent on a $0\le e < 1$ , $M\in [0;2\pi]$ et $E\in[0;2\pi]$ . Dans l'exercice on va se limiter à l'intervalle $[0;\pi]$ . On peut facilement en déduire la résolution de l'équation dans l'intervalle $[\pi;2\pi]$ par symétrie. La figure ci-dessus montre le lien entre ces anomalies.

Lien entre les 3 anomalies

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Bessou Fouchard

On peut voir l'exercice suivant pour voir des méthodes plus complexes de résolution de l'équation de Kepler. Le cas hyperbolique fait l'objet de cet exercice.

Ex: equation de Kepler elliptique

Auteur: Marc Fouchard

équation de Kepler elliptique

Difficulté : ☆ Temps : 30 mn

Question 1)

Soit la fonction définie par $f(x)=x-e\sin x -M$ , avec $M \in [0;2\pi]$ une constante. Montrer que est continue, dérivable deux fois et que f'(x)>0 et pour $x\in [0;\pi]$ , $f''(x)\ge 0$ .

Question 2)

Soit le nombre réel tel que f(r)=0 (on peut montrer rapidement que existe d'après la continuité de et le théorème de la valeur intermédiaire). Montrer que pour $x\in]r;\pi]$ , est strictement positive.

Question 3)

Montrer que la courbe représentative de est au dessus de sa tangente sur $[r;\pi]$ .

Question 4)

En déduire que la suite $\left\lbrace u_n \right\rbrace$ définie par:

$u_{n+1}=u_n-\frac{f(u_n)}{f'(u_n)}$ ,

avec $\pi\ge u_0 \ge r$ , est décroissante et minorée par .

Question 5)

En déduire que la suite $\left\lbrace u_n \right\rbrace$ converge et que sa limite est .

Réponses aux exercices

pages_suites-reelles/exo-keplerxnewton.html

Exercice 'équation de Kepler elliptique'

Question 1
Solution :

est évidemment continue est dérivable deux fois puisqu'elle est la somme d'une fonction affine et de la fonction sinus. On a:

$f'(x)=1-e\cos x$ .

Comme $0\le e < 1$ , on a bien f'(x) >0 pour tout de $\mathbb{R}$ .

De même on a:

$f''(x)=e\sin x$ ,

donc on a bien $f''(x)\ge 0$ pour tout $x\in[0;\pi]$ .

Question 2
Solution :

Sur $[r;\pi]$ , est strictement positive, donc est strictement croissante. Comme f(r)=0 on en déduit que f(x)>0 sur $]r;\pi]$ .

Question 3
Solution :

En $x_0\in[r;\pi]$ on a:

$g(x)=f(x)-\left\lbrack f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\right\rbrack$ .

On remarque facilement que g(x_0)=0 , g'(x_0)=0 et $g''=f''\ge 0$ . Ainsi est une fonction croissante au voisinage de x_0 , donc est négative pour $x\le x_0$ et positive pour $x \ge x_0$ . Donc x_0 correspond à une minimum pour . Ainsi au voisinage de x_0 on a $g(x) \ge 0$ ce qui montre que la courbe représentative de est effectivement au dessus de sa tangente.

Question 4
Solution :

Comme et sont positives sur $[0;\pi]$ , la suite $\left\lbrace u_n \right\rbrace$ est effectivement décroissante tant que les valeurs de la suite restent dans l'intervalle $[0;\pi]$ . D'autre part, en remarquant que le point de l'axe des abscisses d'abscisse $u_{n+1}$ est l'intersection de la tangente au point d'abscisse u_n à la courbe représentative de avec l'axe des abscisses, on en déduit que $f(u_{n+1})>0$ puisque la tangente est en-dessous de la courbe représentative de . Comme est croissante et que f(r)=0 on a bien $u_{n+1}\ge r$ .