Objetivos
La estadística de Poisson está adaptada a un fenómeno regular cuantificado.
La detección de una radiación electromagnética es un ejemplo concreto de esta estadística: ya que la llegada de
la energía está
cuantificada en fotones.
Cuanto mayor sea la cantidad de fotones esperada mejor podremos precisar el valor promedio observado.
Un ejemplo concreto... y discreto
Abordamos la estadística de Poisson con un caso concreto: el análisis de la llegada de fotones
de una señal luminosa de promedio constante.
Una radiación monocromática de frecuencia
, de luminosidad
observada durante un tiempo
aporta una energía
. Esta radiación es llevada por una
cantidad promedio de fotones
que obedece a:
La
discretización del flujo en cuentas de energía implica que la cantidad de fotones que
llega por intervalo de tiempo fluctúa alrededor de este promedio.
Llegada de los fotones
La probabilidad de detectar
fotones cuando se esperan
(en promedio) se escribe:
Es la ley de Poisson de promedio
. Hay que acordarse que
-
la probabilidad máxima se consegue para
.
-
La desviación estándar de la distribución vale
.
Demostración
Cortamos el intervalo de tiempo en
partes lo bastante pequeñas como para asegurar que sólo
un fotón llega durante el
intervalo
. Podemos estimar la probabilidad de ver llegar
fotones guardándolos en
cajas.
La probabilidad de tener un fotón por caja temporal es
y la probabilidad opuesta
. Como hay
maneras de guardar
fotones en
cajas, conseguimos finalmente:
Con un numero
muy grande de intervalos, volvemos a encontrar la ley enunciada:
Dadas la aproximaciones para
grande y
:
Extrapolación a valores grandes
Para grandes valores de
,
podemos demostrar
que esta ley se confunde con la de Gauss:
Concluímos entonces, basándonos en la
estadística gaussiana
que para un valor promedio
, la desviación estándar vale
.
A partir de ello se deduce algo importante: cuando
crece, la desviación estándar crece, pero la razón desviación estándar/promedio disminuye.
Introducción