Velocidad orbital

Retomar las expresiones de la tercera ley de Kepler y de la velocidad de un objeto en órbita circular alrededor de un centro de fuerzas de masa . Demostrar que como se trata de la misma física se puede deducir una a partir de la otra.

La búsqueda de objetos lejanos en el sistema solar, por ejemplo, los objetos de Kuiper se lleva a cabo mediante un indicador kepleriano: estos objetos se desplazan con respecto a las estrellas.
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1) Determinar las velocidades orbital, lineal y angular de un objeto de Kuiper en una órbita circular de 40 UA. Dar su periodo de revolución sideral.

2) Determinar la velocidad angular aparente (vista desde la Tierra sobre un fondo de estrellas fijas) de este objeto en oposición (es decir, cuando el Sol, la Tierra y el objeto mismo están alineados).¿Qué término domina en este movimiento aparente?¿Cuál es la velocidad angular de la Tierra alrededor del Sol vista por el objeto de Kuiper ?

3) Determinar el desplazamiento angular aparente (es decir, sobre el fondo del cielo) de este objeto de Kuiper en dos horas (hacer un esquema). ¿Cuál es el interés de observar en oposición?

Un gran número de galaxias presentan un perfil de luminosidad que varía como una ley de potencia en función de la distancia al centro galáctico:

Este dato observacional permite describir el perfil de masa volúmica de la galaxia según la expresión:

1) Deducir a partir del perfil de masa volúmica la masa de la esfera galáctica de radio . Demostrar por un lado que la constante debe verificar , y por otro lado que el perfil de masa volúmica tiene que estar necesariamente truncado a partir de un cierto radio.

2) Deducir a partir de el campo gravitacional , sabiendo que la velocidad de rotación circular en el seno de la galaxia se escribe según:

3) La mayoría de las galaxias muestran, para un gran intervalo en radio, un perfil de velocidades plano. ¿Qué valor del exponente favorece este dato observacional? ¿ Cuáles son las consecuencias para el campo gravitacional y la masa en el radio ?

4) En los alrededores del sol, a 8.5 kpc del centro galáctico, la velocidad de rotación es del orden de 220 km.s . Deducir a partir de ello el valor de la masa galáctica comprendida en la esfera de radio 8.5 kpc. Traducirlo en masas solares. ¿Es este valor posible?