Los puntos de Lagrange: análisis estadístico

El problema de tres cuerpos es irresoluble por lo general. El astrónomo y matemático Joseph-Louis Lagrange propuso una solución en un caso particular, donde uno de los cuerpos era de masa despreciable con respecto a los otros dos, y sufre sus campos gravitacionales.

Se supone que los dos cuerpos masivos están en una órbita circular; se denota como a la velocidad angular de rotación. El potencial gravitacional creado por estos dos cuerpos es estudiado en el referencial giratorio con los dos cuerpos. Las notaciones están definidas en la figura adjunta.
El cuerpo de masa despreciable sufre un potencial:

donde son las masas respectivas de los dos cuerpos masivos, las distancias del sistema de dos cuerpos, la distancia a su baricentro y la velocidad angular de rotación de los dos cuerpos. El último término es debido al referencial giratorio.
Introduciendo como la razón de las masas , y denotando a la masa superior, se obtiene:

habiendo introducido la tercera ley de Kepler para los dos cuerpos masivos: .

El gradiente de potencial se anula en unos puntos particulares : los puntos de Lagrange. Su estudio se puede hacer analíticamente, pero aquí nos contentaremos con constatar los resultados.
Estos puntos se sitúan en el plano orbital de los dos cuerpos. Los puntos L1, L2 y L3 están alineados con los dos cuerpos, y L4 y L5 forman con ellos dos triángulos equiláteros.

Hay que destacar que las posiciones de equilibrio encontradas no son estables estáticamente: corresponden en efecto a máximos de potencial, o puntos de silla. Es dinámicamente, con el apoyo de la fuerza de Coriolis (el referencial es giratorio) cuando los puntos L4 y L5 se convierten en estables... y de hecho son ocupados por satélites naturales o artificiales.