De las leyes de Newton a las leyes de Kepler

El estudio de las masas de los principales objetos del sistema solar desvela un peso pesado, el Sol, rodeado por un cortejo de pequeños objetos, los planetas. Este hecho determina las aproximaciones hechas habitualmente para describir el movimiento de un planeta : se considera que su masa es despreciable con respecto a la masa del Sol, y se desprecian las interacciones interplanetarias.

El problema se resume en la inteacción entre dos cuerpos, el Sol de masa y el planeta de masa . El referencial de estudio es heliocéntrico, de centro . El planeta queda localizado por el radiovector . El planeta siente una fuerza por parte del Sol, expresada por:

El estudio completo del movimiento es un poco técnico. La resolución por las fórmulas de Binet no será detallada en este curso ; otro modo de resolución, introduciendo el vector excentricidad, es propuesto en este ejercicio

La relación fundamental de la dinámica permite deducir que la trayectoria es plana. Denominamos como y a la posición y velocidad del planeta en un instante dado. Y también como al plano definido por estos dos vectores. La relación dice entonces que la aceleración , colinear con , está igualmente en este plano. Debido a que ningún término de aceleración se dirige fuera del plano, cualquier trayectoria está necesariamente inscrita en él. Como basta que la fuerza sea central para que el momento cinético del sistema sea conservado, la derivación de la segunda ley de Kepler es inmediata.
La tercera ley de Kepler es fácilmente deducida en el caso particular de una trayectoria circular. La demostración está propuesta en este ejercicio.