De las leyes de Newton a las leyes de Kepler

Una manera muy elegante de hacer física consite en asociar un invariante a una ley física.
El objetivo de este ejercicio es encontrar qué invariante está asociado al hecho de que el módulo de la fuerza gravitacional varíe como la inversa del cuadrado de la distancia. Ello permite encontrar la ecuación de la trayectoria elíptica de un satélite en un campo de fuerzas central, aún requiriendo algunos cálculos. Consideremos un satélite, de masa , en el campo de fuerzas central de un cuerpo de masa . Localizamos su posición por el vector radial . Denotamos al vector ortonormal perpendicular al plano de la trayectoria, que determina el momento cinético del satélite, de tal manera que el triedro forme un triedro ortonormal directo.

1) Expresar los vectores de aceleración y momento cinético en la base ( , , ). ayuda solución

2) Construimos el producto vectorial . Dar su expresión en función del vector . ayuda solución

3) Integrar la ecuación obtenida precedentemente para . ayuda ayuda solución

4) Multiplicamos escalarmente la ecuación obtenida anteriormente por el vector posición . Demostrar que esto permite encontrar la ecuación de la trayectoria

eligiendo como origen de la variable angular la dirección y el sentido del vector excentricidad ayuda solución

5) Hacer un esquema, representando el vector excentricidad y la trayectoria solución