S'évaluer

Précision astrométrique et inégalité de Heisenberg

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 45 min

Cet exercice se propose de montrer que la précision astrométrique d'un satellite tel Hipparcos ou Gaia peut être estimée par l'application des inégalités de Heisenberg. On s'intéresse pour ceci à la propagation d'un photon, issu d'un objet ponctuel à l'infini, dont la trajectoire intercepte le miroir primaire de détection (!). On munit l'espace d'un repère orthonormé 0xyz telle que le plan 0xy corresponde au miroir primaire de la détection. La quantité de mouvement du photon incident est quasiment parallèle à . On suppose que la formation d'image suit parfaitement les lois de l'optique géométrique.

Question 1)

On s'intéresse à l'interception du photon selon la direction . Peut-on connaître la position de l'impact et de la réflexion du photon sur le miroir? En déduire que le front d'onde incident est découpé en tranche de largeur la dimension du miroir, que la position selon l'axe est inconnue, et que donc elle est affublée d'une incertitude de position $\delta x$ .

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Question 2)

On rappelle qu'un échantillonnage par valeur entière correspond à un bruit de numérisation de $1/\sqrt{12}$ . En déduire l'incertitude de mesure de la composant selon de la quantité de mouvement du photon.

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Question 3)

Par inégalité de Heisenberg, les incertitudes de position et quantité de mouvement doivent vérifier :

$\delta x \ \delta p_x \ge {h \over 4 \pi}$

avec la quantité de mouvement totale $p = h\nu / c = h / \lambda$ . En déduire que l'incertitude de repérage de l'angle d'incidence du photon vaut : $\delta\theta \ge {\sqrt{3} \over 2 \pi} {\lambda \over a_x}$

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Question 4)

Faire l'application numérique pour Gaia, observant à la longueur d'onde moyenne de 600 nm, avec $a_x = 1.4 \,\hbox{m}$ . Cela est-il compatible avec les performances annoncées, de l'ordre de $25\, \mu\hbox{as}$ à la magnitude m=15 ? Pourquoi ?

[1 points]

Question 5)

La question précédente dimensionne l'incertitude pour 1 photon. On montre plus loin dans le cours que pour photons effectivement détectés, l'incertitude est divisée par $\sqrt{N}$ . Combien de photons doivent être détectés pour aboutir à la performance annoncée.

[1 points]