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Prérequis

Principe de l'interféromètre de Michelson ; transformation de Fourier.

Objectifs

Expliciter en quoi un interféromètre est dit de Fourier.

Interférences à 2 ondes

On note $\delta$ la différence de marche entre les 2 faisceaux monochromatiques interférant à l'infini, et $\varphi$ le déphasage. La relation entre $\varphi$ et $\delta$ s'exprime, à la longueur d'onde $\lambda$ :

${\varphi \over 2\pi}\ =\ {\delta \over \lambda}$

On notera par la suite, en fonction du nombre d'onde :

$\varphi \ =\ 2\pi\sigma \delta$

Issus de la même source, ces faisceaux sont cohérents, et leurs amplitudes vont s'additionner. En notation complexe :

$A = A_1 + A_2 = A_0\ \bigl( 1 + \exp i \varphi \bigr)$

Interférogramme

L'intensité diffractée, pour une différence de marche $\delta$ entre les 2 miroirs, sur l'axe, càd dans l'anneau central, constitue l'interférogramme. En lumière monochromatique de nombre d'onde $\sigma$ , le signal d'interférence s'écrit à la différence de marche $\delta$ :

$I(\delta) \ = \ \bigl| A \bigr|^2 \ = \ I_0 \ (1+\cos 2\pi \sigma \delta)$

Les unités couramment employées sont, pour le spectre, les nombres d'onde, comptés en ${\,\mathrm{cm}}^{-1}$ et la différence de marche, comptée en cm. La période spatiale de l'interférogramme est $1/\sigma$ , soit tout simplement la longueur d'onde $\lambda$ .

Interférences et transformée de Fourier

Pour une source non-monochromatique de densité spectrale $\mathcal{F} (\sigma)$ , dans la bande spectrale $[\sigma_1, \ \sigma_2]$ , l'interférogramme prend la valeur :

$I(\delta) \ = \ \int_{\sigma_1}^{\sigma_2} { \mathcal{F}}(\sigma) \ \Bigl[ 1 +\cos 2\pi \sigma \delta\Bigr] \ {\mathrm{d}} \sigma$

Sans cohérence temporelle entre les différentes couleurs, il y a sommation des intensités spectrales $\mathcal{F} = {\mathrm{d}} I / {\mathrm{d}} \sigma$ . La partie modulée (càd qui dépend de la différence de marche $\delta$ ) de l'interférogramme, correspond à la partie réelle de la TF de la densité spectrale :

$I'(\delta) \ = \ \mathrm{Re}\ \left\{ \int_{\sigma_1}^{\sigma_2} \mathcal{F} (\sigma) \ \exp (i 2\pi \sigma \delta)\ {\mathrm{d}} \sigma\right\} \ \simeq\ \mathrm{Re}\ \left\{ \mathrm{TF} \bigl( \mathcal{F}(\sigma)\bigr) \right\}$

En fait, l'interférogramme réalise la TF de la distribution spectrale de la source. Il s'ensuit que la TF inverse de l'interférogramme permet de remonter au spectre :

$\mathcal{F} (\sigma)\ \simeq\ \mathrm{TF}^{-1} \bigl\{ I(\delta)\bigr\}$

Cette dernière étape est réalisée par calcul (et l'essor des spectromètres par transformée de Fourier a accompagné celui des ordinateurs).