Potentiel gravitationnel sur la droite joignant les 2 corps, pour des rapports de masse de 1 et 10. Ce potentiel présente 3 maxima.
Crédit :
ASM
Le potentiel gravitationnel sur l'axe
Dans le référentiel tournant avec les 2 corps massifs, le potentiel résultant
de la combinaison des potentiels gravitationnels et rotationnel présente 3 extrema sur la droite contenant les 2 corps. L'un de ces maxima se situe entre les 2 corps, ce que l'on attend intuitivement.
Deux autres maxima se trouvent sur la droite reliant les 2 objets, mais de part et d'autre ...ce qui est plus surprenant. Ils proviennent en fait de la contribution au potentiel du référentiel tournant.
Equipotentielles dans le plan orbital, pour des rapports de masse de 1 et 10.
Le gradient de potentiel s'annule aux 5 points de Lagrange. Remarquer que L4 forme un triangle équilatéral avec les 2 corps (points de couleur bleu ciel ; le barycentre est indiqué en vert). Il est est de même pour L5.
Crédit :
ASM
Equipotentielles
Dans le plan orbital, les équipotentielles du champ montrent 5 point d'équilibre.
Trois de ces points (L1, L2 et L3) sont des selles. L4 et L5 sont des maxima.
Position des points de Lagrange du système Soleil-Terre, et orientation du champ gravitationnel en leur voisinage.
Crédit :
NASA/WMAP
Les points de Lagrange
Détermination du champ gravitationnel au voisinage des
points de Lagrange, pour le système Soleil-Terre.
Objectifs
Illustrer le problème à N-corps dans un cas particulier : 3 corps, dont 1 de masse négligeable devant les 2 autres. Dans ce cas, on ne considère que le champ gravitationnel des 2 corps massifs.
3 corps, mais 1 de masse nulle
Le problème à 3-corps est insoluble analytiquement dans le cas général. L'astronome mathématicien Joseph-Louis Lagrange en a proposé une solution dans un cas particulier, où l'un des corps est de masse négligeable devant les 2 autres, et subit leurs champs gravitationnels.
Notations.
Crédit :
ASM
Les points de Lagrange
Le gradient de potentiel s'annule en des points particuliers : les points de Lagrange.
Leur étude peut être menée analytiquement, mais l'on se contente ici de constater les résultats.
Ces points se situent dans le plan orbital des 2 corps. Les points L1, L2 et L3 sont alignés avec les 2 corps, et L4 et L5 forment avec eux 2 triangles équilatéraux.
Equilibre aux points de Lagrange
Il faut noter que les positions d'équilibre trouvées ne sont pas statiquement stables : ils correspondent en effet à des maximum de potentiel, ou des selles. C'est dynamiquement, avec l'appoint de la force de Coriolis (le référentiel est tournant !) que les points L4 et L5 deviennent stables... et sont occupés par des satellites naturels ou artificiels.
Le potentiel dans le référentiel tournant
Les animations proposées parcourent les équipotentielles du potentiel dans le référentiel tournant associé au problème de Lagrange, pour différents rapports de masse :
1,
3,
10.
Le balayage des équipotentielles remonte des potentiels les plus négatifs, autour des 2 corps, vers les potentiels croissants. L'animation met en évidence les points de Lagrange, à la jonction de différentes nappes équipotentielles.
- Le point de Lagrange L1 est à la jonction des nappes équipotentielles autour de chaque objet
- Les points de Lagrange L2 et L3 sont à la jonction des nappes équipotentielles autour de chaque objet avec l'équipotentielle dominée par la rotation.
- Les points de Lagrange L4 et L5 sont les extrêma du potentiel résultant de la superposition du potentiel gravitationnel principal et du potentiel tournant.
Balayage des équipotentielles, des potentiels les plus négatifs, autour des 2 corps, vers les potentiels croissants, pour un rapport de masse unité.
Crédit :
ASM
Balayage des équipotentielles, des potentiels les plus négatifs, autour des 2 corps, vers les potentiels croissants, pour un rapport de masse de 3.
Crédit :
ASM
Balayage des équipotentielles, des potentiels les plus négatifs, autour des 2 corps, vers les potentiels croissants, pour un rapport de masse de 1/20.
Crédit :
ASM
Prérequis
la vitesse angulaire de rotation.
Le potentiel gravitationnel créé par ces 2 corps est étudié dans le référentiel tournant avec les 2 corps, supposés en orbite circulaire. Les notations sont définis 
les masses respectives des 2 corps massifs, 
les distances du système aux 2 corps, 
la distance à leur barycentre, et 
la vitesse angulaire de rotation des 2 corps. Le dernier terme est introduit par le référentiel tournant.
le rapport des masses 
, et en notant 
la plus forte des masses, on obtient :
![U \ = - { {\cal G} M}\ \left[ {1\over r_1} + {\mu\over r_2} + {1\over 2}\ {(1+\mu) r^2\over a^3} \right]](../pages_points-lagrange/equations_lagrange/equation10.png)
.