Stabilité
L'étude de la stabilité des points de Lagrange n'est pas simple. Il est bienvenu d'exprimer le lagrangien du système, et de faire une analyse par perturbation... ce qui est hors de la portée de ce cours.
Les figures ci-jointes, réalisées par des étudiants du Master professionnel Outils et Systèmes de l'Astronomie et de l'Espace lors d'un projet d'analyse numérique, dévoilent la complexité de l'analyse.
Exemple d'orbite autour de L4. Les distances sont données en unité de demi-grand axe.
Crédit :
Observatoire de Paris/Master OSAE
Excursion possible autour du point L4, en fonction du rapport de masse donné, avant déséquilibre. Une distance à L4 bornée dénote l'existence d'un équilibre stable. Au delà de
, il n'y a plus d'équilibre possible.
Crédit :
Observatoire de Paris/Master OSAE
Quelques uns des plus de 6000 satellites troyens de Jupiter. Ils orbitent au voisinage de L4 ou L5 ; leur mouvement autour de ces points se traduit pour par une
excentricité et une inclinaison non nulles.
Crédit :
IMCCE
Les astéroides troyens
Les astéroïdes troyens sont sur la même orbite que Jupiter, soit en avance de 
sur Jupiter (point L4), soit en retard de 
(point L5).
Insertion de SOHO autour du point de Lagrange L1, et orbite d'équilibre
Crédit :
SOHO (ESA & NASA)
La sonde solaire SOHO
Pour observer continûment le Soleil, le point L1 est idéal. Il tourne autour du Soleil avec la Terre, avec le Soleil en permanence d'un côté et la Terre au côté opposé. C'est donc en L1 qu'a été logiquement installée la sonde SOHO, dédiée à l'observation du Soleil.
Insertion du satellite Planck autour du point de Lagrange L2, et orbite d'équilibre.
Crédit :
Planck (ESA)
La sonde Planck
En revanche, s'il s'agit d'observer l'Univers froid, mission du satellite Planck, c'est le point L2 qui est idéal. Il tourne avec la Terre, avec le Soleil et la Terre en permanence opposés à la direction de visée. C'est donc en L2 qu'est installé Planck, et que sera le télescope spatial JWST, successeur de Hubble.
Stabilité dynamique
L'étude de la stabilité dynamique autour de L4 ou L5 relève d'une approche numérique. Cette dernière montre que le rapport des deux masses doit être assez élevé (contraste plus grand que 
) pour permettre la stabilité.
C'est la force de Coriolis, qui apparaît dans le référentiel tournant, qui stabilise les objets autour de L4 ou L5. Elle correspond à une accélération :
avec 
la vitesse angulaire de rotation, perpendiculaire au plan orbital des deux corps massifs, et 
la vitesse relative dans le référentiel tournant.
Ce rôle stabilisateur est très brièvement illustré en exercice.
En L4 et L5
Comme L4 et L5 sont dynamiquement stables, on y trouve de nombreux objets.
- Plusieurs milliers d'astéroïdes, les Troyens, arpentent les abords des points L4 et L5 du système Soleil-Jupiter.
- Le système Saturne-Tethys héberge Telesto et Calypso aux points L4 et L5, et Saturne-Dione accueille Hélène au point L4.
- De la poussière s'accumule aux points L4 et L5 de la Terre autour du Soleil.
Coriolis et Lagrange
Difficulté : ☆☆
Temps : 45 min
Question 1)
Représenter l'allure du potentiel gravitationnel local autour de L4 dans le référentiel tournant avec les 2 corps, sachant qu'il y présente un maximum.
Tracer une coupe selon une direction, puis l'autre, sachant que L4 est un sommet
Question 2)
Montrer que toute composante de vitesse s'éloignant radialement de L4 donne un terme de Coriolis conduisant à un mouvement de rotation autour de L4.
Munir le plan orbital d'un repère cartésien s'appuyant sur L4, et donner la direction du vecteur rotation par rapport à ce plan
Question 3)
Montrer que toute composante de vitesse orthoradiale autour de L4 conduit à un terme de Coriolis radial. Déterminer le seul sens de rotation possible pour une orbite stable.
Il est nécessaire que cette composante de vitesse, radiale, soit de plus dirigée vers L4.
- Question 1
Aide :
Tracer une coupe selon une direction, puis l'autre, sachant que L4 est un sommet
Solution :
Le potentiel est d'allure parabolique. L4 est un maximum.
L'allure de la courbe de potentiel est :
- Question 2
Aide :
Munir le plan orbital d'un repère cartésien s'appuyant sur L4, et donner la direction du vecteur rotation par rapport à ce plan
Solution :
La composante de Coriolis s'écrit 
.
Etant perpendiculaire à la rotation, elle est nécessairement dans le plan orbital. Etant également perpendiculaire au mouvement, supposé radial, elle est nécessairement orthoradiale : elle va induire un mouvement de rotation autour de L4.
- Question 3
Aide :
Il est nécessaire que cette composante de vitesse, radiale, soit de plus dirigée vers L4.
Solution :
La composante de Coriolis s'écrit 
.
Toujours perpendiculaire à la rotation, elle reste nécessairement dans le plan orbital. Etant également perpendiculaire au mouvement, supposé orthoradial, elle est nécessairement radiale.
Afin que cette composante radiale agisse telle une force de rappel vers L4, un seul sens de rotation est possible : vérifier qu'il s'agit d'une rotation dans le même sens que la rotation orbitale.
