Binaires visuelles

Auteurs: M. Gerbaldi, G. Theureau

Introduction
Les étoiles binaires visuelles
- Observer
- Apprendre
- S'exercer
La trajectoire apparente
- Observer
La reconstruction de l'orbite vraie
- Apprendre
- Simuler
- S'évaluer
Masse des deux composantes
- S'exercer

Introduction

L'orbite de Sirius B autour de Sirius A.

Crédit : ASM

Les étoiles binaires visuelles

Observer

Etoile double résolue par optique adaptative

Crédit : ESO

Séparation

L'observation des étoiles binaires visuelles est limitée par la qualité d'image des observations au sol. La plus petite séparation angulaire détectable depuis le sol est d'environ 1 seconde d'arc. Cette limite imposée par la turbulence atmosphérique est améliorée grâce à l'optique adaptative. L'interférométrie sur les VLT permet d'atteindre une séparation de quelques millièmes de seconde d'arc.

Apprendre

Sélection

L'effet de sélection dans l'observation de ces couples est très important. Deux catégories d'objets sont en particulier très difficile à observer : les binaires à longue période d'une part, et d'autre part les étoiles qui forment au contraire un système très serré.

La séparation caractéristique de tels couples varie d'une fraction d'unité astronomique à quelques centaines d'unités astronomiques, quand leurs périodes s'échelonnent de quelques années à plus d'un siècle. Les périodes plus longues (quelques siècles) ou les orbites plus grandes sont très difficiles à mettre en évidence, essentiellement pour des raisons de recul dans le temps.

Le mouvement des deux corps

Un grand intérêt de l'observation des étoiles binaires visuelles est que la mesure des paramètres apparents de l'orbite permet de calculer la masse des deux composantes du système, via la 3e loi de Kepler :

$\frac{a^3}{T^2}\ =\ \frac{\mathcal{G}}{4\pi^2}\ (M_1+M_2)$

La définition du barycentre du système conduit à :

$M_1\ a_1\ =\ M_2\ a_2 \mathrm{ \ avec \ } a=a_1+a_2$

où représente le demi-grand axe de l'orbite relative du corps de masse M_1 par rapport au corps de masse M_2 et a_1 et a_2 sont les demi-grands axes des orbites absolues de chacun des corps par rapport au barycentre du système.

La mesure de , et de la position du barycentre du système (c'est-à-dire des demi-grands axes a_1 et a_2 ) permet alors de déterminer M_1 et M_2 .

S'exercer

Binaire visuelle

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

On observe une étoile double visuelle dont les caractéristiques observées sont les suivantes :

séparation angulaire maximum	5"
séparation angulaire minimum	1"
parallaxe $\Pi$	0.1"
période de révolution	30 ans

L'étoile primaire E_1 se trouve au foyer de l'orbite observée ; le compagnon est observé à une distance du barycentre 5 fois plus grande que celle de l'étoile primaire.

Question 1)

Montrer que l'inclinaison du plan de l'orbite est nulle.

Question 2)

Déterminer le rapport des masses des deux étoiles.

Question 3)

Exprimer la loi du mouvement des deux corps (troisième loi de Kepler) en prenant comme unités de masse, la masse du Soleil, de temps, l'année, et de distance, la distance Terre-Soleil (unité astronomique).

Question 4)

Calculer la distance en parsec à partir de la parallaxe, puis le demi-grand axe en UA.

Question 5)

Déterminer la masse de chaque composante en unité de masse solaire.

La trajectoire apparente

Observer

Sirius A et B. Simulation superposée à une vue du ciel, avec Sirius A masqué par coronographie

Crédit : Observatoire du Pic du Midi

Mouvement de Sirius B autour de Sirius A. La date est indiquée en bleu, en année décimale.

Crédit : ASM

Mouvements

Dans le cas des binaires visuelles, on observe à chaque instant la séparation angulaire apparente entre les deux composantes et l'angle de position $\theta$ de la composante la plus faible par rapport à une direction de référence (celle de la direction du pôle céleste Nord) passant par l'étoile la plus brillante et repérée par rapport aux autres étoiles.

Trajectoire apparente

Trajectoire apparente de Sirius B autour de Sirius A, et animation correspondante.

Orbite projetée

La projection d'une ellipse reste une ellipse, mais la projection du foyer n'est pas le foyer de l'ellipse projetée. Le demi-grand axe initial (tireté bleu) n'est pas le demi-grand axe de l'orbite projeté.

Crédit : ASM

Projection

Ce que voit en général l'observateur, ce n'est pas l'orbite elle-même mais sa projection sur un plan perpendiculaire à la ligne de visée. Dans cette projection, les orbites sont toujours des ellipses et la loi des aires est conservée. Par contre, le foyer de l'ellipse projetée (ou orbite apparente) n'est pas la projection du foyer de l'orbite vraie et le demi-grand axe apparent n'est pas non plus la projection du demi-grand axe vrai. Pour remonter aux paramètres de l'orbite réelle, il est donc nécessaire de reconstituer cette orbite à partir de l'ellipse observée.

La reconstruction de l'orbite vraie

Apprendre

Objectifs

Reconstituer les éléments géométriques de l'orbite vraie du système.

Prérequis

Eléments géométriques définissant une trajectoire elliptique.

Demi-grand axe

L'observation donne une série de positions relatives des deux étoiles sur le ciel. En choisissant l'étoile la plus brillante (E2) comme origine des coordonnées, les positions de l'étoile la plus faible (E1) s'agencent sur une ellipse, mais il apparaît que E2 n'est pas au foyer de l'orbite projetée.

Ellipse et grand axe vus de biais.

Crédit : ASM

Soit O le centre de l'ellipse apparente et A à l'intersection de la droite OE2 avec l'ellipse, au plus proche de E2 ; O est la projection du centre de l'orbite vraie et A est la projection de son périgée. Le segment [OA] est alors la projection du demi-grand axe de l'orbite vraie.

Excentricité

L'excentricité n'est pas plus conservée par la projection que le demi-grand axe, mais la détermination de l'excentricité de l'orbite réelle découle directement des paramètres de l'orbite projetée. Cette excentricité est en effet définie par la distance du foyer (E2) au centre (O), rapportée au demi-grand axe (0A). Ce rapport se mesure directement par OE2/OA, qui est conservé par la projection (par application du théorème de Thalès).

Cercle principal

Ellipse et son cercle principal.

Crédit : ASM

Inclinaison

On retrouve l'inclinaison de l'orbite vraie avec le plan du ciel en reconstituant la projection du cercle principal de l'ellipse vraie : ce cercle se projette suivant une ellipse dont le rapport d'axes est égal à $\cos i$ .

On utilise pour cela une propriété de l'ellipse et de son cercle principal : la direction parallèle au diamètre conjugué du grand axe passant par un point de l'ellipse coupe le cercle principal en un point et le grand axe en un point , tels que $HM/HM' = \sqrt{1-e^2}$ . Cette propriété se conservant par projection on peut donc reconstituer l'ellipse projection du cercle principal point par point à partir de la trajectoire observée et de la direction conjuguée, i.e. la direction de la tangente à l'ellipse observée aux points et .

Le demi-grand axe de l'orbite vraie est donc finalement égal à $OA/\cos i$ .

Simuler

Projection dans le plan du ciel d'une orbite elliptique d'excentricité 0.2. La droite jaune représente la projection du vrai demi-grand axe ; elle contient le centre et le foyer (occupé par la composante principale choisie comme origine). Le demi-grand axe apparent en en bleu.

Crédit : ASM

Projection dans le plan du ciel d'une orbite elliptique d'excentricité 0.7. La droite jaune représente la projection du vrai demi-grand axe ; elle contient le centre et le foyer (occupé par la composante principale choisie comme origine). Le demi-grand axe apparent en en bleu.

Crédit : ASM

Effet de projection

La projection du plan de l'orbite sur le plan du ciel modifie les paramètres de l'orbite apparente. Si le centre de l'ellipse est conservé par projection (la projection du centre de l'ellipse est égale au centre de l'ellipse projeté), le foyer ne l'est point : le demi-grand axe apparent se distingue (sauf dans certains cas très particuliers) de la projection du demi-grand axe.

L'animation met ce phénomène en évidence : elle montre l'apparence de la projection dans le plan du ciel d'une orbite elliptique, pour différentes inclinaisons. Étonnamment, l'effet est moins marqué dans le cas d'une excentricité plus grande.

L'orbite

L'appliquette donne la position de Sirius B par rapport à Sirius A.

Tracer la trajectoire.
Peut-on estimer directement les paramètres de la trajectoire ?

S'évaluer

Paramètres de l'orbite

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

Angle de phase (en degré) et séparation (en "), en fonction de la date

Crédit : ASM

En 1844, F.W. Bessel découvrit que Sirius présentait un mouvement propre, non linéaire, mais dont la modulation ressemblait à celle d'une étoile double visuelle. Il en conclut que le mouvement propre de Sirius était affecté par l'interaction gravitationnelle avec une seconde étoile de luminosité trop faible pour être observée. Ce compagnon fut observé pour la première fois en 1862 par A.G. Clark : cette étoile appelée Sirius B a une magnitude de 8.7 alors que celle de Sirius A vaut -1.4.

L'appliquette ci-jointe donne les positions observées de Sirius B par rapport à Sirius A de 1876 à 1938, mesurées sur une suite de clichés photographiques. Chaque position est repérée par la séparation angulaire (en ") des deux étoiles et l'angle de position de la direction de Sirius B compté à partir de la direction Nord et dans le sens direct (0 deg pour la direction Nord et 90 deg pour la direction Est).
Les positions successives ainsi reportées tracent l'orbite apparente de Sirius B par rapport à Sirius A, c'est-à-dire l'orbite telle qu'elle est observée sur le ciel.
Les paramètres de l'ellipse représentant l'orbite apparente sont calculés par la méthode des moindres carrés. L'ellipse qui s'ajuste au mieux parmi les points observés est décrite par les paramètres du tableau.

demi-grand axe		7.24"
excentricité		0.765
distance entre les foyers		11.08"

Question 1)

Sirius A, à l'intersection des axes, est-il au foyer de l'ellipse apparente ? Quelle conséquence en tire-t-on pour le plan de l'orbite ?

[1 points]

Question 2)

Déterminer la valeur de la période (en années).

[1 points]

Question 3)

Déterminer graphiquement le grand axe de l'ellipse vraie (il contient le centre de l'ellipse projetée (le centre est conservé par projection) et bien sûr Sirius A). Déterminer les positions apparentes P et A du périastre et de l'apoastre et les dates qui leur correspondent.

[2 points]

Question 4)

Déterminer l'excentricité de l'orbite vraie.

[1 points]

Masse des deux composantes

S'exercer

Sirius A et Sirius B

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

La figure trace le mouvement vrai de la composante Sirius B par rapport à Sirius A dans le plan orbital.

Mouvement de Sirius dans le plan du ciel, reporté par Camille Flammarion au XIXe siècle.

Crédit : ASM

Question 1)

Etalonner la figure de l'appliquette, en tenant compte du fait que les portions de cercle centrés sur Sirius A sont espacés de 1 seconde d'angle, et définir le rapport d'unité permettant de lire directement des secondes d'angle sur la figure.

Question 2)

Estimer le demi-grand axe de l'orbite relative et la période.

Question 3)

La parallaxe du système vaut 0.379". En déduire la somme des masses des deux composantes (en unités de masse solaire).

Question 4)

Le mouvement de Sirius A par rapport au barycentre présente une demi-amplitude de 2.35" au cours d'une orbite (corrigée de la projection du plan orbital sur le plan du ciel). Comparer cette amplitude au mouvement relatif des 2 composantes, et en déduire la masse de chaque composante.

Réponses aux exercices

pages_visuelles/intro-binaires-visuelles-sexercer.html

Exercice 'Binaire visuelle'

Question 1
Solution :
On appelle le centre de l'ellipse observée et A l'intersection de la demi-droite [0E) avec l'ellipse. Comme l'excentricité est invariante par projection, le fait que l'étoile primaire soit au foyer de l'orbite projetée montre que le grand axe de l'orbite projetée correspond à la projection du grand axe, ce qui ne peut avoir lieu que si ...
Question 2
Solution :
et implique un rapport de masse
Question 3
Solution :
La troisième loi de Kepler, en unités, UA, année, masse solaire, s'exprime :

$\frac{A^3}{P^2} = M_1 + M_2$
Question 4
Solution :
La parallaxe étant de 0.1", le système double est situé à $1/\Pi = 10 {\,\mathrm{pc}}$ de nous et qu'une unité astronomique y est vue sous un angle de 0,1".

Le demi-grand axe apparent est égal à ; le demi-grand axe est donc de 30 UA.
Question 5
Solution :
On applique la troisième loi de Kepler pour calculer la somme des masses :

$M_1 + M_2 = A^3/T^2 = 30^3/30^2 = 30\ M_{\odot}$ .

et on obtient $M_1 = 5\ M_{\odot}$ et $M_2 = 25\ M_{\odot}$

pages_visuelles/masse-sirius-sexercer.html

Exercice 'Sirius A et Sirius B'

Question 1
Aide :
Activité soit l'outil 'ligne', soit l'outil 'cercle'.

Aide :
Faire une règle de trois et définir le rapport d'unité.

Solution :
Avec l'outil 'cercle' centré sur Sirius A, 10" correspondent à 350 unités. On définit le rapport d'unité : $10/350 \simeq 0.0286$
Question 2
Aide :
Pour le demi-grand axe : repérer les projections des péri- et apoastre.

Aide :
Pour la période : s'appuyer sur les valeurs au voisinage de l'apoastre.

Solution :
D'après la figure, on déduit la période $(T \simeq 50 \mathrm{ans}$ et le demi-grand axe de l'orbite relative $\alpha \simeq 15.33"/ 2 \sim 7.7"$
Question 3
Aide :
Traduire la parallaxe en distance.

Aide :
De la valeur angulaire du demi-grand axe et de la distance, déterminer le demi-grand axe en UA.

Aide :
Utiliser la 3ème loi de Kepler

Solution :
Si $\alpha$ est le demi-grand axe mesuré en secondes d'arc et $\Pi$ la parallaxe, le demi-grand axe linéaire , mesuré en UA est alors égal à $\alpha /\Pi$ , soit $a = 7.7 / 0.379=20.3 {\,\mathrm{UA}}$ .

D'après la troisième loi de Kepler, on a par ailleurs :

$\frac{a^3}{T^2}= \frac{\alpha^3}{\Pi^3T^2}= M_A+M_B$

où est exprimé en UA, en années, et et en masse solaire. Ce qui donne :

$M_A+M_B = \displaystyle\frac{7.7"^3}{0.379"^3 \ 50^2}= 3.2$
Question 4
Aide :
Définir le barycentre.

Aide :
La demi-amplitude est à comparer au demi-grand axe.

Solution :
La définition du barycentre G donne :

$AG = {M_B\over M_A+M_B} AB$

On peut ainsi comparer la demi-amplitude de AG au demi-grand axe, pour obtenir le rapport $M_B/ (M_A+M_B) = 2.35/7.7 \simeq 0.30$ .

On en déduit les masses respectives : $M_B \sim 1 M_{\odot}$ et $M_A \sim 2.2\ M_{\odot}$ .