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Objectifs

La 3ème loi de Kepler porte en elle, comme toute loi physique, une potentialité énorme : généraliser le particulier, pour mieux comprendre comment fonctionne l'univers.

Il se trouve que sur ce point de vue, elle fonctionne extraordinairement bien. Elle permet de "peser" tout objet de l'Univers, à la seule condition qu'un objet moins massif tourne autour de lui.

Prérequis

Trajectoires elliptiques

Déterminer la masse du centre de force

Peser est à prendre ici non dans son sens physique (mesurer le poids), mais dans son sens de la vie courante : mesurer la masse. La mécanique newtonienne permet de préciser la constante intervenant dans la 3ème loi de Kepler appliquée à un système ressemblant au système solaire : un ou des objets peu massifs tournant dans le potentiel central d'un corps plus massif.

${T^{2}\over a^{3}} = {4\pi^{2} \over {\mathcal{G}} M}$

Cette loi implique 3 paramètres physiques : la période de révolution et le demi-grand axe de l'orbite, et la masse du corps central.

La mesure de 2 parmi ces 3 paramètres permet d'en déduire le 3ème : ceci est mis à profit pour déterminer la masse du centre de force à partir des paramètres orbitaux et . Ces 2 termes sont en effet observables, alors que la masse ne l'est pas.

La mesure de la période nécessite de repérer le mouvement le long de la trajectoire.

La mesure du demi-grand axe de l'orbite découle de la mesure de sa taille angulaire, et nécessite de connaître la distance du système. On voit une fois encore l'importance de la mesure des distances en astronomie.

La 3ème loi de Kepler appliquée au système solaire
Planète		$T _{\mathrm{sid}}$			$\ T^{2}/a^{3}$
	UA	an	deg		$\mathrm{an}^{2}/ \mathrm{UA}^{3}$
Mercure	0.3871	0.2408	7.0	0.206	0.9996
Vénus	0.7233	0.6152	3.4	0.007	1.0002
Terre	1.0000	1.0000	--	0.017	1
Mars	1.5237	1.8808	1.8	0.093	1.0000
Jupiter	5.2026	11.862	1.3	0.048	0.9992
Saturne	9.5547	29.457	2.5	0.056	0.9948
Uranus	19.218	84.020	0.8	0.046	0.9946
Neptune	30.109	164.77	1.8	0.009	0.9946

Indépendamment de l'inclinaison sur l'écliptique et de l'excentricité de l'orbite de chacune des 8 planètes, la relation $T^{2} / a^{3} = 1$ est vérifiée, avec la période de révolution sidérale. Les désaccords proviennent des écarts aux hypothèses de Kepler. Remarque : dans le système solaire, les masses des planètes et de la plupart de leurs satellites sont connues avec une précision relative de l'ordre de $10^{-5}$ . Il s'agit de la précision à laquelle est mesurée la constante gravitationnelle ${\mathcal{G}}$ . Le produit ${\mathcal{G}} M$ est souvent déterminé avec une précision bien meilleure.

Différents systèmes d'unités

Lorsque l'on choisit le système d'unités où les temps se comptent en année, les distances en unité astronomique, et les masses en masse solaire, la 3ème loi de Kepler se réécrit, pour le système solaire.

${T^{2} \over a^{3}} = 1$

Sans mener aucun calcul, il suffit pour s'en convaince d'examiner le cas de l'orbite terrestre, pour lequel = 1 UA, = 1 an, qui valide le cas de tout autre planète.

Pour un autre système caractérisé par un centre de force de masse $\mathcal{M}$ , la 3ème loi devient, toujours dans le système d'unités (UA, an, $M_\odot$ ) :

${T^{2} \over a^{3}} = {1\over \mathcal{M}}$

Une application de cette loi sur différents exemples illustre comment une loi physique peut étendre sa validité sur une très large gamme de valeurs.