Peser l'Univers avec la 3ème loi de Kepler : Page pour l'impression

Systèmes doubles

L'astéroide Eugénie et son satellite

Superposition d'images obtenues par optique adaptative au télescope CFH (Merline, 1998). La détermination des paramètres orbitaux du satellite -- période de rotation et demi-grand axe -- permet de mesurer la masse de l'astéroïde (exercice). La période est 4.7 jours, le demi-grand axe 1190 km.

Crédit : CFHT

Le mouvement d'Eugénie

Le satellite de l'astéroïde Eugénie, observé en optique adaptative : film obtenu avec 5 poses à 5 dates différentes

Crédit : CFHT

Sirius A et B

Animation des orbites de Sirius A et B (respectivement les points blanc et rouge), sur fond d'étoiles fixes. Au mouvement apparent du système se superpose la rotation du système.

Crédit : Observatoire du Pic du Midi

L'observation des systèmes doubles est cruciale en astronomie, car elle donne accès à la mesure de la masse du système. On en voit deux exemples, à des échelles différentes :

L'astéroïde Eugénie, autour duquel a été détecté un petit satellite par optique adaptative.
Le système double de Sirius .

Objectifs

La 3ème loi de Kepler porte en elle, comme toute loi physique, une potentialité énorme : généraliser le particulier, pour mieux comprendre comment fonctionne l'univers.

Il se trouve que sur ce point de vue, elle fonctionne extraordinairement bien. Elle permet de "peser" tout objet de l'Univers, à la seule condition qu'un objet moins massif tourne autour de lui.

Prérequis

Trajectoires elliptiques

Déterminer la masse du centre de force

Peser est à prendre ici non dans son sens physique (mesurer le poids), mais dans son sens de la vie courante : mesurer la masse. La mécanique newtonienne permet de préciser la constante intervenant dans la 3ème loi de Kepler appliquée à un système ressemblant au système solaire : un ou des objets peu massifs tournant dans le potentiel central d'un corps plus massif.

${T^{2}\over a^{3}} = {4\pi^{2} \over {\mathcal{G}} M}$

Cette loi implique 3 paramètres physiques : la période de révolution et le demi-grand axe de l'orbite, et la masse du corps central.

La mesure de 2 parmi ces 3 paramètres permet d'en déduire le 3ème : ceci est mis à profit pour déterminer la masse du centre de force à partir des paramètres orbitaux et . Ces 2 termes sont en effet observables, alors que la masse ne l'est pas.

La mesure de la période nécessite de repérer le mouvement le long de la trajectoire.

La mesure du demi-grand axe de l'orbite découle de la mesure de sa taille angulaire, et nécessite de connaître la distance du système. On voit une fois encore l'importance de la mesure des distances en astronomie.

La 3ème loi de Kepler appliquée au système solaire
Planète		$T _{\mathrm{sid}}$			$\ T^{2}/a^{3}$
	UA	an	deg		$\mathrm{an}^{2}/ \mathrm{UA}^{3}$
Mercure	0.3871	0.2408	7.0	0.206	0.9996
Vénus	0.7233	0.6152	3.4	0.007	1.0002
Terre	1.0000	1.0000	--	0.017	1
Mars	1.5237	1.8808	1.8	0.093	1.0000
Jupiter	5.2026	11.862	1.3	0.048	0.9992
Saturne	9.5547	29.457	2.5	0.056	0.9948
Uranus	19.218	84.020	0.8	0.046	0.9946
Neptune	30.109	164.77	1.8	0.009	0.9946

Indépendamment de l'inclinaison sur l'écliptique et de l'excentricité de l'orbite de chacune des 8 planètes, la relation $T^{2} / a^{3} = 1$ est vérifiée, avec la période de révolution sidérale. Les désaccords proviennent des écarts aux hypothèses de Kepler. Remarque : dans le système solaire, les masses des planètes et de la plupart de leurs satellites sont connues avec une précision relative de l'ordre de $10^{-5}$ . Il s'agit de la précision à laquelle est mesurée la constante gravitationnelle ${\mathcal{G}}$ . Le produit ${\mathcal{G}} M$ est souvent déterminé avec une précision bien meilleure.

Lignes isomasses de la masse (en unité de masse solaire) du centre force dérivée de la mesure des paramètres orbitaux de différents systèmes. La limite en rouge est relativiste : la vitesse orbitale ne peut pas dépasser la vitesse de la lumière. Les différents systèmes représentés illustrent la diversité de la gamme d'application des lois de la gravitation.

Crédit : ASM

Différents systèmes d'unités

Lorsque l'on choisit le système d'unités où les temps se comptent en année, les distances en unité astronomique, et les masses en masse solaire, la 3ème loi de Kepler se réécrit, pour le système solaire.

${T^{2} \over a^{3}} = 1$

Sans mener aucun calcul, il suffit pour s'en convaince d'examiner le cas de l'orbite terrestre, pour lequel = 1 UA, = 1 an, qui valide le cas de tout autre planète.

Pour un autre système caractérisé par un centre de force de masse $\mathcal{M}$ , la 3ème loi devient, toujours dans le système d'unités (UA, an, $M_\odot$ ) :

${T^{2} \over a^{3}} = {1\over \mathcal{M}}$

Une application de cette loi sur différents exemples illustre comment une loi physique peut étendre sa validité sur une très large gamme de valeurs.

Peser un astéroide

Difficulté : ☆ Temps : 15 min

Une équipe dirigée par W. Merline a observé en 1998 l'astéroïde (45)Eugénie avec l'optique adaptative du télescope CFH. Les observations ont mis en évidence la présence d'un petit satellite.

Paramètres orbitaux
Période	4.7 j
Demi-grand axe	1190 km
Diamètre de Eugénie	215 km
Diamètre du satellite	13 km

Question 1)

Déterminer la masse de (45)Eugénie

Question 2)

En déduire la masse volumique moyenne de Eugénie. Estimer sa composition.

Question 3)

Peut-on estimer la masse du petit satellite ?

Peser la Voie Lactée

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

Notre galaxie, la Voie Lactée, a la forme d'une galette d'environ 30000 pc de diamètre et 2000 pc d'épaisseur. La région centrale est formée d'un bulbe d'allure sphérique de 2 700 pc de rayon, qui contient l'essentiel de la masse galactique. Le Soleil orbite à 8000 pc du centre galactique. D'après les mesures Doppler effectuées sur la raie à 21 cm de l'hydrogène, l'orbite du Soleil est approximativement circulaire, et la vitesse orbitale du Soleil est d'environ $220 {\,\mathrm{km\,s}}^{-1}$ .

Question 1)

Déterminer la période du mouvement du soleil autour du centre galactique. L'exprimer en années.

Question 2)

Estimer la masse du bulbe galactique, en unité de masse solaire $M_{\odot}$ .

La 3ème loi de Kepler pour une orbite circulaire

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Question 1)

Retrouver l'expression de la 3ème loi de Kepler d'après le cas particulier d'une orbite circulaire, lorsque l'on suppose que les masses des 2 objets vérifient $M\gg m$ .

[1 points]

Comète de Halley

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Question 1)

La comète de Halley a une période sidérale de 76 années. En déduire le demi-grand axe de son orbite.

[1 points]

Question 2)

L'excentricité de son orbite vaut e=0.967 , Déterminer son aphélie $r _{\mathrm{a}}$ , son périhélie $r _{\mathrm{p}}$ . Situer ces distances par rapport aux autres planètes.