Exposants de Lyapunov

Auteurs: S. Renner, Marc Fouchard

Auteur: Marc Fouchard

Date de création: 4 avril 2011

On considère le système dynamique suivant:

$\dot{{\bf x}}={\bf f} ({\bf x})$ ,

où ${\bf x}$ est un vecteur de dimension , et ${\bf f}$ une fonction vectorielle de dimension continue et dérivable.

On appelle exposant de Lyapunov en ${\bf x}_0$ suivant le vecteur ${\bf w}_0$ la quantité:

$\chi({\bf x}_0,{\bf w}_0)=\lim_{t \to +\infty}\frac{1}{t}\ln || {\bf w}(t) ||$ ,

où ${\bf w}(t)$ est solution de l'équation différentielle:

$\dot{{\bf w}}=\mathcal{J}\cdot {\bf w}$ ,

avec $\mathcal J=\frac{\partial {\bf f}}{\partial {\bf x}}$ est le Jacobien de ${\bf f}$ .

Cette équation, appelée équation variationnelle, est associée à l'équation différentielle décrivant l'évolution de ${\bf x}$ . Les vecteurs ${\bf x}_0$ et ${\bf w}_0$ sont les conditions initiales de ces équations différentielles.

On appelle généralement le vecteur ${\bf w}$ le vecteur tangent à la trajectoire. Il évolue dans un espace appelé espace tangent qui peut être identifié à $\mathcal{R}^n.$

Les exposants de Lyapunov permettent de savoir si la trajectoire passant par ${\bf x}_0$ est chaotique ou pas. Par exemple sur la figure ci-dessous on peut voir qu'un dérivé des exposants de Lyapunov (Exposant de Lyapunov Rapide) se comporte de manière différente pour une trajectoire régulière (accroisement linéaire) et pour une trajectoire chaotique (accroissement exponentiel). Dans la suite on va étudier les exposants de Lyapunov associés à la trajectoire passant par ${\bf x}_0$ à t=0 et démontrer quelques propriétés élémentaires de ces exposants, en particulier leur similarité avec le spectre des valeurs propres d'en endomorphisme.

Evolutions d'exposants de Lyapunov Rapides

Evolution de l'exposant de Lyapunov Rapide (à droite) pour trois trajectoires (à gauche). Les trajectoires rouge et verte sont régulières alors que la trajectoire noire est chaotique.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Marc Fouchard