Ex: Perturbations linéaires

Auteurs: Jérôme Thiébaut, Arnaud Beck

Auteur: Jérôme Thiébaut

Perturbations linéaires

Difficulté : ☆☆ Temps : 1 h

Les équations fondamentales gouvernant le mouvement d'un fluide sont:

l'équation d'Euler (conservation de l'impulsion)
l'équation de conservation (dans ce cas, conservation de la masse)
l'équation de Poisson (reliant masse et potentiel gravitationnel) .

D/Dt=drond/drondt+pscalaire(v;nabla) est la dérivée convective (variation totale dûe à la variation temporelle, $frac(drond;drondt)$ , et spatiale, , du fluide) , v la vitesse du fluide, P sa pression, rho sa densité, G la constante de gravitation et Phi le potentiel gravitationnel. On souhaite tout d'abord linéariser les équations autour d'un fond homogène, rho=rho_0+delta*rho , v=v_0+delta*v , P=P_0+delta*P et Phi=Phi_0+delta*Phi .

Question 1)

Réecrire les trois équations linéarisées au premier ordre.

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Question 2)

Soustraire à ces équations les équations à l'ordre 0 (c.à.d. les équations non perturbées où les delta*x sont nuls) et les exprimer en fonction du contraste de densité lambda=delta*rho/rho_0

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Question 3)

La dérivée convective des quantités perturbées est donc d/dt=drond/drondt+pscalaire(v_0;nabla) . Ces équations sont écrites en coordonnées eulériennes x(t) (système de coordonnées fixes). On se propose maintenant de les écrire en coordonnées comobiles, r(t), système de coordonnées qui évolue et se dilate avec l'expansion de l'universafin de s'en affranchir. Le passage de l'une à l'autre se fait par: x(t)=a(t)*r(t) et delta*v(t)=a(t)*u(t) où a(t) est le facteur d'échelle caractérisant l'expansion et u(t)=dr/dt est la vitesse particulière du fluide. On peut montrer que pscalaire(delta*v;nabla)*v_0=(dtemps(a;1)/a)*delta*v . Réecrire les équations d'Euler et de conservation en fonction de a et u(t).

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Question 4)

La vitesse du son c_S est par définition subsup(c;S;2)=drond*p/drond*rho . Dériver l'équation de conservation afin de déterminer l'équation différentielle du deuxième ordre régissant l'évolution de lambda .

Solution