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Le transfert de rayonnement décrit l'interaction du rayonnement électromagnétique et de la matière. Cette discipline permet notamment d'analyser la propagation de la lumière à travers un milieu gazeux et joue donc un rôle fondamental dans l'analyse des spectres stellaires et des atmosphères planétaires.

L'équation de transfert fait le bilan énergétique relatif au transport de photons dans un milieu. Comme toujours, on écrit que la quantité à laquelle on s'intéresse varie proportionnellement à sa valeur sur un intervalle suffisamment petit pour que le coefficient soit constant : $\frac{dI_{\nu}}{d\tau_{\nu}} = -I_{\nu} + S_{\nu}$

où $I_{\nu}$ est l'intensité lumineuse à la fréquence $\nu$ , $\tau_{\nu}$ est la profondeur optique du milieu, $S_{\nu}$ est la fonction source, égale au rapport du coefficient d'émission au coefficient d'absorption du milieu traversé.

En intégrant cette équation le long du trajet du faisceau lumineux, on a :

$I_{\nu}}(s) = I_{\nu}(0) e^{-\tau_{\nu}} + \int_{0}^{\tau_{\nu}} S_{\nu}(t_{\nu}) e^{-t_{\nu}} dt_{\nu}$

où $t_{\nu}} = \int_{s'}^{s} \kappa_{\nu}(z) dz$ est l'épaisseur optique entre les points s' et s, et $\kappa_{\nu}(z)$ est le coefficient d'absorption du milieu en z.

On veut résoudre cette équation pour connaître l'intensité en fonction des propriétés du milieu. Les exercices suivants étudient des situations particulières qu'on rencontre fréquemment.

Ex: Transfert de rayonnement

Auteur: Stéphane Erard

Atmosphère planétaire en visible

Difficulté : ☆ Temps : 15 min

Question 1)

On se place dans l'approximation "plan-parallèle" où on néglige localement la courbure de la planète. Déterminer l'expression de l'intensité lumineuse reçue à la surface de la Terre ou de Mars, dans le cas où le Soleil est au zénith.

figure 1

On s'intéresse au flux descendant, le Soleil étant à la verticale.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Bessou & Erard

Question 2)

Cas où le Soleil est vu sous un certain angle (la profondeur optique est toujours mesurée à la verticale).

figure 2

Le Soleil est cette fois vu sous un certain angle.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Bessou & Erard

Auteur: Stéphane Erard

Face nuit de Vénus

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

Question 1)

Vénus a une température de surface très élevée, de l'ordre de 740 K, qui ne varie quasiment pas au cours de la journée. La température diminue avec l'altitude, pour s'établir à environ 230 K au sommet des nuages côté nuit.

Quelle est l'allure du spectre infrarouge de la face nuit de Vénus ?

figure 3

On s'intéresse cette fois au flux montant, qu'on mesure au sommet de l'atmosphère.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Bessou & Erard

Question 2)

A quoi est due la température de surface ?

Question 3)

Il existe néanmoins d'étroites régions spectrales entre 1 et 2,5 $\mu m$ où l'atmosphère n'est pas entièrement opaque. Ecrire le flux émergent dans ces régions spectrales où l'atmosphère est semi-transparente.

Question 4)

La figure 4 donne un spectre observé de la face nuit de Vénus. Interpréter le flux spectral mesuré à la lumière des questions précédentes.

figure 4

Spectre infrarouge de Vénus mesuré sur la face nuit (instrument Virtis / Venus-Express). La courbe rouge est un corps noir à 233 K.

Crédit : ESA / LESIA

Equation de Kepler

Auteur: Marc fouchard

On reprend les résultats obtenus dans l'exercice sur la résolution du problème de 2 corps. Le but est d'obtenir à partir de ces résultats l'équation de Kepler. Cette équation est fondamentale en mécanique céleste puisque c'est elle qui fait le lien entre le temps et la position de l'objet sur son orbite (voir la figure).

Les trois anomalies

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Bessou Fouchard

Ex: equation de Kepler

équation de Kepler

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 1h

Question 1)

On considère le mouvement d'un corps ponctuel de masse négligeable soumise à l'attraction universelle d'un corps de masse situé au centre du repère de référence. La force s'appliquant à est donnée par : $\mathbf{F}=-\frac{\mu m}{r^3}\mathbf{OP}$ , où la notation en gras dénote des vecteurs, $\mu$ est la constante universelle de la gravitation, et $r=||\mathbf{OP}||$ . Les coordonnées de dans le repère tournant étant ${r \choose \theta}$ , on a vu dans l'exercice du problème de 2 corps que la solution des équations du mouvement est :

$r=\frac{p}{1+e\cos (\theta -\omega)}$ ,

où $p=\frac{h^2}{\mu}=a(1-e^2)$ , est l'excentricité de la trajectoire, est le demi-grand axe et $\omega$ est l'argument du péricentre

On a vu aussi que la norme du moment angulaire $h=r^2\dot{\theta}=\sqrt{\mu a (1-e^2)}$ est une constante du mouvement, ainsi que l'intégrale de l'énergie donnée par $C=\frac{1}{2}v^2-\frac{\mu}{r}$ , où est la norme de la vitesse de .

Dans le repère tournant on a vu que $v^2=\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2$ .

Entre un instant et l'instant $t+\delta t$ , le point $P{r \choose \theta}$ s'est déplacé au point $P' {r+\delta r \choose \theta+\delta \theta }$ . En déduire, l'aire élémentaire $\delta A$ balayée par le rayon vecteur $\mathbf{OP}$ pendant l'intervalle de temps $\delta t$ . On ne retiendra que les quantités d'ordre 1.

Question 2)

En déduire que le mouvement moyen $n=\frac{2\pi}{T}$ , où est la période du mouvement est tel que $\mu=n^2 a^3$ .

Cette relation correspond à la troisième loi de Kepler.

Question 3)

Après avoir vérifier que $h=na^2\sqrt{1-e^2}$ , montrer que:

$r\dot{f}=\frac{na}{\sqrt{1-e^2}}(1+e\cos f)=\frac{na^2\sqrt{1-e^2}}{r}$

et que:

$\dot{r}=\frac{na}{\sqrt{1-e^2}}e\sin f$

où $f=\theta-\omega$ . s'appelle l'anomalie vraie et correspond à l'angle entre le péricentre et vu depuis le foyer .

Question 4)

Après avoir montrer que $v^2=\mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)$ , en déduire que l'intégrale de l'énergie $C=-\frac{\mu}{2a}$ .

Question 5)

Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre le centre de l'ellipse correspondant à la trajectoire de et de diamètre le grand axe de l'ellipse, c'est à dire . La projection de sur le cercle $\mathcal{C}$ parallèlement au petit axe de l'ellipse est noté . On appelle anomalie excentrique l'angle entre et vu depuis . Sachant que l'équation de l'ellipse correspondant à la trajectoire de dans le repère centré sur et d'axe des abscisses le grand axe dirigé vers le foyer , et d'axe des ordonnées la direction orthogonale dans le sens direct, est:

$\left(\frac{\bar{x}}{a}\right)^2+\left(\frac{\bar{y}}{b}\right)^2=1$ ,

en déduire l'expression de $\bar{x}$ et $\bar{y}$ en fonction de , puis l'expression de en fonction de .

Question 6)

Montrer, en utilisant l'expression de v^2 que vérifie l'équation différentielle suivante:

$\frac{\mathrm d r}{\mathrm d t}=\frac{na}{r}\sqrt{a^2e^2-(r-a)^2}$

Question 7)

En déduire que l'anomalie excentrique vérifie l'équation différentielle:

$\frac{\mathrm d E}{\mathrm dt}=\frac{n}{1-e\cos E}$ .

Question 8)

En déduire l'équation de Kepler $M=E-e\sin E$ , où l'anomalie moyenne est définie par $M=n(t-\tau)$ où $\tau$ correspond à l'instant de passage au péricentre, c'est à dire quand E=0 .