Fonctions de plusieurs variables

Introduction
Dérivations partielles
- Entropie
- Ex: Entropie
- Formulation hamiltonienne du problème de 2 corps
- Ex: Formulation hamiltonienne du problème de 2 corps
- Les variables de Delaunay
- Ex: les variables de Delaunay
- Théorème d'inversion de Lagrange
- Ex: Théorème d'inversion de Lagrange
- Paramètre de Tisserand
- Ex: paramètre de Tisserand
Intégrales multiples
- Photométrie des surfaces planétaires
- Ex: photométrie des surfaces planétaires
- Théorème de Liouville
- Ex: théorème de Liouville

Introduction

On trouvera dans ce chapitre les exercices suivants :

Détermination de l'entropie de l'univers en fonction de sa température (dérivations partielles)
Formulation hamiltonienne du problème des deux corps (dérivations partielles)
Variables de Delaunay dans le problème des deux corps (dérivations partielles)
Théorème d'inversion de Lagrange (dérivations partielles)
Paramètre de Tisserand (dérivations partielles)
Photométrie planétaire (intégrales multiples)
Théorème de Liouville (intégrales multiples)

Dérivations partielles

Auteurs: Jérôme Thiébaut, Marc Fouchard, S. Renner

Entropie

Auteur : Jérôme Thiébaut

La connaissance du contenu de l'univers en terme de particules et d'énergie est indispensable à la compréhension de son évolution. Juste après le Big Bang, l'univers était très chaud et les premières particules présentes n'étaient ni des électrons ni des protons, mais plutôt des quarks, neutrinos... En se diluant, l'univers refroidit et les particules qui le constituent changent et évoluent ensemble puis séparément. La température de l'univers est donc une quantité extrêmement importante. La thermodynamique est la branche de la physique qui permet de traiter ce problème. Elle permet, grâce à ses lois, de relier entre elles diverses quantités fondamentales telles que la température, la pression, l'énergie, la densité de particules, de photons... L'entropie est une de ces quantités. Elle mesure en quelque sorte le degré de désordre d'un système microscopique, où autrement dit, la capacité d'un système de particules à produire ou non des phénomènes collectifs. Le but de cet exercice est d'exprimer l'entropie en fonction de la température de l'univers.

Ex: Entropie

Auteur: Jérôme Thiébaut

Entropie

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

On peut relier la variation d'énergie, epsilon , aux variations d'entropie, S, et de volume, V, par la relation suivante: d*epsilon=T*d*S-P*d*V , où T est la température et P la pression.

Question 1)

Exprimer la variation d'entropie en fonction des variations de volume et de densité volumique d'énergie, rho .

Question 2)

Exprimer la variation d'entropie en fonction des variations de volume et de température.

Question 3)

Montrer que (1/T)*(drond*rho/drond*T)=d((rho+P)/T)/dT .

Question 4)

Exprimer la variation d'entropie comme la variaton d'une seule quantité dépendant de V, P, T et rho puis relier l'entropie à ces variables thermodynamiques.

Question 5)

D'autres calculs thermodynamiques montrent que la densité d'entropie $s=frac(2*pi^2;45)*q_(star)*((T))*T^3$ , où q_star*((T)) est un facteur dépendant de la température et des particules présentes. L'unité de volume est V=a^3 , où est le facteur d'échelle mesurant l'expansion de l'univers. Exprimer S comme une fonction de la température T et du facteur d'échelle a.

Formulation hamiltonienne du problème de 2 corps

Auteur : Marc Fouchard

On a vu dans cet exercice comment résoudre le problème de deux corps. Nous allons voir ici, comment obtenir les équations hamiltoniennes de ce problème.

On considère donc un corps ponctuel de masse unité mobile dans un plan et soumis à l'attraction gravitationnelle d'un corps fixe de masse se trouvant en . On suppose que $m \gg 1$ .

Ex: Formulation hamiltonienne du problème de 2 corps

Auteur: Marc Fouchard

Formulation hamiltonienne du problème de 2 corps

Difficulté : ☆ Temps : 30 mn

Question 1)

On se place dans un repère polaire, centré sur . On précise que la force universelle de la gravitation s'appliquant au point est:

$\mathbf{F}=-\frac{m\mu}{r^3}\mathbf{OP}$ ,

où $\mu$ désigne la constante universelle de la gravitation et $r=||\mathbf{OP}||$ (les notations en gras dénotent des vecteurs).

Déterminer le potentiel dont dérive la force. En déduire l'énérgie potentielle E_p .

Question 2)

Calculer l'énergie cinétique. En déduire le lagrangien et le hamiltonien du système.

Question 3)

Définir les variables conjuguées p_r et $p_\theta$ associées aux coordonnées et $\theta$ .

Question 4)

En déduire les équations hamiltoniennes du problème.

Les variables de Delaunay

Auteur: Marc Fouchard

On a vu dans l'exercice sur la formulation hamiltonienne du problème de 2 corps, comment écrire les équations de hamilton de ce problème. Cependant, on n'intégrait pas les équations. On va voir ici, qu'en utilisant des variables hamiltoniennes appropriées on peut intégrer le problème très facilement. Ces variables sont les variables de Delaunay.

Ex: les variables de Delaunay

Auteur: Marc Fouchard

Les variables de Delaunay

Difficulté : ☆ Temps : 10 mn

Question 1)

Les variables de Delaunay sont les coordonnées (l,g,h) associées aux moments conjuguées (L,G,H) (voir ce cours de mécanique céleste ainsi que l' exercice précédent) avec:

$\begin{array}{ccc} l=M, & g=\omega, & h=\Omega \\ L=\sqrt{\mu a}, & G=\sqrt{\mu a (1-e^2)}, & H=\sqrt{\mu a (1-e^2)}\cos i \end{array}$ .

où est l'anomalie moyenne, $\omega$ est l'argument du péricentre, $\Omega$ est la longitude du noeud ascendant, est le demi-grand axe, est l'excentricité et est l'inclinaison.

Sachant que le hamiltonien du problème de deux corps (où on a supposé ici que le corps massif était de masse unité) est: $\mathcal H=-\frac{\mu}{2a}$ , (voir cet exercice sur l'équation de Kepler) en déduire les équations de Hamilton et résoudre le système.

Théorème d'inversion de Lagrange

Auteur: S. Renner

Le théorème d'inversion de Lagrange donne le développement en série d'une fonction définie implicitement. L'application de ce théorème permet entre autres d'obtenir une solution numérique de l'équation de Kepler $E = M + e \sin E$ , ou d'écrire des développements utiles du problème des deux corps.

Voici un énoncé de ce théorème :

Soit fonction de 2 variables et $\alpha$ et d'une fonction infiniment dérivable de la forme : $y = x + \alpha f(y)$ avec $\alpha$ petit.

Alors $\displyastyle y = x + \Sigma_{k=1}^\infty \frac{\alpha^k}{k!} \frac{\partial^{k-1}}{\partial x^{k-1}} f^k(x)$ .

On propose ici de le démontrer par une méthode reposant sur les dérivées partielles, révélée par Pierre-Simon Laplace.

Ex: Théorème d'inversion de Lagrange

Auteur: S. Renner

Théorème d'inversion de Lagrange

Difficulté : ☆☆ Temps : 1H

On va donc démontrer que si $y = x + \alpha f(y)$ , alors $\displyastyle y = x + \Sigma_{k=1}^\infty \frac{\alpha^k}{k!} \frac{\partial^{k-1}}{\partial x^{k-1}} f^k(x)$ avec $\alpha$ petit.

Question 1)

Développer $y(x,\alpha)$ au voisinage de $\alpha = 0$ .

Question 2)

Montrer que $\frac{\partial y}{\partial \alpha} = f(y) \frac{\partial y}{\partial x}$ .

Question 3)

Montrer que pour tout entier strictement positif, $\displaystyle \frac{\partial^n y}{\partial \alpha^n} = \frac{\partial^{n-1}}{\partial x^{n-1}} \Big{(} f^n(y). \frac{\partial y}{\partial x}\Big{)}$ . On utilisera le résultat de la question précédente.

Question 4)

En déduire $\displyastyle y = x + \Sigma_{k=1}^\infty \frac{\alpha^k}{k!} \frac{\partial^{k-1}}{\partial x^{k-1}} f^k(x)$ .

Paramètre de Tisserand

Auteur: Marc Fouchard

Date de création: 9 Mai 2013

L'objectif de cet exercice est de déterminer le paramètre de Tisserand qui est une quasi-constante du mouvement pour les comètes observées. Ainsi ce paramètre permet de montrer que l'observation de deux comètes à des époques différentes correspondent en fait au même objet.

Ex: paramètre de Tisserand

Auteur: Marc Fouchard

Paramètre de Tisserand

Difficulté : ☆ Temps : 1h30

On considère un problème de trois corps où les deux premiers P_1 et P_2 , appelés primaires et de masse respective m_1 et m_2 , sont sur des orbites circulaires et uniforme ; et le troisième , de masse négligeable voit sa trajectoire affectée par les primaires alors que celui-ci n'affecte pas le mouvement des deux primaires. Ce problème est appelé le problème de trois corps restreint et circulaire.

On considère un repère tournant orthonormé, centré sur le centre de gravité des deux primaires et dont les axes sont tels que l'axe des abscisses est dirigé vers le deuxième primaire, l'axe des ordonnées fait un angle de $\pi/2$ avec celui des abscisse dans le même sens que le mouvement de rotation des primaires, et l'axe des complète un trièdre direct.

On considère aussi un repère fixe orthonormé qui coïncide avec le repère tournant à t=0 .

Dans le repère tournant, les coordonnées des deux primaires sont (-d_1,0,0)^T et (d_2,0,0)^T , où d_1/d_2=m_2/m_1 et d_1+d_2=d qui est la distance (fixe) qui sépare les deux primaires. On note $\omega$ la vitesse de rotation angulaire des deux primaires par rapport au repère fixe.

De manière générale on notera (x,y,z)^T les coordonnées dans le repère fixe et (u,v,w)^T les coordonnées dans le repère tournant. Le point au dessus d'une quantité indique la dérivée par rapport au temps de cette quantité.

Question 1)

Exprimer d_1 et d_2 en fonction de m_1 , m_2 et .

Question 2)

Déterminer les formules de passage entre (x,y,z)^T et (u,v,w)^T pour un même objet.

Question 3)

Les deux forces qui s'appliquent au troisième corps sont $\overrightarrow{F}_1=\frac{G m_1}{P P_1^3} \overrightarrow{PP_1}$ et $\overrightarrow{F}_2=\frac{G m_2}{P P_2^3} \overrightarrow{PP_2}$ . En appliquant le principe fondamental de la dynamique, c'est-à-dire que l'accélération est égale à la somme des forces dans le repère fixe, écire les équations différentielles vérifiées par les coordonnées (x,y,z)^T de .

Question 4)

En différenciant les expressions de (x,y,z)^T en fonction de (u,v,w)^T , en déduire les équations du mouvement dans le repère tournant.

Question 5)

Montrer qu'il existe une fonction U(u,v,w) tel que le système d'équations précédent s'écrit :

$\begin{array}{rcl}\ddot{u} -2\dot{v} \,\omega &=& \frac{\partial U}{\partial u} \\ \ddot{v}+2\,\dot{u}\,\omega &=& \frac{\partial U}{\partial v} \\ \ddot{w} &=& \frac{\partial U}{\partial w} \end{array}$ ,

Question 6)

En multipliant chaque ligne du système précédent par $\dot{u}$ , $\dot{v}$ et $\dot{w}$ respectivement, puis en additionnant, montrer que le système admet une intégrale du mouvement (c'est -à-dire une quantité qui est constante au cours du temps).

Question 7)

En déduire en fonction de (x,y,z)^T et de leur dérivées par rapport au temps.

Question 8)

On considère maintenant que les deux primaires P_1 et P_2 correspondent au Soleil et à Jupiter respectivement. On pose $m_1=M_\odot, \quad m_2=m_J,\quad d=a_J, \quad \omega=\sqrt{\frac{G(M_\odot+m_J)}{a_J^3}}, \quad OP=r$ . Comme $m_J \ll M_\odot$ , on en déduit que $d_1\approx 0, \quad r_1\approx r, \quad M_\odot+m_J\approx M_\odot$ .

On peut alors considérer la trajectoire du troisième comme une orbite keplerienne autour du Soleil se trouvant à l'origine. Soit , , et le demi-grand axe, l'excentricité et l'inclinaison de cette trajectoire. On a alors les relations suivantes:

Sachant que $\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2=2\frac{GM_\odot}{r}-\frac{GM_\odot}{a}$ , $\dot{y}x-\dot{x}y=\sqrt{ GM_\odot a (1-e^2)}\cos i$ , réécrire l'équation précédente pour en fonction de a, e, i . L'expression obtenue correspond au paramètre de Tisserand qui est une quasi constante du mouvement pour les comètes de la famille de Jupiter qui sont essentiellement soumisent à l'influence de Jupiter et du Soleil. On remarquera que les approximations faites fonctionnent pourvu que l'on ne soit pas trop proche de Jupiter.

Intégrales multiples

Auteurs: Stéphane Erard, Marc Fouchard

Photométrie des surfaces planétaires

Les surfaces planétaires réfléchissent la lumière solaire d'une façon qui dépend de leurs propriétés et de leur composition. Si les caractéristiques spectrales reflètent la composition (minéralogique) d'une surface, la distribution angulaire du rayonnement diffusé dépend surtout de ses propriétés physiques : taille de particules, porosité, rugosité à diverses échelles...

Divers modèles photométriques rendent compte de ces comportements, en décrivant la dépendance angulaire de la luminance. La luminance est la puissance émise ou diffusée dans un angle solide élémentaire par unité de surface. Il s’agit d’une caractéristique intrinsèque à la source lumineuse :

Figure 1

Géométrie d'observation d'une surface

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

Dans la configuration générale décrite Figure 1, la luminance est définie de la façon suivante :

$L = \frac{dW}{S\,cos\,e\,d\Omega}$

où dW est la puissance recueillie par le détecteur, e est l'angle sous lequel on voit la source, $d\Omega$ l'angle solide sous lequel la source voit le détecteur, et S la surface de la source. Dans le Système International, la luminance se mesure en $W\,m^{-2}\,sr^{-1}$ , ou dans un intervalle de longueur d'onde élémentaire en $W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,\mu m$ .

Le modèle photométrique le plus commun est le modèle lambertien, que suit notamment le corps noir : la luminance est simplement isotrope (ne dépend pas de la direction e).

Ex: photométrie des surfaces planétaires

Soleil

Difficulté : ☆☆ Temps : 45 min

Question 1)

On assimile le Soleil à un corps noir. Quelle est la puissance rayonnée par un élément de surface dans une direction donnée ?

Question 2)

Calculer la luminance intégrale (intégrée spectralement), toujours dans une direction donnée. Application numérique.

Question 3)

Calculer la luminosité totale d'un élément de surface (rayonnée dans toutes les directions). Commenter.

Question 4)

Calculer la puissance totale émise par le Soleil. Application numérique (on donne pour le rayon du Soleil $r_s = 695\,000\,km$ ).

Surface lunaire

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

Le cas des surfaces planétaires est différent, leur capacité à réfléchir le rayonnement solaire dépendant de leur état physique : rugosité, taille des particules en surface... En outre la position du Soleil intervient également puisqu'on observe maintenant en réflexion (voir Figure 2). Le modèle lambertien est encore adapté aux surfaces très claires, mais ne décrit pas correctement les propriétés de la Lune ou des astéroïdes qui sont relativement sombres. On utilise souvent le modèle de Lommel-Seeliger, qui donne la luminance comme : $L(\mu_0, \mu) = p F\frac{\mu_0}{\mu_0 + \mu}$

où p est l'albedo de la surface (coefficient de réflexion sous incidence et émergence nulles), F est le flux solaire à la distance de la planète, $\mu_0$ et $\mu$ sont les cosinus des angles d'incidence et d'émergence.

Figure 2

Géométrie d'observation d'une surface planétaire

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

Question 1)

On utilise la réflectance hémisphérique pour étudier les propriétés thermiques des surfaces. Celle-ci est définie comme : $r_{hd} = \int_{2\pi} \frac{L}{F}\,d\Omega_i$

où $d\Omega_i$ est l'angle solide élémentaire dans la direction d'incidence.

Calculer cette quantité en fonction des variables $\mu_0$ et $\mu$ .

Théorème de Liouville

Auteur : Marc Fouchard.

Le but de cet exercice est de montrer qu'un volume soumis à un flux, c'est-à-dire qu'en chaque point de l'espace on peut associer un vecteur vitesse donné par une équation différentielle d'ordre 1, hamiltonien reste constant.

La figure suivante illustre cette propriété dans le cas du problème de 2 corps plan. Comme on est à deux dimensions un volume correspond à une surface. Le disque est soumis à une force gravitationelle due à un corps massif se trouvant à l'origine. La surface verte est constante au cours du temps, même si la forme est fortement modifiée.

théorème de Liouville

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Fouchard

Un flux hamiltonien vérifie les équations d'hamilton. C'est-à-dire que le point de coordonnées $(q_1,\dots,q_n,p_1, \dots,p_n)$ vérifie les équations différentielles suivantes :

$\frac{{\rm d}q_i}{{\rm d}t}=\frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \frac{{\rm d}p_i}{{\rm d}t}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$ , avec $i=1,\dots,n$ .

où est le hamiltonien du système, indépendant du temps.

Ex: théorème de Liouville

Auteur: Marc Fouchard

théorème de Liouville

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 1h

Question 1)

Soit $\Gamma$ un volume de surface $\Sigma$ . La variation du volume au cours du temps s'écrit:

$\frac{{\rm d} \Gamma}{{\rm d} t}=\int\int_{\Sigma} \vec{v} \cdot \vec{{\rm d}S}$ ,

où $\vec{v}=\frac{{\rm d} q}{{\rm d} t}$ est le vecteur vitesse et $\vec{{\rm d}S}$ est un vecteur normal à la surface $\Sigma$ et de norme égale à une élément de surface.

Exprimer ${\rm d}\Gamma/{\rm d} t$ en vonction de la divergence de la vitesse ${\rm div}\, \vec{v}$ .

Question 2)

Montrer que ${\rm div}\,\vec{v}=0$ et donc que ${\rm d}\Gamma \,/\, {\rm d}t=0$ .

Réponses aux exercices

pages_der-part/ent-exo.html

Exercice 'Entropie'

Question 1
Aide :

Solution :
Question 2
Aide :

Solution :
Question 3
Aide :
Utiliser la propriété suivante: .

Solution :

donc et .

Comme ,
Question 4
Solution :
Avec l'égalité de l'équation précédente, il vient: . Donc, et , où C est une constante d'intégration.
Question 5
Solution :
$S=frac(2*pi^2;45)*q_(star)*((T))*T^3*a^3$

L'entropie étant constante, .

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Exercice 'Formulation hamiltonienne du problème de 2 corps'

Question 1
Solution :
Le potentiel est tel que $\mathbf{F}=-\mathbf{grad}\, U$ . Dans le repère polaire on a:

$\mathbf{F}=-\mathbf{grad} U = -{ \frac{\partial U }{\partial r} \choose r\frac{\partial U}{\partial \theta} }$ ,

On voit alors facilement que $U=-\frac{m\mu}{r}$ , en considérant que le potentiel est nul à l'infini. L'énergie potentielle est donc: $E_p=U=-\frac{m\mu}{r}$ (on rappelle que la masse de est égale à 1).
Question 2
Solution :
En coordonnées polaires on a: $\frac{\mathrm{d} \mathbf{OP}}{\mathrm{d}t}={ \dot{r} \choose r\dot{\theta}}$ . Donc l'énergie cinétique est $E_c=\frac{1}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)$ .

On en déduit le lagrangien $L=E_c-E_p=\frac{1}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)+\frac{m\mu}{r}$ ,

et le hamiltonien $H=E_c+E_p=\frac{1}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)-\frac{m\mu}{r}$ .
Question 3
Aide :
La variable conjuguée associée à la coordonnée est définie par : $p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ .

Solution :
On a $p_r=\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=\dot{r}$ et $p_\theta=\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=r^2\dot{\theta}$
Question 4
Aide :
Pour chaque couple on a les équations:

$\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}, \quad \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}$ .

Solution :
$\large \begin{array}{cc} \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial H}{\partial p_r}=\frac{p_r}{m}, & \frac{\mathrm{d}p_r}{\mathrm{d}t}=-\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{p_\theta^2}{m r^3}-\frac{m\mu}{r^2}, \\ \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial H}{\partial p_\theta}=\frac{p_\theta}{m r^2}, & \frac{\mathrm{d}p_\theta}{\mathrm{d}t}=-\frac{\partial H}{\partial \theta}=0.\end{array}$

loi des aires

$\dot{p_\theta}=0$ correspond à la loi des aires et découle du fait que $\theta$ n'est pas présent explicitement dans le hamiltonien.

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Exercice 'Les variables de Delaunay'

Question 1
Solution :
On a $\mathcal H=-\frac{\mu^2}{2L^2}$ , ainsi les équations de hamilton nous donnent:

$\large \begin{array}{cc}\frac{\mathrm d l}{\mathrm d t}=\frac{\partial \mathcal H}{\mathrm d L}=\frac{\mu^2}{L^3}, & \frac{\mathrm d L}{\mathrm d t}=-\frac{\partial \mathcal H}{\mathrm d l}=0,\\ \frac{\mathrm d g}{\mathrm d t}=\frac{\partial \mathcal H}{\mathrm d G}=0, & \frac{\mathrm d G}{\mathrm d t}=-\frac{\partial \mathcal H}{\mathrm d g}=0, \\ \frac{\mathrm d h}{\mathrm d t}=\frac{\partial \mathcal H}{\mathrm d H}=0, & \frac{\mathrm d H}{\mathrm d t}=-\frac{\partial \mathcal H}{\mathrm d h}=0 \end{array}$ .

Ainsi, $\omega, \Omega, a, i$ et sont constants. Seule l'anomalie moyenne varie, et est donnée par $M=\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}(t-t_0)$ , où correspond au passage au péricentre, c'est à dire lorsque . Avec $\mu=n^2a^3$ on retrouve bien la définition de l'anomalie moyenne donnée dans l'exercice sur l'équation de Kepler.

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Exercice 'Théorème d'inversion de Lagrange'

Question 1
Solution :
Pour fixé et au voisinage de $\alpha = 0$ , $\displaystyle y(x,\alpha)=\Sigma_{k \geq 0} \frac{x^k}{k!} \frac{\partial^k}{\partial x^k} y(x,0) = x + \Sigma_{k \geq 1} \frac{x^k}{k!} \frac{\partial^k}{\partial x^k} y(x,0)$
Question 2
Solution :
$y(x,\alpha) - x - \alpha f (y(x,\alpha))=0$ .

$\frac{\partial y}{\partial x} - 1 - \alpha \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial x} = 0 \Longleftrightarrow \frac{\partial y}{\partial x} \Big{[} 1 - \alpha f'(y) \Big{]} = 1$ .

$\frac{\partial y}{\partial \alpha} - f(y(x,\alpha)) - \alpha \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \alpha} = 0 \Longleftrightarrow \frac{\partial y}{\partial \alpha} \Big{[} 1 - \alpha f'(y) \Big{]} = f(y)$ .

$\Longrightarrow \frac{\partial y}{\partial \alpha} = f(y) \frac{\partial y}{\partal x}$ .
Question 3
Solution :
$\frac{\partial^2 y}{\partial \alpha^2} = \frac{\partial}{\partial \alpha} \Big{(} \frac{\partial y}{\partial \alpha} \Big{)} = \frac{\partial}{\partial \alpha} \Big{(} f(y) \frac{\partial y}{\partial x} \Big{)} = f(y) \frac{\partial}{\partial x} \Big{(} f(y) \frac{\partial y}{\partial x}\Big{)} = \frac{\partial}{\partial x} \Big{(} f^2(y) \frac{\partial y}{\partial x}\Big{)}$ .

Par récurrence on a bien $\displaystyle \frac{\partial^n y}{\partial \alpha^n} = \frac{\partial^{n-1}}{\partial x^{n-1}} \Big{(} f^n(y). \frac{\partial y}{\partial x}\Big{)}$ .
Question 4
Solution :
Donc en , , $\frac{\partial y}{\partial x}= 1$ et $\displaystyle \frac{\partial^n }{\partial \alpha^n} y(x,0) = \frac{\partial^{n-1}}{\partial x^{n-1}} \Big{(} f^n(x) \Big{)}$ .

Donc d'après 1) on en déduit $\displyastyle y = x + \Sigma_{k=1}^\infty \frac{\alpha^k}{k!} \frac{\partial^{k-1}}{\partial x^{k-1}} f^k(x)$ .

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Exercice 'Paramètre de Tisserand'

Question 1
Solution :
on a le système d'équation suivant :

$\begin{array}{rcl} d_1+d_2&=&d \\ m_1 d_1 - m_2 d_2 &=& 0 \end{array}$ .

Ce qui nous donne :

$\begin{array}{rcl} d_1&=&\frac{m_2}{m_1+m_2}d \\ d_2 &=& \frac{m_1}{m_1+m_2}d \end{array}$ .
Question 2
Solution :
$\begin{array}{rcl}x&=&u\, \cos (\omega t) - v \, \sin (\omega t) \\ y &=& u\, \sin (\omega t) + v \, \cos (\omega t) \\ z&=&w \end{array}$ ,

et

$\begin{array}{rcl}u&=&x\, \cos (\omega t) + y \, \sin (\omega t) \\ v &=& x\, \sin (\omega t) -y \, \cos (\omega t) \\ w&=&z \end{array}$ ,
Question 3
Solution :
Sous forme vectorielle on a $\frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2} \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{F}_1+\overrightarrow{F_2}$ , soit : $\frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2} \overrightarrow{OP} =\frac{Gm_1}{r_1^3} \overrightarrow{PP_1}+\frac{Gm_2}{r_2^3}\overrightarrow{PP_2}$ , où et .

Sachant que les coordonnées de et dans le repère fixe sont $(-d_1 \cos (\omega t), -d_1 \sin (\omega t), 0)^T$ et $(d_2 \cos (\omega t), d_2 \sin (\omega t), 0)^T$ respectivement, on en déduit les équations du mouvement :

$\begin{array}{rcl}\ddot{x}&=&\frac{Gm_1}{r_1^3}\left(-d_1\cos (\omega t) -x\right)+\frac{Gm_2}{r_2^3}\left( d_2 \cos (\omega t) - x) \\ \ddot{y}&=&\frac{Gm_1}{r_1^3}\left(-d_1 \sin (\omega t) -y \right) + \frac{Gm_2}{r_2^3}\left(d_2\sin(\omega t) - y\right) \\ \ddot{z}&=& -\left(\frac{Gm_1}{r_1^3}+\frac{Gm_2}{r_2^3}\right) z. \end{array}$
Question 4
Solution :
On a :

$\begin{array}{rcl}\ddot{x}&=&\ddot{u}\, \cos (\omega t)- 2 \dot{u} \,\omega \sin (\omega t) -u \,\omega^2 \cos (\omega t) - \ddot{v} \, \sin (\omega t) -2\dot{v} \,\omega \cos(\omega t) +v\,\omega^2\sin(\omega t)\\ \ddot{y} &=& \ddot{u}\, \sin (\omega t) +2\,\dot{u}\,\omega \cos(\omega t)-u\,\omega^2 \sin (\omega t) + \ddot{v} \, \cos (\omega t) -2\,\dot{v}\, \omega \sin (\omega t) -v\,\omega^2 \cos(\omega t) \\ \ddot{z}&=&\ddot{w} \end{array}$ ,

En multipliant la première par $\cos (\omega t)$ et la deuxième par $\sin (\omega t)$ et en ajoutant d'une part, et en multipliant la première par $\sin (\omega t)$ et la deuxième par $\cos (\omega t)$ et en retranchant d'autre part, on obtient le système suivant :

$\begin{array}{rcl}\ddot{x}\cos (\omega t) + \ddot{y} \sin (\omega t)&=&\ddot{u} -u \,\omega^2 -2\dot{v} \,\omega \\ -\ddot{x}\sin (\omega t) + \ddot{y} \cos (\omega t) &=& \ddot{v}-v\,\omega^2+2\,\dot{u}\,\omega \\ \ddot{z}&=&\ddot{w} \end{array}$ ,

Ainsi :

$\begin{array}{rcl}\ddot{u} -u \,\omega^2 -2\dot{v} \,\omega &=& \frac{Gm_1}{r_1^3}(-d_1-u)+\frac{Gm_2}{r_2^3}(d_2-u) \\ \ddot{v}-v\,\omega^2+2\,\dot{u}\,\omega &=& -\left(\frac{Gm_1}{r_1^3}+\frac{Gm_2}{r_2^3}\right)v \\ \ddot{w} &=& -\left(\frac{Gm_1}{r_1^3}+\frac{Gm_2}{r_2^3}\right) w \end{array}$ ,
Question 5
Solution :
On doit avoir :

$\frac{\partial U}{\partial u}=\omega ^2 \, u +\frac{Gm_1}{r_1^3}(-d_1-u)+\frac{Gm_2}{r_2^3}(d_2-u)$ .

Or $r_1=\sqrt{(-d_1-u)^2+v^2+w^2}$ , ainsi $\frac{\partial}{\partial u} \frac{1}{r_1} = \frac{-d_1-u}{r_1^3}$ . De même $r_2=\sqrt{(d_2-u)^2+v^2+w^2}$ , ainsi $\frac{\partial}{\partial u} \frac{1}{r_2} = \frac{d_2-u}{r_2^3}$ .

On en déduit que $U=\frac{\omega^2}{2}u^2+\frac{Gm_1}{r_1}+\frac{Gm_2}{r_2}+ f(v,w)$ .

Finalement on a $U=\frac{\omega^2}{2}(u^2+v^2)+\frac{Gm_1}{r_1}+\frac{Gm_2}{r_2}$ .
Question 6
Solution :
En effectuant l'opération demandée on obtient : $\dot{u}\ddot{u}+\dot{v}\ddot{v}+\dot{w}\ddot{w}=\frac{\partial U}{\partial u} \dot{u}+\frac{\partial U}{\partial v}\dot{v}+\frac{\partial U}{\partial w}\dot{w}$ .

Ce qui est facilement intégrable et donne : $\dot{u}^2+\dot{v}^2+\dot{w}^2 = 2 U + C$ , où est une constante d'intégration.

Ainsi est une constante du mouvement.
Question 7
Solution :
On a :

$\begin{array}{rcl}\dot{u}&=&\dot{x}\cos (\omega t)+\dot{y} \sin (\omega t) - x \, \omega\,\sin(\omega t) + y\,\omega\,\cos(\omega t) \\ \dot{v}&=& \dot{x}\sin(\omega t)-\dot{y}\sin(\omega t) + x\,\omega\,\cos(\omega t)+y\,\omega\sin(\omega t) \\ \dot{w}&=&\dot{z} \end{array}$

Ainsi $\dot{u}^2+\dot{v}^2+\dot{w}^2=\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2+2\omega(\dot{x}y - \dot{y}x)+\omega^2(x^2+y^2)$ .

On en déduit $\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2+2\omega(\dot{x}y-\dot{y}x)=2\left(\frac{Gm_1}{r_1}+\frac{Gm_2}{r_2}\right)+C$
Question 8
Solution :
$2\frac{GM_\odot}{r}-\frac{GM_\odot}{a}-2\frac{GM_\odot}{a_J}\sqrt{\frac{a}{a_J} (1-e^2)}\cos i = 2\left(\frac{GM_\odot}{r}+\frac{Gm_J}{r_2}\right)+C$ .

En négligeant $\frac{Gm_J}{r_2}$ et avec $\mu=GM_\odot$ on obtient : $\frac{a_J}{a}+2\sqrt{\frac{a}{a_J} (1-e^2)}\cos i = -\frac{Ca_J}{\mu}=T$ .

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Exercice 'Soleil'

Question 1
Aide :
En première approximation, le Soleil rayonne comme un corps noir à la température de la photosphère (5780 K en moyenne).

Solution :
La luminance spectrale (ou chromatique) est donnée par la loi de Planck $L_{\lambda} = B_{\lambda}(T_s)$

où $B_{\lambda}(T_s)$ est la fonction de Plank pour la température de la photosphère. Il s'agit de la luminosité d'un élément de surface dans un intervalle de longueur d'onde et dans une direction donnée.
Question 2
Solution :
$L = \int_{0}^{\infty} L_{\lambda} d\lambda$

La loi de Stefan donne $L = \frac{\sigma}{\pi} T_s^{4}$ = $20,42\,10^{6}\,W\,m^{-2}\,sr^{-1}$
Question 3
Solution :
Chaque élément de surface rayonne en L cos e. En intégrant dans toutes les directions on trouve : $L_{tot} = \int_{\alpha=0}^{\pi} \int_{e=0}^{\pi/2} L\,cos\,e\,sin\,e\,de\,d\alpha = \int_{2\pi} L\,\mu\,d\Omega$

où $\mu = cos \, e$ , et $\alpha$ est l'azimuth. L'intégrale porte sur le demi-espace libre ( $2 \pi$ sr).

On a de façon évidente $L_{tot} = \pi L$ puisque la luminance L est isotrope par hypothèse.

On remarque que la quantité L est intensive (non sommable). La quantité $L \mu$ est la puissance diffusée par unité de surface, qui est sommable.
Question 4
Solution :
On intègre la quantité précédente sur toute la surface du Soleil : $L = \int_{surf} L_{tot} dS = 4\pi r_s^2 \pi L = 3,83\, 10^{26}\, W$

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Exercice 'Surface lunaire'

Question 1
Solution :
On intègre sur $\mu_0$ , le résultat est donc une fonction de $\mu$ seul:

$r_{hd}(\mu) = 2p \left[ 1 - \mu Log \frac{\mu +1}{\mu} \right]$

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Exercice 'théorème de Liouville'

Question 1
Solution :
D'après le théorème de Green-Astrograsdki, on a:

$\frac{{\rm d}\Gamma}{{\rm d}t}=\int\int_\Sigma \vec{v}\cdot\vec{{\rm d}S}=\int \int \int_\Gamma {\rm div}\,\vec{v} \,{\rm d} \gamma$ .
Question 2
Solution :
${\rm div}\,\vec{v}=\sum_{i=1,n}\left(\frac{\partial v_i}{\partial q_i}+\frac{\partial v_{n+i}}{\partial p_i}\right)$ .

Or $v_i={\rm d} q_i / {\rm d} t$ et $v_{i+n}={\rm d} p_i / {\rm d} t$ , donc en tenant compte des propriétés du flux hamiltonien données dans l'introduction on a:

${\rm div}\,\vec{v}=\sum_{i=1,n}\left(\frac{\partial }{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial }{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right)=0$ .

D'après la question précédente la conclusion est immédiate.

Fonctions de plusieurs variables

Introduction

Dérivations partielles

Entropie

Ex: Entropie

Entropie

Formulation hamiltonienne du problème de 2 corps

Ex: Formulation hamiltonienne du problème de 2 corps

Formulation hamiltonienne du problème de 2 corps

Les variables de Delaunay

Ex: les variables de Delaunay

Les variables de Delaunay

Théorème d'inversion de Lagrange

Ex: Théorème d'inversion de Lagrange

Théorème d'inversion de Lagrange

Paramètre de Tisserand

Ex: paramètre de Tisserand

Paramètre de Tisserand

Intégrales multiples

Photométrie des surfaces planétaires

Ex: photométrie des surfaces planétaires

Soleil

Surface lunaire

Théorème de Liouville

Ex: théorème de Liouville

théorème de Liouville

Réponses aux exercices

Exercice 'Entropie'

Exercice 'Formulation hamiltonienne du problème de 2 corps'

loi des aires

Exercice 'Les variables de Delaunay'

Exercice 'Théorème d'inversion de Lagrange'

Exercice 'Paramètre de Tisserand'

Exercice 'Soleil'

Exercice 'Surface lunaire'

Exercice 'théorème de Liouville'