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Objectifs

Les étapes de correction des signaux de courant d'obscurité et de champ plat ne se font pas sans bruit. Le but de cette page est d'estimer les performances de ces opérations, et de montrer que les signaux de courant d'obscurité et de champ plat doivent être connus avec un rapport signal à bruit (bien) meilleur que celui du signal seul.

Courant d'obscurité

La correction consiste à soustraire au signal le signal d'obscurité. Ce dernier est acquis lors d'une pose longue, sans source. Cette soustraction s'exprime par :

$\mathcal{I}_1 \ = \ \mathcal{I}_\star - \mathcal{I} _{\mathrm{noir}}$

Les bruits des signaux d'entrée sont respectivement $\sigma_\star$ et $\sigma _{\mathrm{noir}}$ (le bruit de la source comprend le bruit de photons). Non corrélés, il s'additionnent quadratiquement pour donner le bruit de la différence :

$\sigma_1 \ = \ \sqrt{ \sigma_\star^2 + \sigma _{\mathrm{noir}}^2}$

Le rapport signal à bruit s'écrit donc :

${ \mathcal{I}_1 \over \sigma_1}\ =\ { \mathcal{I}_\star - \mathcal{I} _{\mathrm{noir}} \over \sqrt{ \sigma_\star^2 + \sigma _{\mathrm{noir}}^2}} \ =\ {\displaystyle{ \mathcal{I}_\star \over \sigma_\star} \over \sqrt{1 +\left(\displaystyle{ \sigma _{\mathrm{noir}} \over \sigma_\star}\right)^2}} - {\displaystyle{ \mathcal{I} _{\mathrm{noir}} \over \sigma _{\mathrm{noir}}} \over \sqrt{1 +\left(\displaystyle{ \sigma_\star \over \sigma _{\mathrm{noir}}}\right)^2}}$

Ceci montre que le rapport signal à bruit après correction du courant d'obscurité est moindre qu'avant correction :

${ \mathcal{I}_1 \over \sigma_1}\ \le\ { \mathcal{I}_\star \over \sigma_\star}$

Cette correction reste néanmoins nécessaire pour corriger certains effets structurels de la caméra.

Le cas $\sigma _{\mathrm{noir}} \gg \sigma_\star$ où le bruit de courant d'obscurité domine apparaît très inintéressant : la performance de la correction sera d'autant bruitée. En revanche, si le signal d'obscurité est bien moins bruité que le signal astrophysique, càd $\sigma _{\mathrm{noir}} \ll \sigma_\star$ , on récupère :

${ \mathcal{I}_1 \over \sigma_1}\ \simeq\ { \mathcal{I}_\star \over \sigma_\star} - { \mathcal{I} _{\mathrm{noir}} \over \sigma_\star} \simeq\ { \mathcal{I}_\star \over \sigma_\star}$

Le rapport signal à bruit est très peu dégradé. Il est donc indispensable d'acquérir une bonne image très peu bruitée du courant d'obscurité.

Champ plat

La correction de champ plat consiste à diviser le signal $\mathcal{I}_1$ par le signal de champ plat normalisé (et éventuellement corrigé du courant d'obscurité). Le champ plat est acquis lors d'une pose sur une source la plus uniforme possible. La division s'exprime :

$\mathcal{F} \ = \ { \mathcal{I}_1 \over \mathcal{I} _{\mathrm{plat}}}$

Les bruits en entrée sont respectivement $\sigma_1$ et $\sigma _{\mathrm{plat}}$ . Le bruit final dépend des bruits et signaux initiaux via :

${ \sigma \over \mathcal{F}}\ =\ \sqrt{\left(\displaystyle{ \sigma_1 \over \mathcal{I}_1}\right)^2 + \left(\displaystyle{ \sigma _{\mathrm{plat}} \over \mathcal{I} _{\mathrm{plat}}}\right)^2}$

Pour s'en convaincre, il suffit de différencier logarithmiquement la relation définissant $\mathcal{F}$ . On peut donc réécrire le rapport signal à bruit :

${ \mathcal{F} \over \sigma}\ =\ {1\over\sqrt{ \displaystyle{1 \over \left(\displaystyle{ \mathcal{I}_1 \over \sigma_1}\right)^2} + \displaystyle{1 \over \left(\displaystyle{ \mathcal{I} _{\mathrm{plat}} \over \sigma _{\mathrm{plat}}}\right)^2} }}$

On remarque que cette correction dégrade nécessairement le rapport signal à bruit, car de toutes façons :

${ \mathcal{F} \over \sigma}\ \le \ { \mathcal{I}_1 \over \sigma_1}$

Il est inintéressant d'avoir un champ plat très bruité, car la performance sera limitée au rapport signal à bruit du champ plat dans ce cas. En revanche, si le champ plat est peu bruité $( \sigma _{\mathrm{plat}} \ll \sigma_1)$ , on obtient :

${ \mathcal{F} \over \sigma}\ \simeq \ { \mathcal{I}_1 \over \sigma_1}$

Il est donc indispensable d'acquérir une image de champ plat la moins bruitée possible. Ceci peut nécessiter une longue durée d'observation sur une source artificielle uniforme.

Enfin, on remarque dans cette opération qu'un signal bruité est moins dégradé qu'un signal peu bruité. En effet, corriger un signal peu bruité nécessite une correction de qualité meilleure encore.