S'exercer

Petite révision sur la formation d'image

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

Un astronome extraterrestre regarde notre système solaire à une distance de 10 AL de notre Soleil. On souhaite dimensionner le télescope dont il aurait besoin pour distinguer Jupiter autour du Soleil.

On suppose le pouvoir de résolution de l'appareil limité par la seule diffraction : la tache de diffraction vaut angulairement $1.22\ \lambda/D$ radian, où est le diamètre du télescope.

Pour la suite, on prendra $\lambda = 0.5 {\,\mu\mathrm{m}}$ .

Question 1)

Déterminer la distance angulaire maximale $\alpha$ entre le soleil et Jupiter $(a = 5.2 {\,\mathrm{UA}})$ .

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Question 2)

Déterminer , le diamètre minimum du collecteur nécessaire.

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Question 3)

Cela est-il suffisant?

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Astrométrie

Difficulté : ☆☆ Temps : 40 min

Le mouvement apparent d'une étoile voisine du soleil, corrigé de la parallaxe annuelle, est a priori rectiligne uniforme en l'absence de perturbation. On cherche à quantifier l'influence d'un compagnon planétaire.

On observe un système binaire composé d'une étoile de masse $M _{\mathrm{*}}$ et d'une planète de masse ( avec $m\ll M _{\mathrm{*}}$ ) de rayon orbital .

Question 1)

Justifier le caractère rectiligne et uniforme du mouvement stellaire, en l'absence de compagnon.

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Question 2)

Exprimer l'amplitude de la perturbation angulaire maximale $\alpha$ de la position de l'étoile, située à une distance du Soleil.

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Question 3)

Retrouver l'expression :

$a = { M _{\mathrm{*}}\over m}d\alpha$

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Question 4)

A quelle distance se situe l'étoile si sa parallaxe annuelle vaut 0.1" ?

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Question 5)

Quelles planètes du système solaire, supposé vu à 10 pc, pourrait-on détecter, si l'on est capable de mesurer des variations de position à 0.01" ou 0.001" près ?

Compléter le diagramme ci-joint, positionnant les objets en fonction de leur masse et de leur demi-grand axe , en définissant la frontière qui marque la limite de détectabilité (rappel $M _{\mathrm{J}} = 2\ 10^{27} {\,\mathrm{kg}}$ ).

Diagramme a-msin i

Crédit : ASM

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Question 6)

A terme, on imagine être capable de mesurer des écarts de position $\alpha$ avec une précision de l'ordre de 50 millionièmes de seconde d'arc. En déduire le domaine observable dans le diagramme $m\sin i - a$ , pour un système à 10 pc et $M _{\mathrm{*}} \simeq 1 \ M _{\mathrm{\odot}}$ .

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Question 7)

Quelles planètes du système solaire deviennent ainsi détectables ?

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