Limitation de la méthode du transit
Difficulté : ☆☆
Temps : 30 min
Avant les missions spatiales CoRoT et Kepler, peu de transits avaient été observés ; leur nombre a ensuite explosé. L'exercice se propose de déterminer la probabilité d'un tel événement, fonction du rayon de l'étoile et du rayon orbital de la planète , et d'établir
.
Crédit :
ASM
Question 1)
L'angle de visée est défini comme l'angle entre la normale au plan de révolution de l'orbite et la ligne de visée.
Exprimer l'angle maximum pour lequel une éclipse peut être observée, en fonction de et , en supposant le rayon planétaire négligeable.
AideSolution
Faire un schéma, basé sur la figure de l'énoncé.
Le triangle étoile-diamètre planétaire permet d'écrire, le rayon de la planète étant supposé très petit :
Question 2)
En vous aidant des propriétés de symétrie du système, déterminer de quelle(s) variable(s) dépend .
Solution
Le problème est à symétrie de révolution. La position de la ligne de visée autour de l'étoile ne joue aucun rôle, la seule variable pertinente est l'angle .
Question 3)
La probabilité de détecter un transit est égale à la probabilité que la ligne de visée ne se trouve pas dans le demi-cône d'axe perpendiculaire au plan de l'orbite et de demi-angle au sommet .
Calculer la mesure de l'angle solide d'un hémisphère et d'un cône de demi-angle au sommet .
AideSolution
Définition de la mesure d'un angle solide (unité stéradian):
avec et les angles d'Euler.
Dans le cas étudié, il y a symétrie de révolution autour de l'axe de
révolution du système.
Mesure de l'angle solide d'un hémisphère :
Mesure de l'angle solide d'un cône de demi-angle au sommet :
Question 4)
Exprimer en fonction de et .
AideSolution
La probabilité mesure la non-appartenance au cône précédemment
défini.
Les angles et sont complémentaires : . On en tire :
Comme de plus le rayon stellaire est petit devant le rayon de la trajectoire de l'exoplanète, l'angle est petit, et l'on peut le confondre avec son sinus ou sa tangente.
Question 5)
Application numérique pour le cas l'exoplanète 51 Peg.
Données : km, et .
Solution
Application numérique directe :