Effet Doppler-Fizeau

Auteur: B.Mosser

Introduction
Effet Doppler : principe
- Observer
- Apprendre
- S'exercer
Effet Doppler : traceur de vitesses
- Observer
- Apprendre
- Simuler
- S'exercer
- S'évaluer
Effet Doppler et élargissement des raies spectrales
- Observer
- Apprendre
- Simuler
- S'exercer
- S'évaluer
Conclusion

Introduction

L'effet Doppler-Fizeau est une conséquence directe de la relativité restreinte : la perception d'un signal dépend de la vitesse relative entre la source et le récepteur. En pratique, l'effet Doppler est mis à profit pour mesurer les vitesses radiales de multiples objets, à toutes les échelles dans l'Univers.

Le ciel profond vu par le télescope spatial. Remarquer la corrélation entre la couleur et la luminosité des objets : la lumière des galaxies est décalée vers le rouge suite à l'expansion de l'Univers, et ce d'autant plus qu'elles sont plus lointaines, et donc moins lumineuses.

Crédit : HST

Effet Doppler : principe

Observer

Décalage spectral

L'effet Doppler module les positions des raies spectrales. En cela, il constitue un traceur de vitesse.

Décalage spectral entre différentes galaxies d'un amas.

Crédit : ESO

Apprendre

Objectifs

L'effet Doppler-Fizeau est un effet relativiste, au sens qu'il ne s'explique que dans le cadre de la relativité restreinte. La perception d'un phénomène électromagnétique dépend de la vitesse relative entre la source et le récepteur.

L'effet Doppler

La composante radiale de la vitesse relative entre l'émetteur et l'observateur étant notée , comptée positivement pour un éloignement de la source au récepteur, l'effet Doppler relie la longueur d'onde reçue $\lambda$ à la longueur d'onde émise $\lambda_0$ par :

$\displaystyle{ {\lambda\over\lambda_0 }\ =\ {1+\beta \over \sqrt{1-\beta^2}}}$

avec la notation relativiste usuelle du terme $\beta\ =\ \displaystyle{v\over c}$ .

Le terme $\beta$ au numérateur correspond à la translation relative entre l'émetteur et l'observateur ; le dénominateur introduit la correction relativiste. Pour des vitesses non relativistes (typiquement inférieures à c/10), les termes d'ordre supérieur à $\beta$ sont négligeables et l'on a simplement :

$\displaystyle{\lambda\over\lambda_0 }\ \simeq \ 1 + \beta$

soit le décalage :

$\Delta\lambda\ =\ \lambda - \lambda_0\ =\ \lambda_0 \ {v\over c}$

Un éloignement rougit la longueur d'onde perçue, un rapprochement la bleuit.

Effet Doppler : principe

Selon la direction de visée, l'observateur verra ou non la modulation Doppler du rayonnement de la source en mouvement.

Crédit : ASM

Effet radial

A faible vitesse, l'effet Doppler est du 1er ordre dans sa composante radiale, mais du 2e ordre en vitesse transversale.

S'exercer

QCM

1) Une source se rapproche de l'observateur à 90 km/s. A quelle longueur d'onde est observée sa raie de Balmer $\mathrm{H}\alpha$ , au repos à 656.3 nm.
656.1 nm
656.5 nm

2) La raie de l'hydrogène à 21 cm (1420.4 MHz) est observée pour une source donnée à 1390.0 MHz. Cette source s'éloigne-t-elle de l'observateur ?
oui
non

3) Estimer la vitesse de cet objet par rapport à l'observateur (en km/s).
6.42
6.56
6420
6560

Effet Doppler sismique

Difficulté : ☆ Temps : 5 min

Question 1)

Pourquoi l'animation du champ de vitesse Doppler montre-t-elle un gradient de vitesse dans la photosphère ?

Effet Doppler : traceur de vitesses

Observer

Abondance de l'hydrogène atomique neutre dans la galaxie NGC 253 ; et tracé du champ de vitesse galactique via les modulations de la position de la raie étudiée

Crédit : IRAM

Champ de vitesse galactique

L'abondance en hydrogène atomique dans une galaxie peut être mesurée par l'observation de raies de l'hydrogène . Ces raies étant modulées par la vitesse relative entre la source et l'observateur, la mesure de la modulation donne accès au champ de vitesse de l'hydrogène dans la galaxie.

Décalage vers le rouge de raies de galaxies lointaines entraînées par l'expansion de l'Univers. Principe, et observation historique par l'astronome américain Humason.

Crédit : ASM et Hale Observatories

Distance et décalage spectral.

Crédit : ASM

Relevé des décalages spectraux de 46420 quasars observés par le grand relevé SDSS, sondant des quasars avec des décalages spectraux jusqu'à 5. On note le très grand déplacement des diverses raies identifiées.

Crédit : SDSSIII

Expansion de l'Univers

Historiquement, la vitesse de fuite des objets lointains, due à l'expansion de l'Univers, a été mise en évidence par le décalage vers le rouge de leurs raies spectrales. Ce décalage augmente avec la distance, selon la loi de Hubble.

C'est ainsi que l'on peut aujourd'hui sonder l'Univers à grande échelle avec les quasars.

Apprendre

Objectifs

Les champs d'application pratiques de l'effet Doppler en astrophysique sont nombreux : forts décalages spectraux (ex : loi de Hubble) ; modulation d'un champ de vitesse, temporelle (ex : astérosismologie) ou spatiale (ex : champ de rotation galactique).

L'effet Doppler : traceur de vitesses

L'effet Doppler permet de mesurer des vitesses radiales, càd alignées sur la ligne de visée. Si l'on dispose d'une observable spectrale adéquate, on bénéfie par l'effet Doppler d'un traceur de vitesse, l'effet Doppler reliant la longueur d'onde reçue $\lambda$ à la longueur d'onde émise $\lambda_0$ par :

$\displaystyle{ {\lambda\over\lambda_0 }\ =\ {1+\beta \over \sqrt{1-\beta^2}} \ =\ \sqrt{1+\beta \over 1-\beta} }$

avec la définition usuelle : $\beta\ =\ \displaystyle{v/ c}$ .

Déplacement de quelques raies en fonction du décalage spectral.

Crédit : ASM

Image et zoom sur l'objet IOK-1 présentant un décalage spectral z de 6.96. Le traitement des couleurs le fait apparaître extrêmement rougi.

Crédit : Télescope SUBARU

Décalage spectral

On note le décalage vers le rouge des objets lointains ("redshift"). Sa définition est relié à la translation en longueur d'onde :

$z \ = \ {\Delta\lambda\over \lambda_0} \ =\ {\lambda - \lambda_0\over \lambda_0}$

Ceci conduit par exemple au déplacement vers le visible de la raie $\mathrm{Lyman}\, \alpha$ d'objets très lointains.

Fin 2008, le plus grand décalage spectral mesuré approche la valeur 7. En 2009, l'observation d'une éruption gamma par le satellite Swift de la NASA fut suivie par l'observation à l'ESO du spectre infrarouge de l'objet en cause, qui a mis en évidence un décalage spectral de 8.2. Ce décalage correspondrait à un objet observé dans l'Univers âgé de seulement 600 millions d'années.

Simuler

Effet Doppler et mesure de vitesse radiale

Voir la page dédiée aux exoplanètes.

Effet Doppler et sismologie

L'astérosismologie étudie la propagation d'ondes mécaniques (ondes sonores, ondes de gravité) dans l'intérieur d'une étoile. Le champ de vitesse sismique dans la photosphère stellaire module les raies spectrales, comme le montre l'animation ci-contre.

Remarquer que vitesse d'oscillation et amplitude sont en quadrature. Les amplitudes et les couleurs codant la modulation par effet Doppler sont très exagérées.

Effet Doppler et sismologie

Amplitude (courbe et image en jaune) et vitesse d'oscillation. Une raie du spectre stellaire est modulée par effet Doppler. Le code des couleurs signale par un rougissement un éloignement, et par un bleuissement un rapprochement.

Crédit : ASM

Saturne et ses anneaux

A l'aide de l'appliquette, estimer la vitesse de rotation de Saturne, ainsi que la vitesse moyenne des anneaux. Le spectre a été obtenu en lumière solaire réfléchi, avec un fente sélectionnant la région équatoriale de Saturne et les anneaux de part et d'autre. Les raies d'émission en bordure du spectre correspondent à une lampe spectrale de référence.

S'exercer

Raie Lyman-alpha d'un quasar

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

La raie $\mathrm{Ly}-\alpha$ du quasar PKS 2000-330 est observée à la longueur d'onde $\lambda = 578 {\,\mathrm{nm}}$ , et non à la longueur d'onde au repos $\lambda_0 = 121.6 {\,\mathrm{nm}}$ .

Question 1)

Déterminer le module de ce quasar, ainsi que son facteur relativiste $\beta=v/c$ .

Question 2)

En déduire sa distance , en appliquant la relation de Hubble $v \ =\ H_0\ d$ . avec $H_0 = 70 {\,\mathrm{km\,s}}^{-1} {\,\mathrm{Mpc}}^{-1}$ .

Chaud devant !

Difficulté : ☆ Temps : 25 min

Le fond cosmologique présente actuellement une température de l'ordre de 3 K, alors qu'elle était de 3000 K à l'époque de la recombinaison. A cette époque, les électrons et les protons se sont recombinés pour former les atomes neutres d'hydrogène. Avant, l'agitation thermique liée à des températures plus élevées interdisait cette recombinaison et l'Univers était un plasma principalement composé de protons et d'électrons.

Question 1)

Déterminer le décalage spectral à l'époque de la recombinaison.

Question 2)

Déterminer le facteur $\beta$ correspondant.

Dispersion de vitesse

Difficulté : ☆ Temps : 25 min

Le spectre ci-joint montre les raies de 7 galaxies différentiellement dispersées.

Spectres de galaxies

Question 1)

Etalonner le spectre, en pm/pixel, en sachant que les 3 raies principales sont identifiées à 580.0, 582.1 et 585.5 nm.

Question 2)

En déduire l'échelle en ${\,\mathrm{km\,s}}^{-1}$ par pixel.

Question 3)

En déduire les dispersion en vitesse radiale de chacune des galaxies, par rapport au groupe des 3 galaxies homocinétiques.

S'évaluer

Raie à 21 cm

Difficulté : ☆ Temps : 25 min

Le spectre ci-joint montre la raie à 21 cm de l'hydrogène d'une galaxie lointaine s'éloignant du Soleil. L'axe des abscisses suppose, ici, qu'une vitesse négative correspond à un éloignement.

Raie à 21 cm

Les 2 composantes de la raies correspondent aux ailes de la galaxie, en rotation, se rapprochant et s'éloignant de l'observateur.

Crédit : ASM

Question 1)

Estimer la vitesse d'éloignement global de cette galaxie, puis sa distance (avec $H_0 = 70 {\,\mathrm{km\,s}}^{-1} {\,\mathrm{Mpc}}^{-1}$ ).

[2 points]

Question 2)

A quelle position a été mesurée pour cette galaxie la raie $H_\beta$ (au repos : 486 nm) ?

[1 points]

Question 3)

Estimer la vitesse de rotation moyenne de la galaxie (en précisant le critère de mesure).

[1 points]

Quasar lointain

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

Le spectre ci-joint montre la raie Lyman alpha d'un quasar très lointain (longueur d'onde au repos : 121.6 nm). Abscisse : longueur d'onde en nm ; ordonnée : flux en unité arbitraire.

Question 1)

Estimer le décalage spectral de ce quasar.

[1 points]

Question 2)

Traduire le décalage spectral en vitesse d'éloignement.

[1 points]

Forêt Lyman-alpha

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

Les quasars sont des sources extrêmement lumineuses et éloignées ( $z\approx4$ ), de diamètre apparent non-mesurable. Elles émettent un spectre continu, avec peu de raies d'émission. Les nuages de gaz intergalactique froid se trouvant sur la ligne de visée signent leur présence par un spectre de raies d'absorption.

Le constituant principal de ce gaz intergalactique étant l'hydrogène, dont le spectre est parfaitement connu (raies $\mathrm{Lyman}\ \alpha,\ \beta$ , ...) rend possible l'identification pour chaque nuage, de son décalage spectral et sa profondeur optique. Il faut évidemment pour cela un spectromètre à haute résolution.

Le quasar HE 2217-2818 présente une forêt de raies en absorption (voir l'appliquette basée sur des données de l'instrument UVES du VLT, avec en abscisse la longueur d'onde en nm et en ordonnée le flux en unité arbitraire), correspondant aux nuages d'hydrogène rencontrés sur la ligne de visée.

Question 1)

Déterminer les principales raies d'absorption, et en déduire les décalages spectraux de ces nuages, en supposant que la raie au repos est la raie $\mathrm{Ly}-\alpha$ de longueur d'onde au repos $\lambda_0 = 121.6 {\,\mathrm{nm}}$ . En déduire les vitesses de fuite.

[3 points]

Question 2)

Quelle information apporte la profondeur optique du nuage (retranscrite par la profondeur de la raie), et que peut-on en tirer ?

[2 points]

Effet Doppler et élargissement des raies spectrales

Observer

Elargissement rotationnel

La rotation de l'étoile mélange, sauf à résoudre spatialement ou spectralement l'objet, les diverses régions qui toutes contribuent au flux stellaire. Il s'ensuit un élargissement des raies.

La rotation de l'étoile, en codage Doppler : une couleur rouge signe un éloignement radial ; le bleu un rapprochement. Un axe de rotation quasi perpendiculaire au plan du ciel entraîne une très faible signature, car la projection géométrique amoindrit la composante radiale de la vitesse de rotation.

Crédit : ASM

Elargissement rotationnel (vitesse équatoriale de 1, 2, 5, 10, 20 ou 40 km/s. La conservation de l'énergie (l'énergie qui manque dans la raie) entraîne une très nette diminution de la profondeur de la raie lorsque la vitesse rotationnelle augmente. Pour les rotateurs rapides, une raie fine devient invisible.

Crédit : ASM

Elargissement en température et rotationnel

L'élargissement des raies due à la rotation de l'étoile modifie drastiquement l'allure d'un spectre, comme le montre les simulations d'observation à faible ou grande résolution spectrale.

Elargissement rotationnel ( $v\sin i$ de 5, 20, 80 ou 200 km/s). Spectre d'une étoile F9 à grande résolution spectrale (R=120000)

Crédit : ASM

Elargissement rotationnel ( $v\sin i$ de 10, 80 ou 200 km/s. Spectre d'une étoile F9 à faible résolution spectrale (R=8000)

Crédit : ASM

Apprendre

Objectifs

La largeur des raies stellaires est liée aux champs de vitesse Doppler.

Agitation thermique

Dans le cadre de la théorie cinétique du gaz parfait, la distribution de vitesse est donnée par :

$n(v) \ \propto\ v^2 \ \exp\left( - {1\over 2} {mv^2\over kT} \right)$

avec la masse atomique moyenne et la constante de Boltzmann.

La largeur à mi-hauteur de cette distribution est de l'ordre de $\sqrt{2kT/m}$ , du même ordre de grandeur que les vitesses moyenne ou la plus probable.

Avec une température stellaire entre typiquement 4000 et 40000 K, les vitesses d'agitation thermique sont de l'ordre de 8 à 25 km/s : elles concourent à un sensible élargissement des raies.

Distribution de vitesse de Boltzman. La vitesse la plus probable (bleu clair) est voisine de la vitesse moyenne (vert), et elles sont toutes deux du même ordre de grandeur que la dispersion caractéristique en vitesse (rouge).

Crédit : ASM

Rotation stellaire

La rotation stellaire participe également à l'élargissement des raies stellaires. Le paramètre important pour mesurer cet effet est donné par la projection du vecteur vitesse de rotation équatorial sur la ligne de visée : $v \sin i$ . Les valeurs typiques de rotation varient de quelques km/s (rotateurs lents, tels le Soleil) à plusieurs centaines de km/s. Dans ce dernier cas, les signatures spectrales deviennent très peu marquées.

En effet, une raie fine à vitesse rotationnelle non nulle s'élargit par effet Doppler. Par application de la conservation de l'énergie, le manque de photons dans la raie est conservé, et donc l'élargissement de la raie s'accompagne d'une moindre profondeur.

Simuler

Élargissement des raies stellaires selon la vitesse de rotation stellaire

La conservation de l'énergie (l'énergie qui manque dans la raie) entraîne une très nette diminution de la profondeur de la raie lorsque la vitesse rotationnelle augmente. Pour les rotateurs rapides, une raie fine devient invisible.

Crédit : ASM

Elargissement des raies stellaires selon la direction de l'inclinaison

L'animation montre comme varie l'élargissement rotationnel des raies stellaires avec l'angle d'inclinaison . Lorsque l'axe de rotation de l'étoile se confond avec la ligne de visée, il n'y a pas d'élargissement rotationnel.

L'élargissement rotationnel (codé ici en couleur d'autant plus rouge/bleue que la vitesse d'éloignement/rapprochement est grande) dépend du facteur $v\sin i$ , et varie ici avec l'inclinaison

sur l'axe de visée.

Crédit : ASM

Mesure de rotation par sondage radar

Les sondages radar permettent de mesurer la rotation d'un corps, comme le montre l'animation ci-jointe. L'onde plane incidente parcourt l'objet du point subterrestre jusqu'au limbe, en une durée R/c ( est le rayon de l'objet, la célérité de la lumière) et donc scanne le champ de vitesse rotationnel.

Sondage d'un objet, supposé sphérique, par une onde plane radar. L'animation suppose un pas de temps équidistant. Les premières mesures, en projection sur le plan du ciel, parcourent rapidement l'objet, plus lentement ensuite pour les régions proches du limbe, mais alors l'excursion en vitesse Doppler devient maximale

Crédit : ASM

S'exercer

Disque en rotation.

Crédit : ASM

Disque en expansion

Crédit : ASM

QCM

1) Le disque en rotation est observé sans aucune résolution spatiale (on ne voit qu'un point lumineux). Par rapport à un disque sans rotation, ses raies apparaissent
plus fines
plus larges
inchangées

2) Le disque en expansion est observé sans aucune résolution spatiale. Par rapport à un disque sans expansion, ses raies apparaissent
plus fines
plus larges
inchangées

3) Peut-on, sans imagerie, et avec la seule indication de l'élargissement des raies, décider s'il s'agit d'un disque en rotation ou en expansion ?
non
oui

Mesure de la période de rotation de Mercure

Difficulté : ☆☆ Temps : 1.5 heure

Le but de l'exercice est d'interpréter les observations radio de la planète Mercure, menées au radio-télescope d'Arecibo en 1965 (Dyce et al. 1965, Astronomical Journal 72, 351-359). Il s'agissait alors de mesurer la période de rotation propre de Mercure, et de déterminer si elle était égale ou non à la période de rotation orbitale.

demi-grand axe		0.39 UA
révolution sidérale		88 j
rayon		2420 km
diamètre du radiotél.		305 m
fréquence émise	$\nu_0$	430 MHz

Question 1)

Propagation : L'écho d'un signal radio émis par le télescope d'Arecibo et réfléchi par Mercure est réceptionné 616.125 s après son émission. En déduire la distance Terre-Mercure lors de l'observation, et représenter la position relative de ces 2 planètes et du Soleil. Les observations effectuées pourraient-elles être menées en lumière visible ?

Question 2)

Le champ de vitesse : On repère un point de la surface visible de Mercure par ses coordonnées cartésiennes dans le repère Oxyz , où est le barycentre de la planète, pointe vers la Terre et est parallèle à l'axe de rotation de la planète. On note le rayon de la planète Mercure, T_0 sa période de révolution sidérale, et sa période de rotation propre.

Donner les coordonnées du point sub-terrestre [i.e. le point de Mercure qui voit la Terre au zénith].

Montrer que la composante radiale (colinéaire à l'axe Terre-Mercure) de la vitesse d'entraînement de rotation ne dépend que de l'une des composantes de la position de .

Question 3)

L'analyse temps-fréquence de l'écho radar : Quelles régions de la surface contribuent au début ( $\Delta t =0$ ) et à la fin ( $\Delta t_0$ ) du signal d'écho. Déterminer la durée totale théorique $\Delta t_0$ de l'écho ? Représenter l'allure des lignes d'iso-retard $\Delta t$ sur la carte de Mercure [ 0yz ].

On note $\Delta \nu _{\mathrm{orb}}$ le décalage Doppler du signal réfléchi au point subterrestre. Quelles régions contribuent à l'élargissement Doppler extrêmal $\Delta\nu _{\mathrm{orb}}±\Delta\nu_0$ du signal ? Représenter sur la carte de Mercure l'allure des lignes d'iso-fréquence $\Delta \nu$ (à $\Delta\nu _{\mathrm{orb}}$ près).

Calculer, pour un point de Mercure de coordonnées $(x=\sqrt{R^{2}-y^{2}},y,z=0)$ , le retard $\Delta t$ de l'écho et son décalage spectral $\Delta\nu$ . Montrer que l'on a :

$\left( {\Delta t\over \Delta t_0} - 1\right)^{2} +\left( {\Delta \nu\over \Delta \nu_0}\right)^{2} \ = \ 1$

Question 4)

L'écho : Le document ci-joint (Dyce et al. 1965) montre l'étalement en fréquence de l'écho en fonction du retard à la réception. Comparer le retard maximal théorique à celui enregistré, et interpréter le désaccord. En déduire, que la relation entre $\Delta t$ et $\Delta\nu$ se réduit, pour les mesures effectuées, à $\Delta\nu /\Delta\nu_0 = \sqrt{2 \Delta t / \Delta t_0}$ Comment interpréter les variations temporelles d'intensité du signal ?

Estimer , la période de rotation propre de Mercure.

On pose $T_0 = \alpha \ T$ . Quelle signification donner à $\alpha$ ? De quelle fraction simple $\alpha$ est-il proche ? Est-ce un hasard ?

Pourquoi les données présentant un plus fort retard ne sont-elles pas facilement exploitables ?

Question 5)

La puissance de l'écho : Quelle fraction du signal Mercure intercepte-t-il ? [on se contentera d'un ordre de grandeur grossier, en supposant que le flux radar est homogène dans un champ d'angle solide égal au lobe principal de diffraction ; un calcul précis est hors de portée de la modélisation proposé].

Estimer, à l'aide d'un modèle simple, le nombre de photons incidents nécessaires pour réceptionner 1 photon en retour après réflexion au point subterrestre.

Une puissance d'émission de 2 MW vous étonne-t-elle ? [l'impulsion radar incidente est très brève : $100\, \mu\mathrm{s}$ ; on se contentera également d'un ordre de grandeur grossier]

S'évaluer

Spectres observé et théorique

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

La figure ci-jointe donne une portions des spectres observé et théorique d'une étoile de type F2, classe V.

Spectres théorique (bleu) et observé (orange)

Crédit : ESO/ASM

Question 1)

Expliquer les différences entre les 2 spectres

[1 points]

Question 2)

Donner un ordre de grandeur de 2 vitesses caractéristiques du spectre observé.

[2 points]

Conclusion

Retenir de cette section les multiples domaines où l'effet Doppler-Fizeau influence très sensiblement la signature spectrale des objets. Comme à l'accoutumée, les astrophysiciens en ont tiré parti pour avoir accès à des observables inaccessibles par ailleurs.

La relation $\delta \lambda / \lambda = v/c$ (à faible vitesse) est tellement prégnante que l'on peut très bien, en l'appliquant, définir une grandeur spectrale en vitesse et non en longueur d'onde.

L'utilisation de l'effet Doppler pour avoir accès à la cinématique des objets a motivé le développement de différentes catégories de spectromètres (voir la section dédiée à l'instrumentation).

Réponses aux QCM

pages_effet-doppler/effet-doppler-sexercer.html

QCM

Question 1
Solution : réponse 1)
Question 2
Solution : réponse 1) ( En effet, avec l'éloignement, la fréquence diminue )
Question 3
Solution : réponse 4)

pages_effet-doppler-raie/effet-doppler-raie-sexercer.html

QCM

Question 1
Solution : réponse 2)
Question 2
Solution : réponse 2)
Question 3
Solution : réponse 1)

Réponses aux exercices

pages_fizeau/effet-doppler-sexercer.html

Exercice 'Effet Doppler sismique'

Question 1
Aide :
Quelle composante de la vitesse est sensible à l'effet Doppler ?

Solution :
L'effet Doppler trace les modulations de vitesse radiale. Au limbe, par projection, la vitesse sismique radiale est nulle.

pages_fizeau/effet-doppler-vitesse-sexercer.html

Exercice 'Raie Lyman-alpha d'un quasar'

Question 1
Aide :
Revoir la page de cours reliant à $\lambda-\lambda_0$ ... allez, on est sympa :

$z\ =\ \displaystyle{ {\Delta \lambda\over\lambda_0 }\ =\ \displaystyle{\sqrt{1+\beta \over 1-\beta}}\ -\ 1 }$

Solution :
L'application de la définition :

$z\ =\ \displaystyle{ {\Delta \lambda\over\lambda_0 }\ =\ \displaystyle{\sqrt{1+\beta \over 1-\beta}}\ -\ 1 }$

donne et $\beta = 0.91$ .
Question 2
Solution :
L'application numérique donne simplement :

$d\ =\ {v\over H_0} = 0.91\ 3.10^5 / 70 \simeq 3900 {\,\mathrm{Mpc}} = 3.9 {\,\mathrm{Gpc}}$

pages_fizeau/effet-doppler-vitesse-sexercer.html

Exercice 'Chaud devant !'

Question 1
Aide :
Appliquer d'abord la loi de déplacement de Wien

Solution :
L'application de la loi de Wien donne une variation de l'émission maximale du corps noir cosmologique dans le rapport inverse des températures.

La température ayant diminué d'un facteur 1000, la longueur d'onde a augmenté d'un facteur 1000. On en déduit le décalage spectral :
Question 2
Aide :
Application directe du cours

Solution :
L'application de la définition :

$z+1\ =\ \displaystyle{ {\lambda_0+ \Delta \lambda\over\lambda_0 }\ =\ \displaystyle{\sqrt{1+\beta \over 1-\beta}}}$

donne, en développant :

$\beta\ =\ {(1+z)^2-1\over (1+z)^2+1}$

Comme $z \gg 1$ , le développement limité conduit à :

$\beta\ \simeq\ 1 - {2\over z^2}$

D'où l'application numérique $\beta = 1 - 2\ 10^{-6} = 0.999998$ , ce qui est très rapide !

pages_fizeau/effet-doppler-vitesse-sexercer.html

Exercice 'Dispersion de vitesse'

Question 1
Aide :
Procéder par règle de 3, avec l'outil proposé.

Solution :
Les raies sont repérées aux positions (en pixel) : 132, 178, 253

Les intervalles spectraux, respectivement de 2100 et 5500 pm entre les raies 1 et 2 puis 1 et 3, correspondent à une mesure de 46 et 121 pixels.

La conversion et donc de l'ordre de l'ordre de 45.5 pm/px.
Question 2
Aide :
Application directe du cours

Solution :
A 582 nm, un décalage de 45.5 pm représente une vitesse telle que :

${v \over c}\ =\ {45.5 \ 10^{-3} \over 582}$

Soit environ $23.4 {\,\mathrm{km\,s}}^{-1} \mathrm{/px}$ .
Question 3
Solution :
Les décalages spectraux mesurent respectivement, en pixels :

-10, +3, +14, -6.

D'où les décalages en vitesse de -230, 70, 330, -140 km/s

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Exercice 'Mesure de la période de rotation de Mercure'

Question 1
Aide :
L'onde radio parcourt le vide à la célérité de la lumière. Attention au doublement de la distance par aller-retour.

Solution :
Un trajet de 616.125 s correspond à une distance aller-retour de $1.85\ 10^8 {\,\mathrm{km}}$ , soit 0.616 UA. On en déduit que Mercure est très proche de la ligne Soleil-Terre, à une distance minimale d'approche de la Terre.

Dans ces conditions, Mercure est trop proche du Soleil pour être observé en lumière visible.
Question 2
Aide :
Faire un schéma

Aide :
Un point possède une vitesse de rotation $\mathbf{v} = \omega \mathbf{u}_z \wedge \mathbf{OM}$

Solution :
La vitesse d'entraînement rotationnel vérifie :

$\mathbf{v} = \omega \mathbf{u}_z\wedge \mathbf{OM}$

avec $\omega = 2\pi/T$ la rotation angulaire.

Soit, pour un point de coordonnées cartésiennes (avec bien sûr :

$\mathbf{v} = -\omega y\ \mathbf{u}_x + \omega x\ \mathbf{u}_y$

La projection radiale est la composante selon , càd $-\omega y$
Question 3
Aide :
Faire un schéma, avec les axes indiqués.

S'inspirer de l'animation sondage rotationnel . Dans les applications numériques, ne pas oublie un facteur 2 temporel (aller-retour de l'onde) ou fréquentiel (double décalage Doppler à l'absorption et à la réémission de l'onde)

Solution :
La région de la surface hermienne contribuant au début du signal d'écho est le point le plus proche de la Terre : le point subterrestre. La fin correspond aux dernières régions touchées : au limbe.

La durée totale théorique $\Delta t_0$ de l'écho correspond à l'intervalle de temps pour parcourir radialement la planète du point subterrestre au limbe, càd parcourir son rayon :

$\Delta t_0 = {R\over c}$

Les lignes d'iso-retard $\Delta t$ sur la carte de Mercure [] sont des lignes à coordonnée fixée. Analytiquement, à la surface de la planète et dans le plan du ciel , l'équation

représente un cercle.

L'élargissement Doppler extrêmal est atteint au limbe, où l'entraînement rotationnel est le plus fort. Les lignes d'iso-fréquence correspondent aux lignes isovitesses : ce sont des droites parallèles à l'axe de rotation.

Pour un point de Mercure de coordonnées $(x=\sqrt{R^{2}-y^{2}},y,z=0)$ , le retard $\Delta t$ de l'écho et son décalage spectral $\Delta\nu$ vérifient :

$\left\{ \matrix{ \Delta t &=& 2\ (R-x)/c &=& 2/c \ \left( R - \sqrt{R^2 - y^2}\right) \cr \Delta \nu/\nu &=& 2\ v_x / c &=& -4\pi \ y / cT \cr } \right.$

Les valeurs extrêmes du délai et du décalage sont :

$\left\{ \matrix{ \Delta t_0 &=& 2\ R/c &=& 16.1 {\,\mathrm{ms}} \cr \Delta \nu_0 &=& 4\pi \ R\nu_0/ cT&=&\alpha\ 4\pi \ R\nu_0/ cT_0 = \alpha\ 5.73 {\,\mathrm{Hz}}\cr } \right.$

en ayant posé $T_0 = \alpha \ T$ . On en déduit, pour un point du plan équatorial () :

$\left\{ \matrix{ \Delta t &=& \Delta t_0\ \left(1 - \sqrt{1 - (y/R)^2}\right) \cr \Delta \nu &=& \Delta \nu_0 \ y/R\cr } \right.$

En éliminant la variable , il sort la relation demandée :

$\left( {\Delta t\over \Delta t_0} - 1\right)^2 +\left( {\Delta \nu\over \Delta \nu_0}\right)^2 \ = \ 1$
Question 4
Aide :
Etudier les conditions de réflexion de l'onde, en supposant valide l'optique géométrique.

Aide :
Montrer que les dates effectives d'observations vérifient $\Delta t \ll \Delta t_0$ , et en tirer les conséquences.

Aide :
Pour calculer $\alpha$ avec l'appliquette, la relation entre $\Delta t$ et $\Delta \nu$ se traduit par : = (B1/5.73) * sqrt(16.1 / (2*A1)), à faire calculer en ayant sélectionné la case C1

Solution :
Le retard maximal théorique est bien plus long que celui enregistré. Le désaccord s'interprète par l'absence de signal réfléchi dans les régions proches du limbe.

Les lois de l'optique géométrique permettent d'interpréter les variations temporelles d'intensité du signal : la réflexion renvoie de moins en moins d'énergie vers la Terre dès lors que le signal s'éloigne du point subterrestre. Et donc, les données présentant un grand retard par rapport au point subterrestre ne pas exploitables.

Les dates effectives d'observations vérifient alors $\Delta t \ll \Delta t_0$ . Il s'ensuit que la relation entre $\Delta t$ et $\Delta\nu$ se simplifie en

$\Delta\nu /\Delta\nu_0 = \sqrt{2 \Delta t / \Delta t_0}$

en ayant procédé au développement limité : $(1-\Delta t / \Delta t_0)^2 \simeq 1 - 2 \Delta t / \Delta t_0$ . Il en sort l'estimation de $\alpha = T_0/T$ :

$\alpha \ = \ {\Delta\nu \over \Delta\nu_0}\ \sqrt{\Delta t_0 \over 2 \Delta t}$

A l'aide de l'appliquette, on trouve $\alpha$ de l'ordre de 1.65, voisin de 5/3. $T = T_0/ \alpha \simeq 53 jours$ .

La rotation propre de Mercure est en résonance avec la révolution autour du Soleil. Mais elle est ici mesurée dans le référentiel tournant : la rotation propre sidérale découle du changement de référentiel, ici mesurée avec pour unité la révolution sidérale :

${1\over T _{\mathrm{sid}}} = {1\over T _{\mathrm{rev}}}-{1\over T _{\mathrm{syn}}} = 1 - 5/3 = -2/3$

La rotation sidérale propre est plus lente que la révolution sidérale, est dans un rapport 3/2.
Question 5
Aide :
La diffraction conduit à un lobe d'antenne de taille angulaire commensurable $\lambda / d$ .

Aide :
Pour le flux réfléchi : proposer un modèle simple pour les conditions de réflexion au point subterrestre.

Solution :
La diffraction conduit à un lobe d'antenne de taille angulaire $1.22 \lambda / d = 1.22\ c / d\nu \simeq 2.3\ 10^{-3} {\,\mathrm{rad}} \simeq 7.9'$ . En regard, Mercure intercepte une fraction angulaire $2*R/0.6 a_0 \simeq 5.2 \ 10^{-5} {\,\mathrm{rad}}$ . La fraction du flux total intercepté par la planète est de l'ordre du rapport du carré de ces tailles angulaires, soit $5\ 10^{-4}$ .