Apprendre

Objectifs

Les premiers travaux utilisant la relation Tully-Fisher conduisirent dans les années 1980 à une valeur élevée de la constante de Hubble - de l'ordre de 100 km/s/Mpc - ainsi qu'à une croissance de H_0 avec la distance. Ces résultats proviennent de la nature statistique de la relation Tully-Fisher et du fait que les échantillons sont toujours limités en magnitude apparente.

Propriété statistique

A toutes les galaxies ayant la même vitesse de rotation $\log V _{\mathrm{m}}$ (ou appartenant à une classe de sosies), on attribue la même magnitude absolue (ou luminosité) selon la relation linéaire :

$M_0\ =\ a\ \log V _{\mathrm{m}} + b$

Chaque détermination individuelle souffre en fait d'une imprécision due à l'écart entre la magnitude absolue exacte et la valeur moyenne M_0 adoptée. Si on considère maintenant un grand nombre d'objets, on détermine donc un ensemble de distances dont chacune est affectée d'une erreur, les unes étant surestimées, les autres sous-estimées. On espère cependant qu'elles soient exactes en moyenne.

Biais de Malmquist

K.G. Malmquist (1920) a montré que ce n'est pas le cas si l'échantillon utilisé est limité en magnitude apparente : l'échantillon contient alors en effet une plus grande proportion de galaxies intrinsèquement plus lumineuses que M_0 , et une moins grande proportion de galaxies moins lumineuses. La magnitude absolue moyenne de l'ensemble des galaxies du catalogue n'est donc pas égale, mais inférieure à M_0 .

Il s'ensuit qu'en sous-estimant ainsi la luminosité moyenne des galaxies observées, on sous-estime leurs distances, et l'on surestime la constante de Hubble.

Erreur statistique

Si on suppose que les galaxies sont réparties uniformément dans l'espace, l'erreur statistique sur la magnitude absolue $\Delta M_0$ et donc sur le module de distance des galaxies peut s'exprimer de manière simple en fonction de la dispersion $\sigma$ du critère de distance (l'incertitude moyenne par rapport à M_0 ) :

$\Delta M_0\ =\ 1.382\ \sigma^2$

Pour une dispersion $\sigma$ de l'ordre de 0.6 magnitude, typiquement ce que l'on obtient par la relation Tully-Fisher ou la méthode des sosies, cela donne sur le module de distance une erreur de - 0.5 magnitude. On obtient finalement sur la distance une sous-estimation de l'ordre de 23%, et une valeur de H_0 surestimée d'autant.