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La métrique de Robertson-Walker

Dans un modèle d'univers non-statique à espace temps variable, la loi de Hubble existe, même si toutes les galaxies sont comobiles avec le système de coordonnées, i.e. si leur énergie cinétique est nulle, aux mouvements propres près. La métrique non-statique la plus générale est la métrique de Robertson-Walker qui s'écrit:

${\mathrm{d}} s^2 = - R(t)^2 \left[ \frac{ {\mathrm{d}} r^2}{1-kr^2} + r^2 ( {\mathrm{d}}\theta^2 + \sin^2\theta {\mathrm{d}}\phi^2) \right] + c^2 {\mathrm{d}} t^2$

où , $\theta$ , $\phi$ sont les paramètres d'espace et le temps. La fonction R(t) représente le rayon de l'univers à l'instant .

si , l'univers est à géométrie sphérique, et l'espace est fini.
si , l'univers est à géométrie hyperbolique, et l'espace est à chaque instant ouvert et infini.
si , l'univers est à géométrie parabolique, et l'espace est aussi ouvert et infini, mais il est à chaque instant isométrique à un espace plat euclidien.

Les modèles de Friedmann

C'est la densité massique de l'univers qui détermine son type de géométrie. Une forte densité courbe l'espace au point de le refermer sur lui-même en un modèle sphérique ; toute densité plus faible qu'une certaine densité critique $\rho_c$ (univers parabolique) conduit à un modèle hyperbolique infini. La détermination de la fonction de métrique R(t) permet de décrire l'évolution de l'univers au cours du temps. L'application des équations d'Einstein à la métrique de Robertson-Walker conduit aux deux équations différentielles suivantes :

${ 8 \pi {\cal G} \over c^2} p = -\frac{k}{R^2} - \frac{\dot R^2}{R^2} -2 \frac{\ddot R}{R} + \Lambda$

$\frac{8 \pi {\cal G}}{3} \rho = \frac{k}{R^2} + \frac{\dot R^2}{R^2} - \frac{\Lambda}{3}$

auxquelles on ajoute l'intégrale première:

$\frac{ {\mathrm{d}}}{ {\mathrm{d}} R}(\rho R^3) + {3\over c^2} p R^2 = 0$

où est la pression du fluide de galaxies, $\rho$ la densité de la matière, et $\Lambda$ la constante cosmologique. $\dot R$ et $\ddot R$ représentent respectivement les dérivées première et seconde du rayon de l'univers R(t) par rapport au temps. On définit:

$H(t) = \displaystyle\frac{\dot R(t)}{R(t)}$ la constante de Hubble à l'instant , i.e. le taux d'expansion à l'instant .
$q(t) = -\displaystyle\frac{\ddot R(t) R(t)}{\dot R^2} = -\displaystyle\frac{\ddot R(t)}{R(t)} \displaystyle\frac{1}{H^2(t)}$ , le paramètre de décélération.
$\Omega(t) = \displaystyle\frac{\rho(t)}{\rho_c}$ , le paramètre de densité.

Le principe cosmologique et l'âge de l'univers

Si on suppose que l'univers est homogène et isotrope (principe cosmologique), le modèle est entièrement défini par trois paramètres : la valeur de la constante cosmologique $\Lambda$ , la valeur actuelle de la constante de Hubble H(t_0) = H_0 , et la valeur actuelle du paramètre de densité $\Omega(t_0) = \Omega_0$ (ou du paramètre de décélération actuel q_0 ). On considère généralement que la pression du fluide de galaxie est nulle, ce qui implique d'après les équations (1.1) et (1.2) que $q H^2 = \frac{4\pi}{3} \, {\cal G} \,\rho_c \Omega$ , et donc que q_0 et $\Omega_0$ sont interchangeables.

Dans les modèles de Friedman caractérisés par une constante cosmologique nulle ( $\Lambda = 0$ ), l'expansion se ralentit au cours du temps; il en résulte que l'âge t_0 de l'Univers est toujours inférieur au temps de Hubble $t_H = H_0^{-1}$ .