Vitesse orbitale : Page pour l'impression

Objectifs

Les exemples de trajectoires quasi-circulaires autour d'un centre de force sont légions, et méritent d'être étudiés de près. D'autant plus que l'observation de paramètres liés au mouvement circulaire autour d'un centre de force est un des nombreux moyens de peser les objets de l'univers.

Vitesse orbitale

On considère un objet de masse négligeable, placé dans un potentiel central de masse , sur une orbite circulaire de rayon parcourue à la vitesse .

Le principe fondamental de la dynamique donne directement le lien entre la vitesse et le rayon , en évaluant l'accélération centrale :

${ {\mathcal{G}} M\over r^{2}} = {v^{2}\over r}$

D'où la relation entre la vitesse et le rayon orbital :

$v = \sqrt{ {\mathcal{G}} M \over r}$

Applications

La relation donnant la vitesse orbitale en fonction du rayon d'une orbite circulaire permet, comme la 3e loi de Kepler, de "peser" la masse du centre de force. Rien d'étonnant à cela, il s'agit de la même loi réécrite sous une autre forme (voir exercice). La mesure des 2 observables et permet de déterminer la masse du centre de force, qui doit rendre compte de la relation:

$v = \sqrt{ {\mathcal{G}} M \over r}$

QCM

1) La vitesse orbitale d'un satellite de masse

, dans le potentiel d'un corps sphérique de masse

dépend de

est proportionnelle à $\sqrt{M}$
est proportionnelle à

2) La vitesse orbitale dans le potentiel d'un corps sphérique de masse

s'exprime ainsi:
$v _{\mathrm{orb}} = \sqrt{2 GM/r}$
$v _{\mathrm{orb}} = \sqrt{GM/r}$
$v _{\mathrm{orb}} = GM/r^{2}$
$v _{\mathrm{orb}} = GM/r$

Phobos et Deimos

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Le tableau ci-dessous présente les caractéristiques orbitales des 2 satellites de Mars, Phobos et Deimos.

Satellites martiens
Phobos	$a_p = 2.76\ R_M$
Deimos	$a_d = 6.91\ R_M$
Mars	${\mathcal{G}} M = 4.2\ 10^{13}\, \mathrm{SI}$
	$R_M = 3400 {\,\mathrm{km}}$

Question 1)

Calculer les vitesses orbitales des 2 satellites.

Question 2)

En déduire leurs périodes orbitales. Comparer à la journée martienne (24.5 h) et conclure.

Survol d'un satellite

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

On cherche à évaluer la durée de transit d'un satellite artificiel en orbite basse. On suppose l'horizon totalement dégagé, et le satellite visible dès lors qu'il surmonte l'horizon. On donne :

Données
rayon terrestre	$R=6400 {\,\mathrm{km}}$
masse de la Terre	$M = 6\ 10^{24} {\,\mathrm{kg}}$
altitude du satellite	$h = 200 {\,\mathrm{km}}$

Question 1)

Estimer la vitesse et la période orbitale du satellite.

Question 2)

Faire un schéma montrant quelle portion de la trajectoire du satellite est visible.

Question 3)

Estimer la taille angulaire de cet arc de trajectoire. En déduire la durée de visibilité du satellite.

Vitesse circulaire / 3e loi de Kepler

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

Question 1)

Reprendre les expressions de la 3e loi de Kepler et de la vitesse d'un objet en orbite circulaire autour d'un centre de force de masse , et montrer, comme il s'agit de la même physique, que l'on peut les déduire l'une de l'autre.

[2 points]

Objets de Kuiper

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 30 min

La recherche des objets lointains du système solaire, p.ex. les objets de Kuiper, est basée sur la détection de leur mouvement par rapport aux étoiles.

Mouvement apparent d'un objet de Kuiper sur 5 heures.

Crédit : CFHT

Question 1)

Déterminer les vitesses orbitales, linéaire puis angulaire, d'un objet de Kuiper sur une orbite circulaire à 40 UA. Donner sa période de révolution sidérale.

[2 points]

Question 2)

Cette question s'intéresse au mouvement orbital autour du Soleil. Déterminer la vitesse angulaire relative de l'objet par rapport à la Terre. Quel terme domine dans ce mouvement apparent ?

[3 points]

Question 3)

Déterminer le déplacement angulaire apparent sur fond de ciel de cet objet de Kuiper en 2 heures. Quel est l'intérêt d'observer à l'opposition ?

[3 points]

Rotation dans une galaxie

Difficulté : ☆☆ Temps : 40 min

Un grand nombre de galaxies présentent un profil de luminosité qui varie en loi de puissance en fonction de la distance au centre galactique :

$L(r)\ =\ L_0\ \left({r_0\over r}\right)^\alpha$

Cette donnée observationnelle permet d'écrire le profil de masse volumique de la galaxie sous la forme:

$\rho(r) \ = \rho_0\ \left({r_0\over r}\right)^\alpha$

Question 1)

Déduire du profil de masse volumique la masse m(r) de la sphère galactique de rayon . Montrer d'une part que la constante $\alpha$ doit vérifier $\alpha < 3$ , d'autre part que le profil de masse volumique doit nécessairement être tronqué au delà d'un certain rayon.

[3 points]

Question 2)

Déduire de m(r) le champ gravitationnel G(r) , ainsi que la vitesse de rotation circulaire au sein de la galaxie s'écrit :

$v^2(r) \ = \ {4\pi {\mathcal{G}} \rho_0 r_0^\alpha \over 3 - \alpha}\ r^{2-\alpha}$

[2 points]

Question 3)

La plupart des galaxies montrent, pour large intervalle en rayon, un profil de vitesse plat. Quelle valeur de l'exposant $\alpha$ cette donnée observationnelle privilégie-t-elle ? Quelle conséquence pour le champ gravitationnel et la masse au rayon ?

[2 points]

Question 4)

Dans le voisinage solaire, à 8.5 kpc du centre galactique, la vitesse de rotation est de l'ordre de 220 km.s $^{-1}$ . En déduire la valeur de la masse galactique comprise dans la sphère de rayon 8.5 kpc. La traduire en masse solaire. Cette valeur vous semble-t-elle plausible ?