S'évaluer

Vitesse circulaire / 3e loi de Kepler

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

Question 1)

Reprendre les expressions de la 3e loi de Kepler et de la vitesse d'un objet en orbite circulaire autour d'un centre de force de masse , et montrer, comme il s'agit de la même physique, que l'on peut les déduire l'une de l'autre.

[2 points]

Objets de Kuiper

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 30 min

La recherche des objets lointains du système solaire, p.ex. les objets de Kuiper, est basée sur la détection de leur mouvement par rapport aux étoiles.

Question 1)

Déterminer les vitesses orbitales, linéaire puis angulaire, d'un objet de Kuiper sur une orbite circulaire à 40 UA. Donner sa période de révolution sidérale.

Aide [2 points]

Question 2)

Cette question s'intéresse au mouvement orbital autour du Soleil. Déterminer la vitesse angulaire relative de l'objet par rapport à la Terre. Quel terme domine dans ce mouvement apparent ?

[3 points]

Question 3)

Déterminer le déplacement angulaire apparent sur fond de ciel de cet objet de Kuiper en 2 heures. Quel est l'intérêt d'observer à l'opposition ?

Aide [3 points]

Rotation dans une galaxie

Difficulté : ☆☆ Temps : 40 min

Un grand nombre de galaxies présentent un profil de luminosité qui varie en loi de puissance en fonction de la distance au centre galactique :

$L(r)\ =\ L_0\ \left({r_0\over r}\right)^\alpha$

Cette donnée observationnelle permet d'écrire le profil de masse volumique de la galaxie sous la forme:

$\rho(r) \ = \rho_0\ \left({r_0\over r}\right)^\alpha$

Question 1)

Déduire du profil de masse volumique la masse m(r) de la sphère galactique de rayon . Montrer d'une part que la constante $\alpha$ doit vérifier $\alpha < 3$ , d'autre part que le profil de masse volumique doit nécessairement être tronqué au delà d'un certain rayon.

Aide [3 points]

Question 2)

Déduire de m(r) le champ gravitationnel G(r) , ainsi que la vitesse de rotation circulaire au sein de la galaxie s'écrit :

$v^2(r) \ = \ {4\pi {\mathcal{G}} \rho_0 r_0^\alpha \over 3 - \alpha}\ r^{2-\alpha}$

Aide [2 points]

Question 3)

La plupart des galaxies montrent, pour large intervalle en rayon, un profil de vitesse plat. Quelle valeur de l'exposant $\alpha$ cette donnée observationnelle privilégie-t-elle ? Quelle conséquence pour le champ gravitationnel et la masse au rayon ?

Aide [2 points]

Question 4)

Dans le voisinage solaire, à 8.5 kpc du centre galactique, la vitesse de rotation est de l'ordre de 220 km.s $^{-1}$ . En déduire la valeur de la masse galactique comprise dans la sphère de rayon 8.5 kpc. La traduire en masse solaire. Cette valeur vous semble-t-elle plausible ?

Aide Aide [3 points]