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Objectifs

Le cas d'une source rigoureusement ponctuelle et monochromatique est souvent évoqué pour aborder l'optique (géométrique ou physique). Une source réelle en astrophysique peut être approximativement ponctuelle, du fait d'un très grand éloignement, mais ce n'est pas toujours le cas.

La cohérence spatiale rend compte de l'étendue angulaire de la source. Une analyse détaillée des phénomènes peut se traiter par une formalisme mathématique et s'appuie sur le théorème Zernike Van-Cittert.

Cohérence spatiale

Les sources astrophysiques ne sont pas naturellement cohérentes. Leur étendue angulaire va conduire à dégrader la cohérence du rayonnement : l'onde collectée mélange diverses directions incidentes, présentant différentes phases, dont le mélange dégrade la cohérence.

Pour modéliser ce phénomène, on s'intéresse à la cohérence du champ sur un écran illuminé par une source à grande distance ; cet écran illustre le rôle que joue un plan d'onde intermédiaire ou bien une pupille.

Le facteur de cohérence

On repère un point de la source par le rayon vecteur $\mathbf{M}$ de coordonnées et . On compare la cohérence entre 2 points P_1 et P_2 de l'écran. Pour une source à grande distance ( très grand par rapport aux autres dimensions), on définit le degré de cohérence comme une fonction du profil de brillance $I ( \mathbf{M})$ :

$\gamma_{1,2} \ = \ \gamma (\mathbf{P_1P_2}) \ = \ { \displaystyle{\int _{\mathrm{source}} I( \mathbf{M})\ \exp \left[ -2i\pi\ { \mathbf{M} \over d}. {\mathbf{P_1P_2} \over \lambda} \right] \ {\mathrm{d}}^2 \mathbf{M}} \over \displaystyle{\int _{\mathrm{source}} I( \mathbf{M}) \ {\mathrm{d}}^2 \mathbf{M}} }$

Le facteur de cohérence complexe correspond à la transformée de Fourier de la distribution spatiale d'intensité de la source (théorème de Zernike - Van Cittert).

Cas particulier : source circulaire

On modélise le rayonnement stellaire par une source circulaire de diamètre $2R = D \ \theta$ , de brillance uniforme, observée à distance . La brillance peut être représentée par une fonction porte $\Pi (r / 2R)$ . On traite alors ce cas particulier en s'appuyant sur sa géométrie cylindrique, et l'on réécrit la cohérence entre le centre de l'écran (centre repéré sur la normale à l'écran vers la source) et un point tel $\mathbf{OP} = \rho \mathbf{u}$ :

$\begin{eqnarray*} \gamma_{1,2} \ =& { \displaystyle{\int _{\mathrm{source}} \ \Pi{\left({D \mathbf{u}\over 2R } \right)}\exp\left[ -2i\pi\ \mathbf{u} . {\mathbf{\rho} \over \lambda}\right] \ {\mathrm{d}} \mathbf{u}} \over \displaystyle{\int _{\mathrm{source}} \Pi{\left({D \mathbf{u}\over 2R } \right)}\ {\mathrm{d}} \mathbf{u}} }\\ \propto & \displaystyle{\int_0^\theta \ \exp\left[ -2i\pi\ \mathbf{u} . {\mathbf{\rho} \over \lambda}\right] \ {\mathrm{d}} \mathbf{u}} \ = \ \displaystyle{ 2 J_1 \left( 2\pi\theta \displaystyle{\rho\over \lambda}\right) \over 2\pi\theta \displaystyle{\rho\over \lambda}}\\ = & \displaystyle{ 2 J_1 (X) \over X} \ \ \mathrm{avec} \ \ X\ =\ 2\pi\theta \displaystyle{\rho\over \lambda} \end{eqnarray*}$

où l'on retrouve la fonction de Bessel J_1 .

Rappel sur la diffraction de Fraunhofer

Le résultat précédent ressemble furieusement à celui de la diffraction. Est-ce un hasard ?

La tache d'Airy résultant de la diffraction par une pupille circulaire rend compte de la contribution de toutes les sources secondaires à considérer sur la pupille. Plus la pupille est grande, plus les déphasages s'accumulent dès lors que l'on s'éloigne de la position centrale de l'image géométrique. Il s'ensuit que la tache de diffraction est d'autant plus piquée que la pupille est grande.

En terme de cohérence, plus une pupille est grande, plus le degré de cohérence entre 2 points de cette pupille diminue.

Une autre manière de reformuler ceci dérive de l'analyse de Fourier : plus on possède d'information sur un signal, moins ce signal est localisé. Le principe d'incertitude de Heisenberg ne dit pas autre chose : la détermination précise d'une grandeur nécessite que sa grandeur conjuguée soit étendue, la moins localisée possible.

Etendue de cohérence

La source de rayon angulaire $\theta$ est vue depuis l'écran sous un angle solide $\Omega = \pi \theta^2$ . Une surface $S = \pi \rho^2$ de l'écran correspond à une étendue de faisceau telle que :

$E\ =\ S \ \Omega \ = \ \pi \rho^2 \ \pi \theta^2 \ = \ {\lambda^2 X^2\over 4}$

La valeur à mi-hauteur du facteur de cohérence correspond à $X\simeq 2$ : on choisit cette valeur pour définir le rayon de l'étendue de cohérence.

Définition

L'étendue de cohérence du faisceau monochromatique vaut $\lambda^2$ .