Changement de référentiels

Auteur: B. Mosser

Introduction

Les observations du ciel sont effectuées, pour la plupart, depuis la Terre. Les mesures qui en résultent sont analysées, pour la plupart, dans un référentiel héliocentrique, le référentiel géocentrique n'offrant pas un cadre suffisamment galiléen (référentiel dans lequel un corps soumis à aucune force est en mouvement rectiligne uniforme) .

Les pages de cette section traitent des changements entre les différents référentiels utiles à l'astronomie et à l'astrophysique.

systemes.jpg
Trois façons de voir l'Univers, selon les astronomes Copernic, Ptolémée et Tycho Brahe.
Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Changement de référentiel spatial


Apprendre

objectifsObjectifs

Passer des coordonnées équatoriales, données par les catalogues, aux coordonnées azimutales, liées au lieu d'observation.

Hauteur d'un astre

En un lieu d'observation de latitude, \varphi, les équations de passage des coordonnées équatoriales (ascension droite \alpha, déclinaison \delta) vers les coordonnées locales (azimut a, hauteur h) s'expriment par :

\left\{ \matrix{ \sin h\hfill &=&\hfill \sin\varphi \sin\delta &+& \cos\varphi \cos\delta \cos H\cr \cos h \cos a &=&-\cos\varphi \sin\delta &+& \sin\varphi \cos\delta \cos H\cr \cos h \sin a &=& & & \hfill \cos\delta \sin H \cr } \right.

avec H = S -\alpha l'angle horaire, S étant le temps sidéral.

Conditions de visibilité

La visibilité d'un astre nécessite au moins h \ge 0 (astre au dessus de l'horizon), et en pratique h \ge h_0, la limite dépendant des contraintes d'observation.

Les conditions posées sur l'angle horaire H, et donc \alpha, sont estimées en exercice. Les équations précédentes montrent que le passage au méridien, l'altitude h maximale, est atteint pour H=0, càd \alpha = S.


S'exercer

qcmQCM

1)  Vers quel mois de l'année observera-t-on une étoile d'ascension droite \alpha=6{\rm h} et déclinaison nulle à peu près toute la nuit (rappel : S = 12 \ {\rm h} à l'équinoxe de printemps).




2)  Vers quel mois l'ascension droite du soleil vaut-elle 12 h ?




exerciceVisibilité

Difficulté :    Temps : 40 min

D'après les équations de changement de système de coordonnées, un astre est levé si sa hauteur h est positive, ce qui signifie :

\sin h\ =\ \sin\varphi \sin\delta + \cos\varphi \cos\delta \cos H \ \ge \ 0

(voir la page cours pour le rappel de la définition des symboles).

Ceci conduit à une condition sur l'angle horaire :

\cos H \ \ge \ - \tan \varphi \tan \delta

qui doit pouvoir être satisfaite.

Question 1)

Dans quel cas cette équation n'admet-elle jamais de solution ?

Question 2)

Dans quel cas cette équation admet-elle toujours une solution ?

Question 3)

Représenter, pour un lieu de latitude \varphi moyenne, un diagramme avec les étoiles circumpolaires (une étoile circumpolaire est suffisamment proche du pôle pour ne jamais descendre sous l'horizon) et les étoiles toujours invisibles.


Changement de référentiel temporel


Apprendre

objectifsObjectifs

Un référentiel, c'est aussi une horloge. La période apparente d'un phénomène périodique dépend donc de cette horloge.

Changer de référentiel, c'est changer de point de vue !

Comme ici, les différents référentiels concernés s'appuyant sur la rotation de la Terre autour du Soleil, ou sur la rotation de la Terre sur elle-même ou sur les étoiles fixes, sont en rotation angulaire les uns par rapport aux autres, il est nécessaire de s'intéresser à la composition des vitesses angulaires.

Composition des vitesses angulaires

Les mesures d'une vitesse angulaire exprimée dans deux référentiels différents 1 et 2, identifiées par les indices /1 et /2, vérifient la "relation de Chasles" :

\overrightarrow{\omega}_{/2} \ = \ \overrightarrow{\omega}_{/1} + \overrightarrow{\omega}_{1/2}

En considérant des mouvements de rotation coplanaires, l'égalité pour les périodes devient :

{1\over T_{/2}} \ = \ \pm {1\over T_{/1}} \pm {1\over T_{1/2}}

Les signes ± dépendent des sens respectifs des mouvements, selon que l'entraînement, la rotation du référentiel 1 par rapport au référentiel 2, s'ajoute ou se retranche au mouvement du système considéré.

Sidéral versus synodique

Dans les cas des référentiels terrestre tournant et sidéral, la rotation propre et la révolution étant le plus souvent sur des axes parallèles et dans le même sens, on a :

\omega _{\mathrm{sid}} \ = \ \omega _{\mathrm{an}} \pm \omega _{\mathrm{syn}}

et donc :

{1\over T _{\mathrm{sid}}} \ = \ {1\over T _{\mathrm{an}}} \pm {1\over T _{\mathrm{syn}} }

le signe \pm dépendant de la planète considérée, d'orbite intérieure ou extérieure à la Terre.

Par exemple, on retrouve la relation entre le jour synodique moyen (temps qui sépare deux passages du Soleil au méridien) et le jour sidéral (temps pour que la Terre fasse un tour exact sur elle-même):

{1\over 23 {\,\mathrm{h}}56} = {1\over 365.25 {\,\mathrm{j}}} + {1\over 24 {\,\mathrm{h}}}

Ces 4 minutes de différence entre 23h56 et 24h00, en fait plutôt 3min56.3s, représente de l'ordre d'une fraction 1/365 de 24h.


Simuler

Conversion

A l'aide de l'appliquette, convertir les périodes sidérales des planètes (Tsid) en périodes synodiques (Tsyn).

application.png

La rotation de Mercure

L'évolution de Mercure a conduit à figer ses périodes de rotation propre et de révolution dans une résonance de type 3:2, ce qui signifie que Mercure accomplit, dans un référentiel sidéral, 3 rotations propres en 2 révolutions autour du Soleil.

Cette configuration particulière conduit, pour une hypothétique habitant mercurien (hermien), à des jours valant deux années mercuriennes (voir exercice), comme le montre l'animation.

mercure.gif
L'observateur est repéré par un tiret, jaune puis bleu. L'emploi de deux couleurs permet de distinguer les 2 années nécessaires pour accomplir un jour sur Mercure (ici défini entre 2 levers de Soleil).
Crédit : ASM

S'exercer

qcmQCM

1)  Quelle durée sépare deux passages successifs au méridien d'une étoile ?



2)  Quelle durée sépare deux levers successifs d'une étoile ?



3)  Quelle durée sépare deux passages successifs de la Lune au méridien ?



exerciceSynodique ou sidéral

Difficulté :    Temps : 20 min

Le tableau ci-joint donne les période de révolution sidérale des planètes du système solaire. On veut calculer leurs périodes de révolution synodiques.

Périodes de révolution sidérale
PlanèteaT _{\mathrm{sid}}
UA an
Mercure0.38710.2408
Vénus 0.72330.6152
Terre1.00001.0000
Mars1.52371.8808
Jupiter5.202611.862
Saturne9.554729.457
Uranus19.218 84.020
Neptune30.109 164.77
Question 1)

Le cas des planètes internes (Mercure, Vénus) est-il analogue à celui des planètes externes?

Question 2)

Calculer les révolutions synodiques.

Question 3)

Pourquoi les périodes synodiques ci-dessus calculées tendent-elles vers un an lorsque l'on s'éloigne dans le système solaire ?

exerciceIls tournent

Difficulté : ☆☆☆   Temps : 20 min

Question 1)

En quelle durée le Soleil parcourt-il son diamètre, du fait de la rotation diurne ?

Question 2)

En quelle durée la Lune parcourt-elle son diamètre ?

Question 3)

Déterminer la durée moyenne d'une éclipse, entre les premier et dernier contacts ? La période de révolution synodique de la Lune est de 29.5 j ; les premier et dernier contacts correspondent aux tout début et toute fin de l'éclipse (situation \circ\bullet et \bullet\circ).

exerciceRotation de Mercure

Difficulté : ☆☆   Temps : 30 min

Question 1)

Déterminer la période sidérale de rotation, avec comme unité l'année hermienne sidérale.

Question 2)

Définir les référentiels d'étude, et l'entraînement angulaire de l'un par rapport à l'autre. Montrer alors que le jour hermien vaut 2 années sidérales.


S'évaluer

exerciceLe cas de la Lune

Difficulté : ☆☆   Temps : 20 min

La période de révolution synodique de la Lune, durée s'écoulant entre deux nouvelles lunes, vaut 29 j 12 h 44 min.

Question 1)

Calculer la période de révolution sidérale de la Lune.

[2 points]

Question 2)

Déterminer l'intervalle de temps moyen entre 2 passages consécutifs de la Lune au méridien.

[2 points]


Pointer un astre et l'observer


Observer

Hauteur

La coordonnée locale h, la hauteur d'un astre, nous renseigne si un astre est levé (h \ge 0). L'angle horaire H nous renseigne sur sa position par rapport au méridien (passage au méridien à H=0).

Le tracé de h(H) est utile pour estimer les conditions d'observations.

Hauteur, fonction de l'angle horaire
lignes.png
Lignes iso-déclinaison : les trajectoires circumpolaires apparaissent en bleu.
Crédit : ASM
Hauteur, fonction de l'angle horaire
visib.png
Tracé, pour la latitude \varphi de Paris, de la hauteur h d'un astre, en fonction de l'angle horaire H. En bleu : les astres toujours visibles, ou circumpolaires, de déclinaison \delta > 90-\varphi ; en rouge, ceux de déclinaison dans l'intervalle [\varphi-90,\ 90-\varphi], plus ou moins visibles selon l'angle horaire. L'étoile polaire, quasi-immobile et de déclinaison proche de 90^\circ, garde bien sûr une hauteur quasi constante.
Crédit : ASM

Visibilité

La hauteur h détermine si l'astre est levé, mais cela ne suffit pas pour assurer la visibilité de l'objet : il faut que le soleil soit couché (sauf si c'est lui que l'on souhaite observer, évidemment).

Cela dépend de l'ascension droite. Les éphémérides et logiciels de l'IMCCE permettent de calculer positions, visibilités...

Mercure, Vénus

Les objets internes du système solaire, Mercure et Vénus, mais aussi tout petit corps de périhélie inférieur à 1 UA, ne peuvent être visibles toute la nuit (le contraire signifierait que la Terre se situe entre eux et le Soleil, ce qui est contradictoire), ce qui réduit leur durée d'observation.

Ainsi, le coucher de Mercure suit de peu celui du Soleil.

couchermercure.jpg
Photomontage réalisé à partir de plusieurs images de Mercure sur l'horizon ouest, réalisées quotidiennement pendant 3 semaines, le soleil étant à une élévation de -10 degrés. Un seul fond d'image a été représenté.
Crédit : Juan Carlos Casado

Apprendre

Le temps des étoiles

Comment savoir si une étoile est visible ou non, et comment la pointer, càd diriger le télescope vers elle ? Cela dépend de ses coordonnées (ascension droite et déclinaison), mais aussi du lieu, de la date et de l'heure d'observation, comme cela a été montré aux pages traitant des coordonnées et du temps sidéral.

Observation

Observer un astre dans les meilleures conditions, c'est l'observer lorsqu'il passe au méridien à minuit, et donc lorsque son ascension droite vaut le temps sidéral de référence (Greenwich) à minuit.

Un paramètre couramment mesuré est la masse d'air, qui n'est pas une masse mais rend compte de l'épaisseur d'atmosphère traversée. C'est la tangente de la distance zénithale, distance angulaire séparant le zénith de l'altitude de l'objet.

airmasse.png
La masse d'air croît avec l'angle \theta comme 1 / \cos \theta.
Crédit : ASM

S'exercer

exercicePlanète, astre errant

Difficulté :    Temps : 20 min

Question 1)

Aller rechercher les coordonnées des planètes Vénus, Mars, Jupiter et Saturne sur le site de l'Institut de Mécanique Céleste (CNRS, Observatoire de Paris). Choisir l'objet, la date, et laisser de côté le reste des informations demandées.

Question 2)

Déterminer, pour 20h00 ce soir (heure locale), le temps sidéral (pour un observatoire de votre choix), à l'aide des données de site de l'Institut de Mécanique Céleste.

Question 3)

Quelles planètes seront visibles (s'il fait beau) ?


S'évaluer

exerciceLatitude / déclinaison

Difficulté : ☆☆   Temps : 15min

Pour une bonne qualité d'observations, on souhaite qu'une cible stellaire étudiée culmine à une hauteur supérieure à 60 deg. Quelle contrainte cela pose-t-il sur la cible, fonction de la latitude \varphi du lieu d'observation ?

Question 1)

Interpréter le terme culmine.

Question 2)

Quelle contrainte cela pose-t-il sur la cible, fonction de la latitude du lieu d'observation ?

exerciceQuand observer ?

Difficulté : ☆☆☆   Temps : 40 min

Un programme d'observation à l'Observatoire de Paris, sur le campus de Meudon, comprend les cibles stellaires ci-jointes :

Etoiles doubles
nom \alpha \delta sép.m _{\mathrm{V}}remarque
(h, min)(^\circ, ')(")
\eta Cas00 49.157 4912.23.4, 7.5
\gamma Ari01 53.519 187.8 4.8, 4.8
\chi Tau04 22.625 3819.45.5, 7.6
\sigma Ori05 38.7-02 3712.9,43 4,7,7.5quadruple en fait
\iota Cnc08 46.728 4530.74.4, 6.5
38 Lyn09 18.836 482.73.9, 6.6
Question 1)

Vers quelle date va-t-on pouvoir observer dans la même nuit chacune de ces cibles, dans des conditions optimales, en première partie de nuit vers 22h00 heure locale?

[2 points]

Question 2)

On souhaite passer 1/2 h par cible. Dans quel ordre les cibles devront-elles être observées ?

[1 points]

Question 3)

Pour éviter un premier quartier de Lune et tester une webcam sur la cible \chi Tau, des observations en fin de nuit (4h heure locale) se sont imposées : vers quelle date l'observation a-t-elle été menée, alors que \chi Tau culminait ?

[1 points]


Conclusion

Ces pages permettent de faire le lien entre 2 étapes caractéristiques de la démarche scientifique : dans un cadre donné (p.ex. lié à la Terre entraînée autour du Soleil) mener des observations ou rendre compte de phénomènes ; puis énoncer ou valider une loi physique dans un cadre général (p.ex. dans le référentiel héliocentrique).

Les points techniques associés aux changements de référentiel ne doivent pas rebuter ; ce ne sont que des points techniques. Il existe d'ailleurs de nombreux outils qui permettent de se faciliter la tâche. Voir par exemple le serveur d'éphémérides de l'ESO (par exemple pour les étoiles), ou bien celui de l'IMCCE (par exemple pour les objets du système solaire).

conclurereferentiel2019.jpg
Éphémérides d'été de l'étoile HD 203608 à la Silla.
Crédit : ESO

Réponses aux QCM

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QCM

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QCM


Réponses aux exercices

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Exercice 'Visibilité'


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Exercice 'Synodique ou sidéral'


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Exercice 'Ils tournent'


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Exercice 'Rotation de Mercure'


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Exercice 'Le cas de la Lune'


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Exercice 'Planète, astre errant'