Trigonométrie sphérique
Difficulté : ☆
Temps : 30 min
Un peu de trigonométrie sphérique nous apprend que la distance angulaire entre 2 objets A et B de coordonnées équatoriales respectives et s'écrit :
Question 1)
Vérifier cette expression dans le cas particulier où A et B sont 2 objets sur l'équateur céleste.
AideAideAideSolution
[1 points]
Dans ce cas, les déclinaisons sont nulles toutes les deux.
Un peu de trigonométrie : et .
Un peu plus de trigonométrie : comme , .
Les déclinaisons de A et B étant toutes deux nulles, la relation se réécrit simplement :
D'où la solution, évidemment simple :
Question 2)
Vérifier cette expression dans le cas particulier où A et B ont même ascension droite.
AideSolution
[2 points]
Peut-être est-il utile de rappeler que
Avec des ascensions droites égales, la distance angulaire se réécrit :
Plus simplement :
Soit
Là encore, le résultat est assez intuitif
Question 3)
Vérifier cette expression dans le cas particulier où A et B sont séparés de 12 h en ascension droite. Préciser le résultat lorsque, en plus, les déclinaisons sont égales.
AideAideAideSolution
[3 points]
Que devient dans ce cas la contribution du terme avec les ascensions droites ?
Encore un peu de trigonométrie :
Moins courant, mais un cercle trigonométrique le justifie aisément :
La solution
s'écrit dans ce cas, avec .
Et donc, dans ce cas :
Si, de plus, les déclinaisons sont égales, on trouve alors
La distance angulaire, en passant par les pôles, est bien égale à 2 fois la colatitude ; la colatitude est le complément à (ou 90 deg) de la latitude.