Les masses des deux composantes

Apprendre

Cas circulaire

La situation la plus simple est celle où l'orbite est circulaire et vue par la tranche, soit i=90^\circ (le plan de l'orbite contient la ligne de visée). Les deux courbes de vitesse radiale sont alors des sinusoïdes qui oscillent en opposition de phase, autour de la vitesse V_G de leur barycentre, avec une même période T.

Chacune des étoiles A et B étant animée d'un mouvement circulaire et uniforme, de période T autour de G, les vitesses V_A et V_B sont liées aux distances r_A et r_B par les relations :

V_A = \frac{2 \pi r_A}{T} \mathrm{ \ et \ } V_B = \frac{2 \pi r_B}{T}

Masses

Par définition du centre de masse : M_A r_A = M_B r_B. On obtient alors le rapport des masses :

\frac{M_A}{M_B}= \frac{V_B}{V_A}

qui est donné par le rapport des amplitudes des deux courbes. D'autre part, d'après la troisième loi de Kepler, on a :

M_A + M_B = \frac{(r_A + r_B)^3}{T^2} \frac{4 \pi^2}{G}

On obtient :

M_A = V_B (V_A + V_B)^2\ \frac{T}{2 \pi G} \mathrm{ \ et \ } M_B = V_A (V_A + V_B)^2\ \frac{T}{2 \pi G}

Si l'inclinaison i est différente de 90^\circ, l'amplitude de la courbe de vitesse radiale est diminuée d'un facteur \sin i (V _{\mathrm{obs}} = V \ \sin{i}).

Dans les équations précédentes, M_A est donc remplacé par M_A \sin^3 i (respectivement M_B \sin^3 i).

Orbite elliptique

Si l'orbite n'est pas circulaire mais elliptique avec une excentricité e non nulle, les courbes de vitesse radiale ne sont pas sinusoïdales, bien que toujours en opposition de phase et avec un rapport d'amplitude égal au rapport des masses.

S'exercer

exerciceObservabilité

Difficulté : ☆   Temps : 5 min

Question 1)

Comment se révèle à l'observation une étoile double spectroscopique dans le cas où i= 0?

exerciceRésolution spectrale

Difficulté : ☆☆   Temps : 20 min

On cherche à analyse un spectre d'étoile spectroscopique double, enregistré avec une résolution dans le domaine visible (\lambda \sim 5000\hbox{\AA}) de l'ordre de \Delta \lambda \sim 0.01\hbox{ \AA}.

Question 1)

Quelle limitation cela impose-t-il sur les vitesses radiales que l'on peut effectivement mesurer ?

Question 2)

Observer des grandes vitesses orbitales favorise-t-il ou non les systèmes serrés ?

exerciceInclinaison de l'orbite

Difficulté : ☆   Temps : 10 min

Question 1)

Comment peut-on vérifier que l'hypothèse i \sim 90^\circ est vraie ou non ?

Question 2)

Quand l'inclinaison est inconnue, peut-on obtenir des limites inférieures ou supérieures pour les masses des deux composantes ?

S'évaluer

exerciceL'étoile double AR Lacertae

Difficulté : ☆   Temps : 30 min

vrarlacertae.png
Courbe de vitesse radiale de AR Lacertae
Crédit : ASM

On considère l'étoile double AR Lacertae, dont on a observé les courbes des vitesses radiales des deux composantes. La période du système vaut 1.983 j.

courbearlac.png
Courbe de lumière de AR Lacertae
Crédit : ASM
Question 1)

Commenter les courbes. Que dire des caractéristiques du mouvement des deux étoiles ?

[1 points]

Question 2)

Quelle est la vitesse radiale du barycentre ?

[1 points]

Question 3)

Trouver le rapport des masses des deux composantes.

[1 points]

Question 4)

Trouver la séparation (en km) des deux composantes.

[1 points]

Question 5)

Déterminer la masse de chaque composante en unité solaire

[1 points]

Question 6)

Dans quel cas serait-il possible de calculer les rayons de chaque étoile ?

[1 points]

Réponses aux exercices

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Exercice 'Observabilité'

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Exercice 'Résolution spectrale'

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Exercice 'Inclinaison de l'orbite'

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Exercice 'L'étoile double AR Lacertae'