Equilibrio o rottura, per l’azione del campo autogravitazionale che deve assicurare la coesione, e dei termini del gradiente del campo gravitazionale planetario che frammenta il satellite (nel riferimento del centro di massa del satellite). Credito : Astrophysique sur Mesure

Il ragionamento di Roche, che riportiamo qui di seguito, riposa sull’ipotesi semplificatrice seguente : anche se il satellite è sferico, immaginaimolo costituito da due sfere di raggio r e di massa m. Basta pensare a due palle di neve sporche, ognuna di raggio r, mantenute insieme grazie alla forza di gravitazione universale che ognuna esercita sull’altra. Questa forza, che chiameremo , è data dalla relazione di Newton :

Consideriamo ora che il satellite sia piazzato a una distanza D di un pianeta di massa M e di raggio R. La forza d’attrazione F, tra il pianeta e la palla di neve la più vicina, sara più grande che la forza F’ tra il pianeta e la palla più lontana. La Forza F è data dalla relazione seguente :

E la forza F’ è data da: :

Le due palle risentiranno una forza risultante che tende a separarle. Questa forza equivale alla differenza delle forze F e F’. Si ha dunque : E, perchè D>>r :
Ci sarà separazione delle due masse se la forza è superiore alla forza .
Ci sarà dunque separazione se :
Rimpiazziamo la massa M con r , dove è la densita del pianeta, e la massa m con , dove è la densita del satellite.
C’è separazione se la distanza D è inferiore a
L’approssimazione è accetabile perchè vale 2,51 mentre il valore esatto è 2,456