L'Astronomie dans l'apprentissage des Mathématiques
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- Fonction d'une variable réelle : généralité et continuité
- Continuité
• Ex : loi de Wien

Ex : loi de Wien

Auteur: Marc Fouchard
Auteur: Marc Fouchard
calcotron

exerciceLoi de Wien

Difficulté : ☆☆   Temps : 1h

Question 1)

Sachant que h, c et ksont des constantes strictement positives et que la température Tétant mesurée en degré Kelvin est aussi strictement positive, montrer que E(\lambda) est de classe {\mathcal C}^{\infty} et est toujours strictement positive lorsque \lambda \in \left\rbrack 0 , + \infty \right \lbrack.

Solution

Question 2)

Montrer que les limites de E(\lambda) quand \lambdatend vers 0 et vers + \inftysont toutes les deux égales à zéro.

AideSolution

Question 3)

En déduire qu'il doit exister un maximum pour E(\lambda) sur \left\rbrack 0 ; +\infty \right\lbrack.

Solution

Question 4)

En effectuant le changement de variable u=\frac{h c}{k \lambda T}, montrer qu'étudier le signe de \frac{{\rm d} E(\lambda)}{{\rm d} \lambda}revient à étudier celui de \frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u}.

Solution

Question 5)

En déduire une condition sur u, de la forme f(u)=u, pour que \frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u} s'annule. On note u_S la solution de cette équation lorsqu'elle existe.

Solution

Question 6)

On peut monter par le théorème du point fixe dans {\mathbf R} que fadmet un point fixe et que la suite définie par u_{n+1} = f(u_n)converge vers ce point fixe (voir Loi de Wien et théorème du point fixe). En prenant u_0=5 trouver une valeur \tilde{u}_S qui soit une valeur approchée de u_S à 10^{-7} prêt.

Solution

Question 7)

En déduire la relation \lambda_{\rm max}\cdot T =Ac=299\,792\,458~ {\rm m}\cdot{\rm s}^{-1}, h = 6,626\,17\times 10^{-34}~{\rm J}\cdot{\rm s} etk = 1,380\,66 \times 10^{-23}~{\rm J}\cdot{\rm K}^{-1}. Cette relation correspond à la loi de Wien pour les corps noirs. Justifier l'utilisation de \tilde{u}_S dans le calcul de la constante A.

Solution

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