Théorème de Pythagore : Page pour l'impression

Auteur: Alain Vienne

On propose ici une application simple et directe du thèorème de Pythagore. Il faut le considérer ici comme une révision des "années collège et lycée" de l'étudiant. Notre expérience d'enseignement montre que cela n'est pas inutile.

On considère un satellite à une certaine altitude. Il s'agit de savoir sur quelle partie de la Terre il sera visible. Cet excercice peut s'appliquer directement pour savoir d'où est visible une montagne.

L'exercice proposé dans la partie "intégrale de Rieman" est plus complet et calcule notamment la surface correspondante.

Auteur: Alain Vienne

Zone visible d'une montagne ou d'un satellite

Difficulté : ☆ Temps : 20 mn

Question 1)

Soit un satellite artificiel de hauteur , sur quelle partie de la Terre (supposée sphérique) est visible le satellite?

Question 2)

Le rayon de la Terre étant de R = 6380 km, à quelle distance maximale du point de la Terre survolé par le satellite peut-on voir le satellite d'altitude h=400 km?

Auteurs: Arnaud Beck, Stéphane Erard

Quand le Soleil est au zénith, impossible de le regarder à l'oeil nu sans être ébloui voire même se brûler la rétine. Pourtant, le soir tombé, on peut admirer le Soleil couchant sans la moindre gêne.

Cela s'explique simplement par la diffusion des rayons solaires par les molécules de l'atmosphère. En effet, quand les rayons du Soleil rencontrent une molécule, une partie d'entre eux est déviée ou absorbée. Et plus le nombre de particules qu'ils rencontrent est grand, plus la proportion de rayons déviés est grande et l'énergie lumineuse reçue par l'observateur sera réduite d'autant.

Dans cet exercice, on propose de quantifier le nombre de particules rencontrées par un rayon de Soleil en fonction de sa position dans le ciel par rapport à un observateur potentiel. Le parcours atmosphérique est également calculé dans le cas général.

Auteur: Arnaud Beck, Stéphane Erard

Pourquoi peut-on regarder le Soleil couchant ?

Difficulté : ☆ Temps : 1h

Le nombre de particules atmosphériques rencontrées par un rayon de Soleil le long de son parcours est appelé densité de colonne, et est égal à :

$N= \int_s n(s)ds$

où est la coordonnée le long du trajet du rayon et n(s) est la densité atmosphérique au point de coordonnée .

On peut approximer la densité atmosphérique à faible altitude (là où elle est la plus dense) par:

$n(z)=n_0\exp{\left(-\frac{z}{z_0}\right)}$

où est l'altitude (mesurée verticalement), n_0 est la densité au niveau du sol, et z_0 est l'échelle de hauteur caractéristique de l'atmosphère. Cette expression est une forme de la loi barométrique.

La figure ci-dessous représente la situation. Le centre de la Terre est au point C, l'observateur en O. Le point S représente le point de coordonnée sur le trajet du rayon de Soleil, et d'altitude . $\theta$ est la hauteur du Soleil sur l'horizon (vu par l'observateur) et R est le rayon de la Terre.

Arrivée d'un rayon de Soleil sur Terre

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Beck

Question 1)

Dans le cas du Soleil couchant ( $\theta=0$ ), donner l'expression de l'altitude en fonction de la coordonnée .

Question 2)

Donner l'expression de N_0 , la densité de colonne au Soleil couchant ( $\theta=0$ ). On remarque que la densité de particules décroît rapidement avec l'altitude et devient petite pour z > z_0 ; on peut donc tronquer l'intégrale à une altitude maximum telle que $s \ll R$ (l'atmosphère est fine par rapport à la taille de la planète).

Question 3)

Reprendre les questions 1) et 2) pour donner l'expression de $N_{\theta}$ , la densité de colonne pour une position $\theta$ quelconque du Soleil dans le ciel. En plus de l'hypothèse précédente, on évite cette fois les situations proches de l'horizon ; on a donc $\frac{s}{R}\ll \sin \theta$ .

Question 4)

Le Soleil est au zénith quand $\theta=\pi/2$ . Calculer le rapport $\frac{N_{Zenith}}{N_0}$ . Pour l'application numérique on prendra R=6400 km, z_0=8 km (échelle de hauteur de l'atmosphère terrestre).

Auteur: Stéphane Erard

Calcul de la masse d'air

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

Le rapport $\frac{s}{z}$ de l'exercice précédent est appelé masse d'air en Astronomie. C'est le chemin optique parcouru dans l'atmosphère par rapport à la position zénitale. Suffisamment loin de l'horizon, on a en bonne approximation $\frac{s}{z} = 1/\sin\theta = 1/\cos\; i$ , où i est l'angle zénital (compté à partir de la verticale). Cette valeur correspond à l'approximation plan-paralléle. On cherche toujours à observer les astres sous faible masse d'air (< 2) pour limiter l'extinction atmosphérique.

On veut maintenant calculer exactement la longueur du chemin optique parcouru par les rayons lumineux dans l'atmosphère pour étudier la validité de l'approximation précédente.

Question 1)

Reprendre la question 3 de l'exercice précédent : dériver une relation entre l'altitude et la coordonnée pour une hauteur $\theta$ quelconque.

On exprimera cette relation en fonction de l'angle zénital (compté à partir de la verticale locale).

Question 2)

Résoudre en .

Question 3)

Tracer en fonction de l'angle zénital et comparer avec l'approximation usuelle en sécante ( $1/\cos i$ ).

Question 4)

Quel est le domaine de validité de l'approximation en sécante ? Quels autres phénomènes affectent la diffusion dans ces conditions ? Conclusion ?

Auteur: Stéphane Erard

Depuis l'antiquité jusqu'au XVIIe siècle, plusieurs conceptions de la lumière se sont succédées. Il était notamment impossible de dire si la lumière se propage instantanément ou à vitesse finie. En 1676, Ole Römer met en évidence une vitesse de propagation finie, dont il estime un ordre de grandeur correct à partir de l'observation des satellites de Jupiter. Cette méthode est reproduite ici.

Auteur: Stéphane Erard

Mouvement des satellites de Jupiter

Difficulté : ☆ Temps : 60 min

En 1668, Gian Domenico Cassini a publié les premières éphémérides des satellites galiléens. L'intérêt de ces phénomènes était de fournir une horloge visible et consultable partout sur Terre : les débuts d'éclipse des satellites. Ceux-ci permettent de déterminer la longitude du lieu d'observation par comparaison avec une horloge locale.

Dans les années suivantes, Römer mit néanmoins en évidence des écarts importants avec ses propres observations de Io, le plus proche satellite de Jupiter, et le plus rapide. Ces écarts augmentaient (jusqu'à 11 minutes) puis diminuaient avec une périodicité d'un an.

Question 1)

On considère la situation de la Figure 1, lorsque Io est en émersion au point D (il sort de l'ombre de Jupiter). Durant un premier événement la Terre est au point L de son orbite, lors du suivant elle est en K.

Si la lumière se propage instantanément, quel intervalle sépare les deux événements ?

Crédit : Astrophysique sur Mesure

Question 2)

Même question en supposant que la lumière se déplace à la vitesse c. Remarques sur la Figure 1 ? Préciser les approximations implicites qu'on a fait.

Question 3)

Calculer en unités astronomiques la distance Terre-Jupiter à l'opposition (lorsque les deux planètes sont au plus près).

Question 4)

On effectue une première observation d'éclipse à l'opposition. A quel moment peut-on effectuer une seconde observation pour laquelle le décalage sera maximum ?

Question 5)

On observe 261 jours après l'opposition. De quels angles se sont déplacés Jupiter et la Terre sur leurs orbites depuis l'opposition ? Quel est l'angle Jupiter-Soleil-Terre à ce moment ?

Question 6)

Calculer la distance Terre-Jupiter $\Delta$ en unités astronomiques au moment de la deuxième observation.