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Objectifs

La statistique de Poisson concerne un phénomène régulier quantifié.

La détection d'un rayonnement électromagnétique en est un exemple concret, l'arrivée d'énergie étant quantifiée en photons.

Plus le nombre de photons attendus est grand, mieux on pourra préciser la valeur moyenne observée.

Un exemple concret... et discret

La statistique de Poisson va être abordée via un cas concret. L'analyse de l'arrivée de photons d'une signal lumineux de moyenne constante.

Un rayonnement monochromatique de fréquence $\nu$ de luminosité , observé pendant une durée , apporte une énergie . Ce rayonnement est véhiculé par un nombre moyen de photons obéissant à :

$N\ = \ {L\ T\over h\nu}$

La discrétisation du flux en quanta d'énergie implique que le nombre de photons arrivant par intervalle de temps fluctue autour de cette valeur moyenne.

Arrivée des photons

La probabilité de détecter photons lorsque sont attendus en moyenne s'écrit :

$p(n) \ = \ {N^n\ e^{-N}\over n!}$

C'est la loi de Poisson de moyenne . Il faut retenir que :

La probabilité maximale est obtenue pour .
L'écart-type de la distribution vaut $\sqrt{N}$ .

Démonstration

En découpant l'intervalle de temps en parties, suffisamment petites pour assurer qu'un seul photon peut arriver pendant l'intervalle de temps T/m , on peut estimer la probabilité de voir arriver photons, en les rangeant dans les cases.

La probabilité d'avoir un photon par case temporelle est q=N/m , et la probabilité opposée 1-q . Comme il y a C_m^n façons de ranger photons dans les cases, on obtient finalement en développant le coefficient de combinaison :

$p(n) \ = \ C_m^n\ q^n \ (1-q)^{m-n}\ =\ {m!\over n! (m-n)!}\ \left( {N\over m}\right)^n \ \left(1- {N\over m} \right)^{m-n}$

Avec un très grand nombre d'intervalles, on retrouve la loi énoncée :

$p(n) \ \simeq \ {N^n\over n!} {m!\over (m-n)!\ m^n} \ \left(1- {N\over m} \right)^{m-n} \ \simeq \ {N^n\over n!} \ e^{-N}$

vu les approximations pour grand et $n \ll m$ :

${m!\over (m-n)!\ m^n} \ \simeq \ 1 \ \hbox{ ; } \ \left(1- {N\over m} \right)^{-n}\ \simeq \ 1 \ \mathrm{\ ;\ et\ } \ \left(1- {N\over m} \right)^{m}\ \simeq \ e^{-N}$

Extrapolation aux grandes valeurs

Pour les grandes valeurs de , on peut montrer que cette loi se confond très rapidement avec la gaussienne :

$p(n) \ \propto \ \exp \left[ - {(n-N)^2 \over 2 N}\right]$

On en conclut alors, en se basant sur la statistique gaussienne, que pour une valeur moyenne , l'écart-type vaut $\sqrt{N}$ .

Il en résulte un point important : lorsque croît, l'écart-type croît, mais le rapport écart-type/moyenne du signal décroît.