Un corps non ponctuel dans un champ gravitationnel va ressentir le gradient de ce champ. Proche de l'objet massif créant ce champ, ce gradient devient suffisamment grand pour écarteler tout objet étendu qui s'y aventure.
Cet effet, dit effet de marée, rend compte des anneaux planétaires, de la rupture d'objets cométaires...
Io, satellite de Jupiter, possède pratiquement les mêmes masse, diamètre et rayon orbital que la Lune. Sa surface est couverte de volcans (actifs et inactifs) et de lacs de lave. L'activité volcanique est telle que les dépôts volcaniques s'accumulent au rythme d'environ 1 mm d'épaisseur par année sur toute la surface d'Io. De tous les objets du système solaire, Io est celui dont la surface se renouvelle le plus rapidement.
Les volcans d'Io expulsent du gaz à plus de 1 km/s, 20 fois plus vite que ne le fait un volcan terrestre. Ce volcanisme d'Io puise sa source dans l'effet de marée. A cause de la proximité de Io et de la masse de la planète, Jupiter étant 318 fois plus massif que la Terre, les renflements de marée que subit le satellite ont une amplitude de plusieurs kilomètres.
Si, comme la Lune, Io a ses périodes de rotation et de révolution synchronisées, son mouvement est de plus fortement perturbé par 2 autres lunes de Jupiter, Europe et Ganymède, avec lesquels son orbite est résonante.
Sous l'effet de l'attraction des autres satellites, Io est tantôt en avance, tantôt en retard par rapport à sa révolution moyenne, ce qui a pour effet de déplacer le bourrelet de marée, et conduit à une forte dissipation d'énergie : la variabilité et le déplacement des renflements de marée dégradent par friction suffisamment d'énergie pour faire fondre partiellement l'intérieur du satellite et engendrer ainsi une activité volcanique.
La Terre étant 81 fois plus massive que la Lune, l'effet de marée de la Terre sur la Lune est important : cette marée a synchronisé la rotation propre de la lune et sa révolution autour de la Terre. C'est pour cette raison que nous voyons toujours la même face de la Lune.
Sous l'action du champ de marée terrestre, la Lune a été déformée et le bourrelet de déformation est en moyenne aligné dans l'axe Terre-Lune.
Si la Lune ne tournait pas autour de la Terre de façon à présenter toujours la même face, ce bourrelet se déplacerait et créerait des frottements. La période de rotation propre de la Lune a diminué, et s'est ajustée à celle de révolution autour de la Terre, de telle façon que la Lune présente toujours la même face à la Terre. Ces frottements sont nuls lorsque le bourrelet ne se déplace plus.
Ce qui est vrai pour la Lune est aussi vrai pour la Terre : les effets de la marée lunaire continuent de freiner la rotation de la Terre. La journée s'allonge de 2 microsecondes par an.
A l'instar de la Lune, tous les gros satellites du système solaire présentent une rotation synchrone avec celle de leur planète.
Animation montrant la rotation synchrone. La lune présente ainsi toujours la même face à la Terre
Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min
La sphère d'influence d'une planète de masse orbitant sur une orbite circulaire de rayon autour de son étoile de masse peut-être définie comme la zone à l'intérieur de laquelle un satellite reste piégé autour de la planète (à l'extérieur de cette sphère, le satellite est capturé en orbite autour de l'étoile). Pour déterminer le rayon de cette sphère, on cherche dans le référentiel tournant avec la planète la position d'équilibre entre les 2 corps et . On note cette position (1er point de Lagrange).
La distance de à la planète étant notée , déterminer les distances de à l'étoile et de au barycentre du système (planète-étoile) en fonction de et . On note cette dernière distance.
[2 points]
Montrer, en identifiant les différents termes, que la relation suivante définit l'état d'équilibre du satellite dans le référentiel barycentrique :
[3 points]
Développer cette relation en ne retenant que les termes d'ordre 0 ou 1 ( et ). En déduire que :
[3 points]
Application numérique :
Calculer pour la Terre () et comparer à la distance Terre-Lune (380 000 km). Calculer pour le Soleil qui orbite autour du centre galactique ( années de lumière, masse ), et comparer à la distance moyenne entre deux étoiles (distance Soleil-Proxima du Centaure = 4.2 AL), ainsi qu'à la distance du nuage de Oort (de l'ordre de ).
[2 points]
Toutes les planètes géantes ont à la fois des anneaux et des satellites. Les anneaux orbitent à proximité de la planète, accompagnés de tout petits satellites. Loin de la planète, il n'y a que des satellites (et des anneaux de poussière instables). La limite de Roche sépare ces 2 régions.
Le champ de marée brise les satellites qui s'aventurent à l'intérieur de cette limite. Elles empêchent aussi les anneaux de s'accréter en satellites.
En Juillet 1994, les fragments de la comète Shoemaker-Levy 9 ont percuté Jupiter. Lors du précédent périjove, la comète SL9 s'était fragmentée sous l'effet du champ de marée.
La limite de Roche marque la distance minimale à la planète d'existence de gros satellites. Au delà, un satellite peut subsister ; en deçà, il est fragmenté en anneaux. Un exercice permet le calcul de cette limite dans une modélisation simple, illustrée par les schémas suivants :
Difficulté : ☆☆☆ Temps : 45 min
La limite de Roche d'une planète est la distance à partir de laquelle la force de marée sur un satellite est plus importante que les forces de cohésion du satellite. La force du raisonnement de Roche, que nous allons reprendre ici, repose sur l'hypothèse simplificatrice suivante : bien que le satellite naturel soit généralement de forme patatoïdale, on l'imagine constitué de deux sphères ( et ) de rayons , maintenues ensemble par interaction gravitationnelle. On notera cette force de cohésion .
Nous supposons donc qu'un satellite de masse peut être assimilé à deux sphères de masse et de rayon . Ce satellite orbite autour d'une planète de masse (), et de rayon . La distance entre les centres de masse de la planète et du satellite est notée , avec .
Objet | Masse (kg) | Rayon (m) | Masse volumique () |
Soleil | 1400 | ||
la Terre | 5450 | ||
Lune | 3500 | ||
Saturne | 630 | ||
Comète | 200 | ||
Satellites de Saturne | Distance (km) | Rayon (km) | Masse (kg) |
Mimas | 186 000 | 196 | |
Encelade | 238 000 | 260 | |
Téthys | 295 000 | 530 | |
Dioné | 377 000 | 560 | |
Les anneaux de Saturne | Rayon Interne (km) | Rayon Externe (km) | Largeur (km) |
Anneau D | 60 000 | 72 600 | 12600 |
Division Guerin | 72 600 | 73 800 | 1200 |
Anneau C | 73 800 | 91 800 | 18000 |
Division Maxwell | 91 800 | 92 300 | 500 |
Anneau B | 92 300 | 115 800 | 23500 |
Division Cassini | 115 800 | 120 600 | 4800 |
Montrer que la 3ème loi de Kepler appliquée au satellite peut s'écrire :
avec la pulsation du mouvement.
[2 points]
Énoncer les forces d'interaction gravitationnelle et exercées par l'astre massif sur et .
[1 points]
L'étude du mouvement dans le référentiel tournant introduit une accélération d'entraînement. La déterminer, et exprimer le terme d'inertie qui va s'ajouter dans l'écriture de l'équilibre des forces exprimé dans le référentiel tournant. Pour simplifier les calculs, on confond le barycentre du système planète-satellite avec le barycentre de la planète.
[2 points]
On note et les contributions totales (gravitationnelle et inertielle) sur et . Comment appelle-t-on la force , définie comme étant la différence de et ? La calculer.
[2 points]
Calculer la force de cohésion entre et . Estimer d'abord son origine.
[1 points]
Déterminer la limite de Roche , distance à laquelle les termes de cohésion et marée s'équilibrent. L'exprimer en fonction de et de , les masses volumiques respectives de la planète et du satellite.
[2 points]
Calculer la limite de Roche pour le cas du système Terre-Lune. Comparer la limite de Roche de la Terre à la distance Terre-Lune.
[1 points]
Même question pour Saturne et son satellite Mimas, on suppose que le satellite en formation dans ses anneaux a une masse volumique identique à celle de Saturne. Calculer la limite de Roche dans ce cas. La comparer aux rayons des anneaux et aux rayons des satellites de Saturne.
[2 points]
Même question pour Soleil visité par une comète à son périhélie. Comparer au périhélie de la comète de Halley (on supposera que l'expression de l'accélération d'entraînement trouvée dans le cas d'une orbite circulaire garde ici un ordre de grandeur convenable, même si elle ne peut plus s'appliquer a priori).
[1 points]
pages_effet-de-maree/force-maree-sevaluer.html
Positionner le barycentre.
Identifier les champs gravitationnels et le terme lié au référentiel tournant. Faire un schéma.
Ecrire le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel barycentrique.
Faire apparaitre dans le terme d'interaction gravitationnelle et négliger devant dans le terme de rotation.
Rappel : 1 AL 63 000 UA.
pages_effet-de-maree/limite-roche-sexercer.html
Énoncer la 3ème loi de Kepler pour le satellite.
La pulsation du mouvement est , avec la période orbitale.
La 3ème loi de Kepler appliquée au satellite, en orbite de demi-grand axe et période , s'écrit :
Comme , on peut supposer que le barycentre du système (planète-satellite) est confondu avec le centre de la planète.
Déterminer les distances respectives de et à la planète.
Force gravitationnelle agissant sur :
Pour un point du satellite à la distance de la planète, l'accélération d'entraînement est
Le terme d'inertie, fonction de la distance à la planète, confondu au centre de masse du système, s'écrit, avec la pulsation de rotation.
D'où, pour chacune des parties du satellite :
Exprimer et en fonction des termes précédemment établis.
D'après ce qui précède, le bilan dans le référentiel tournant s'écrit:
On peut en déduire :
Dans la cadre du modèle, cette force différentielle rend compte de l'effet de marée entre les 2 composantes du satellite.
La force de cohésion provient de l'attraction gravitationnelle entre et .
Force de cohésion produite par l'interaction gravitationnelle entre et , de masse identique et séparés par la distance :
La limite de Roche correspond à l'équilibre entre les forces de cohésion et celle de rupture, due à l'effet de marée.
Le satellite est à la limite de Roche quand on a l'égalité , pour une distance qui provient de :
Comme
Alors
La valeur observée de la limite de Roche est . Elle croît avec le rayon et la masse volumique de la planète.
La limite de Roche pour la Terre, sur un satellite de densité lunaire, vaut (avec le facteur 2.9) . La distance Terre-Lune se montant à 380 000 km, la Lune se situe bien au-delà de la limite de Roche de la Terre.
Limite de Roche pour Saturne et ses satellites :
Limite de Roche pour Saturne et un satellite en formation dans ses anneaux :
Les satellites sont bien en dehors de la limite de Roche, et les anneaux à l'intérieur.
La limite de Roche pour le Soleil vaut
soit de l'ordre de 5.6 fois le rayon du Soleil, et environ 20 fois moins que le périgée de la comète de Halley, qui ne risque pas d'être détruite par effet de marée. Mais il n'est pas rare que des comètes s'approchant du Soleil soient fractionnées.