S'exercer

Limite de Roche

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 45 min

La limite de Roche d'une planète est la distance à partir de laquelle la force de marée sur un satellite est plus importante que les forces de cohésion du satellite. La force du raisonnement de Roche, que nous allons reprendre ici, repose sur l'hypothèse simplificatrice suivante : bien que le satellite naturel soit généralement de forme patatoïdale, on l'imagine constitué de deux sphères ( $S _{\mathrm{1}}$ et $S _{\mathrm{2}}$ ) de rayons , maintenues ensemble par interaction gravitationnelle. On notera cette force de cohésion $F _{\mathrm{coh}}(r)$ .

Astéroïde Gaspra

Crédit : NASA

Nous supposons donc qu'un satellite de masse peut être assimilé à deux sphères de masse et de rayon . Ce satellite orbite autour d'une planète de masse ( $m \ll M$ ), et de rayon . La distance entre les centres de masse de la planète et du satellite est notée , avec $D \gg r$ .

Quelques données utiles
Objet	Masse (kg)	Rayon (m)	Masse volumique ( $\mathrm{kg.m}^{-3}$ )
Soleil	$2.0\ 10^{30}$	$7.0\ 10^8$	1400
la Terre	$6.0\ 10^{24}$	$6.4\ 10^6$	5450
Lune	$7.2\ 10^{22}$	$1.7\ 10^6$	3500
Saturne	$5.7\ 10^{26}$	$6.0\ 10^7$	630
Comète			200
Satellites de Saturne	Distance (km)	Rayon (km)	Masse (kg)
Mimas	186 000	196	$3.80\ 10^{19}$
Encelade	238 000	260	$8.40\ 10^{19}$
Téthys	295 000	530	$7.55\ 10^{20}$
Dioné	377 000	560	$1.05\ 10^{21}$
Les anneaux de Saturne	Rayon Interne (km)	Rayon Externe (km)	Largeur (km)
Anneau D	60 000	72 600	12600
Division Guerin	72 600	73 800	1200
Anneau C	73 800	91 800	18000
Division Maxwell	91 800	92 300	500
Anneau B	92 300	115 800	23500
Division Cassini	115 800	120 600	4800

Question 1)

Montrer que la 3ème loi de Kepler appliquée au satellite peut s'écrire :

$\omega\ = \left({{\cal G}M\over D^{3}}\right)^{1/2}$

avec $\omega = 2\pi /T$ la pulsation du mouvement.

Aide Aide Solution [2 points]

Question 2)

Énoncer les forces d'interaction gravitationnelle $F _{\mathrm{G1}}$ et $F _{\mathrm{G2}}$ exercées par l'astre massif sur $S _{\mathrm{1}}$ et $S _{\mathrm{2}}$ .

Aide Solution [1 points]

Question 3)

L'étude du mouvement dans le référentiel tournant introduit une accélération d'entraînement. La déterminer, et exprimer le terme d'inertie qui va s'ajouter dans l'écriture de l'équilibre des forces exprimé dans le référentiel tournant. Pour simplifier les calculs, on confond le barycentre du système planète-satellite avec le barycentre de la planète.

Aide Solution [2 points]

Question 4)

On note $F _{\mathrm{1}}$ et $F _{\mathrm{2}}$ les contributions totales (gravitationnelle et inertielle) sur $S _{\mathrm{1}}$ et $S _{\mathrm{2}}$ . Comment appelle-t-on la force $\delta F$ , définie comme étant la différence de $F _{\mathrm{1}}$ et $F _{\mathrm{2}}$ ? La calculer.

Aide Solution [2 points]

Question 5)

Calculer la force de cohésion $F _{\mathrm{coh}}(r)$ entre S_1 et S_2 . Estimer d'abord son origine.

Aide Solution [1 points]

Question 6)

Déterminer la limite de Roche $d _{\mathrm{R}}$ , distance à laquelle les termes de cohésion et marée s'équilibrent. L'exprimer en fonction de $\rho _{\mathrm{M}}$ et de $\rho _{\mathrm{m}}$ , les masses volumiques respectives de la planète et du satellite.

Aide Solution [2 points]

Question 7)

Calculer la limite de Roche pour le cas du système Terre-Lune. Comparer la limite de Roche de la Terre à la distance Terre-Lune.

Solution [1 points]

Question 8)

Même question pour Saturne et son satellite Mimas, on suppose que le satellite en formation dans ses anneaux a une masse volumique identique à celle de Saturne. Calculer la limite de Roche dans ce cas. La comparer aux rayons des anneaux et aux rayons des satellites de Saturne.

Solution [2 points]

Question 9)

Même question pour Soleil visité par une comète à son périhélie. Comparer au périhélie de la comète de Halley $(q = 8.8\ 10^7 \ \mathrm{km})$ (on supposera que l'expression de l'accélération d'entraînement trouvée dans le cas d'une orbite circulaire garde ici un ordre de grandeur convenable, même si elle ne peut plus s'appliquer a priori).

Solution [1 points]