Détection des planètes extrasolaires par la méthode des vitesses radiales : Page pour l'impression

Méthode des vitesses radiales

Considérons un système binaire constitué d'une étoile et d'une planète. Chacun des objets décrit une orbite elliptique dont le foyer est le centre de masse du système.

Effet Doppler dû à l'oscillation de l'étoile

Dans son mouvement, l'étoile tantôt se rapproche, tantôt s'éloigne de l'observateur. Une raie spectrale est alternativement décalée vers le bleu ou vers le rouge, selon la vitesse relative entre l'étoile et l'observateur (direction indiquée par une flèche violette).

Crédit : ASM

Les raies spectrales stellaires qui nous parviennent (à travers un spectromètre) sont en conséquence tantôt décalées vers le bleu (longueur d'onde plus courte), tantôt vers le rouge (longueur d'onde plus grande), par effet Doppler.

L'orbite de la planète et l'axe de visée

L'angle

est défini entre la normale au plan de la trajectoire (vu par la tranche, trace rouge) et l'axe de visée.

Crédit : ASM

Cas particulier où l'angle

est nul. Pas de mouvement détectable.

Crédit : ASM

Cas particulier où l'angle

vaut $\pi / 2$ .

Crédit : ASM

Courbe de vitesse radiale de 51 Peg A

Mesure de vitesse radiale de l'étoile 51Peg.

Crédit : Butler & Marcy

Observables

Pour toute la suite :

On se limite au cas des orbites circulaires, de rayon .
On note la masse de la planète, et celle de l'étoile.

On suppose que, d'après les modèles stellaires, la mesure du spectre de l'étoile permet d'estimer sa masse . Mais une variable reste inconnue : l'inclinaison sous laquelle on voit le système orbital. Les principales caractéristiques de l'orbite de la planète peuvent être déduites de la mesure de décalage Doppler.

L'analyse du spectre de l'étoile modulé par effet Doppler fournit le graphe de la vitesse radiale de l'étoile en fonction du temps, $v _{\mathrm{rad}}(t)$ . Ce type d'observation spectrométrique fournit deux observables :

La composante de vitesse de l'étoile $V _{\mathrm{\parallel}}$ , parallèle à l'axe de visée (car l'effet Doppler est sensible à la seule composante $V _{\mathrm{\parallel}}$ ).
La période de rotation du système.

Ces observables sont des caractéristiques liées à l'orbite du système. On ne sait toujours rien sur la planète elle-même. La $3^{eme}$ loi de Kepler appliquée au couple planète-étoile relie le rayon de l'orbite à la période de rotation :

$a^{3} = {{\cal G}M\over 4\pi^{2}}T^{2}$

En utilisant la loi de conservation de la quantité de mouvement (le système est isolé), on peut accéder à la masse de la planète :

$m\sin i = V _{\mathrm{\parallel}}\left({TM^{2}\over 2\pi{\cal G}}\right)^{1/3}$

où $m\sin i$ est la masse de la planète $m _{\mathrm{pla}}$ affectée du facteur géométrique $\sin i$ , inconnu. Le calcul complet est proposé en exercice.

Inclinaison

Statistiquement, la probabilité d'avoir une inclinaison dépend de l'ouverture du cône de demi-angle au sommet : elle vaut $\sin i$ . La probabilité de voir un système de face (i=0) est bien moindre que celle de le voir par la tranche (i=π/2). En effet, il y a une seule direction qui pointe de l'étoile vers la Terre, donc confondue avec l'axe de visée, mais une infinité qui lui sont perpendiculaires.

En moyenne, le paramètre $\sin i$ vaut $\pi/4$ ; ce calcul est proposé en exercice.

Vitesse radiale

Animation des mouvements orbitaux planétaires et stellaires, et signature spectrale due à la vitesse radiale de l'étoile.

Effet Doppler dû au mouvement de l'étoile

Dans son mouvement (séquence animée), l'étoile en rotation autour du barycentre (croix rouge, fixe) tantôt se rapproche, tantôt s'éloigne (courbe verte) de l'observateur (direction indiquée par la flèche bleu foncé), avec une vitesse donnée par la courbe du milieu (couleur modifiée selon une convention de type effet Doppler . Une raie spectrale (courbe du bas) est alternativement décalée vers le bleu ou vers le rouge, selon la vitesse relative entre l'étoile et l'observateur.

Crédit : ASM

L'angle

est défini entre la normale au plan de la trajectoire (vu par la tranche, trace rouge) et l'axe de visée.

Crédit : ASM

QCM

1) Un système présente l'orientation suivante. Dans quel cas le signal Doppler sera-t-il maximal ?
i=0

$i=\pi /2$
$i=\pi$

2) On détecte par la méthode des vitesses radiales un signal Doppler fixé. Dans quel cas la masse de la planète perturbatrice est la plus grande ?
$i=\pi /6$
$i=\pi /4$
$i=\pi /2$

Le paramètre m sin i

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

On s'intéresse à la distribution du facteur multiplicatif $\sin i$ qui intervient dans la détermination de la masse $m \sin i$ .

Question 1)

Rappeler la définition de l'angle $\i$ .

Question 2)

Statistiquement, trouve-t-on plus de systèmes avec i=0 ou bien $i = \pi/2$ ?

Question 3)

Montrer, en faisant un schéma, que la probabilité de voir un système sous une inclinaison est proportionnelle à $\sin i$ .

Question 4)

Calculer la valeur moyenne de $\sin i$ .

La vélocimétrie Doppler

Difficulté : ☆☆ Temps : 45 min

Cette technique permet la détection de planètes, via la perturbation en vitesse (vitesse réflexe) qu'elles induisent sur leur étoile.

On observe un système constitué d'une planète de masse , en orbite circulaire autour d'une étoile de masse . La composante de vitesse de l'étoile $V _{\mathrm{\parallel}}$ , parallèle à l'axe de visée, ainsi que la période de rotation du système découlent de l'observation. La masse de l'étoile est supposée connue.

Schéma du système

On note respectivement

,

et

les positions du barycentre du système, du centre de masse de la planète et du centre de masse de l'étoile.

Crédit : ASM

Question 1)

Définir la position du barycentre du système étoile-planète.

Montrer que, dans le référentiel barycentrique, les vitesses de l'étoile et de la planète satisfont à la relation :

$M{\mathbf V} + m{\mathbf v} = {\mathbf 0}$

Question 2)

Donner la relation liant $V _{\mathrm{\parallel}}$ au module de la vitesse de l'étoile et à l'angle entre l'axe de visée et la normale au plan de rotation du système. Faire un schéma.

Question 3)

Exprimer la 3ème loi de Kepler en fonction des variables et , puis montrer que la masse de la planète s'exprime en fonction des observables et $V _{\mathrm{\parallel}}$ par :