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Objectifs

Retrouver rapidement les différentes trajectoires possibles dans un potentiel gravitationnel, en analysant le mouvement radial d'une particule test.

L'écriture explicite de la trajectoire est établie en exercice.

Lois de conservation

Dans un potentiel gravitationnel de masse , un objet de masse garde une énergie mécanique $E _{\mathrm{m\acute ec}}$ constante, somme des énergies cinétique et potentielle, égale à :

${1\over 2} mv^2 - { {\mathcal{G}} M m\over r} \ = \ E _{\mathrm{m\acute ec}}$

En coordonnées polaires, le carré de la vitesse s'écrit : $v^2 = \dot r^2 + r^2\dot\theta^2$ .

Par ailleurs, la conservation du moment cinétique s'énonce :

$mr^2 \dot\theta \ = \ \sigma_0$

Et la vitesse angulaire $\dot\theta$ s'exprime donc en fonction de l'invariant $\sigma_0$ et de la variable radiale par :

$\dot\theta \ = \ {\sigma_0 \over mr^2 }$

Le potentiel effectif

En éliminant la variable angulaire de l'équation de conservation de l'énergie, on aboutit à une équation reliant l'énergie cinétique radiale $1/2 \ m\dot r^2$ à un potentiel uniquement radial :

${1\over 2} m\dot r^2 + \left[{ -{ {\mathcal{G}} M m\over r} + {\sigma_0^2\over 2m r^2} }\right] \ = \ E _{\mathrm{m\acute ec}}$

On décide alors d'étudier le mouvement radial du système muni de l'énergie potentielle effective :

$E _{\mathrm{eff}} (r)\ = \ {\sigma_0^2\over 2m r^2}- { {\mathcal{G}} Mm \over r}$

On identifie la somme de 2 contributions :

terme gravitationnel en
terme rotationnel en

Le mouvement radial s'étudie alors à l'aide de la courbe de potentiel effectif. Les différentes excursions radiales dépendent de l'énergie $E _{\mathrm{m\acute ec}}$ du système.