Le champ de marée : approche statique : Page pour l'impression

La marée haute suit la position apparente de la Lune ; marée haute et basse s'alternent rapidement, essentiellement à cause du mouvement de rotation propre de la Terre. Les coefficients de marée sont plus forts dans les conditions d'alignement du Soleil et du couple Terre-Lune, donc aux nouvelle et pleine lunes (modèle statique). Dans un modèle dynamique (plus réaliste), il y a un décalage entre la position de la lune et la marée.

Crédit : ASM

Bourrelets (é)mouvants

Les animations, dans le cadre d'une théorie statique de la marée et du modèle de l'océan global, montrent comment les bourrelets de la marée suivent la course de la Lune autour de la Terre.

Horaires de la Lune et des marées

La courbe jaune représente le passage de la Lune au méridien, et les 2 courbes rouges les levers et couchers de la Lune. Les + et les - signalent respectivement les horaires des marées hautes et basses. Le modèle statique prévoit la concordance entre marée haute et passage de la Lune au méridien (modulo 12h25), et marée basse et lever ou coucher de la Lune. Ce n'est visiblement pas le cas : les phénomènes dynamiques gouvernent la ... dynamique des marées.

Crédit : SHOM et ASM

L'approche statique en défaut

L'approche statique suppose que les masses océaniques réagissent instantanément au champ de marée, ce qui n'est pas vrai, comme cela apparaît sur les prévisions. Les conditions géographiques locales entraînent un horaire des marées également local.

Apprendre

Définitions des distances

Crédit : ASM

Les forces de marée sont des forces différentielles

La Terre n'est pas un point, mais a une dimension finie. Or l'intensité du champ gravitationnel de la Lune varie comme l'inverse du carré de la distance à la Lune. Il en résulte une attraction différentielle qui déforme la Terre. On peut estimer la valeur du champ de marée $\delta \mathbf{G} _{\mathrm{m}}$ dans le cadre du modèle de l'océan global. On démontre que le module de $\delta \mathbf{G} _{\mathrm{m}}$ est de l'ordre de ${2{\cal G}mR/D^{3}}$

Démonstration

Calcul du champ de marée. On estime la marée créée par la Lune en un point courant du globe terrestre, que l'on repère par rapport au centre de la Terre. On note {D} la distance , et le rayon terrestre. La composante du champ de marée $\delta \mathbf{G} _{\mathrm{m}}$ en représente la différence du champ lunaire entre les points et . Les calculs sont menés au 1er ordre par rapport au petit terme R/D (car $R/D \simeq 6400/380\ 000 \simeq 1.7\ \%$ ) :

$\begin{eqnarray*} \delta \mathbf{G} _{\mathrm{m}} &=& {{\cal G} m} { {\mathbf{PL}} \over PL^{3}} - {{\cal G} m} { {\mathbf{OL}} \over OL^{3}} \\ &=& {{\cal G} m} \left[{ {\mathbf{PO}}+ {\mathbf{OL}} \over PL^{3}} - { {\mathbf{OL}} \over OL^{3}} \right]\\ &\simeq& {{\cal G} m} \left[ { {\mathbf{PO}} \over {D}^{3}} + { {\mathbf{OL}} \over PL^{3}} - { {\mathbf{OL}} \over {D}^{3}} \right]\\ \end{eqnarray*}$

On estime alors le terme ${\mathbf{OL}} / PL^{3}$ de l'équation précédente, en injectant la relation de Chasles ${\mathbf{PL}} = {\mathbf{PO}} + {\mathbf{OL}}$ , et toujours au premier ordre en PO / OL = PO / {D} :

$\begin{eqnarray*} { {\mathbf{OL}} \over PL^{3}}&=& { {\mathbf{OL}} \over [{ {\mathbf{PL}}^{2}}]^{3/2}}= { {\mathbf{OL}} \over [( {\mathbf{PO}}+ {\mathbf{OL}})^{2}]^{3/2}}\\ \\ &\simeq& { {\mathbf{OL}} \over {D}^{3} \left( 1 + 2\ {\mathbf{PO}} . {\mathbf{OL}} / {D}^{2} \right)^{3/2}}\\ &\simeq& { {\mathbf{OL}} \over {D}^{3}} \left(1 - 3\ {\mathbf{PO}} . {\mathbf{OL}} / {D}^{2} \right)\\ \end{eqnarray*}$

On trouve alors pour le champ de marée $\delta \mathbf{G} _{\mathrm{m}}$ , en introduisant les vecteurs unitaires $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ tels que ${\mathbf{OL}} = D\ \mathbf{u}$ et ${\mathbf{PO}} = -R (\cos\theta\ \mathbf{u} + \sin\theta\ \mathbf{v})$ :

$\begin{eqnarray*} \delta \mathbf{G} _{\mathrm{m}} &=& {{\cal G} m} \left[ { {\mathbf{PO}} \over {D}^{3}} - {3\ {\mathbf{PO}} . {\mathbf{OL}} \over {D}^{2}}\ { {\mathbf{OL}} \over {D}^{3}} \right]\\ &=& {{\cal G} m\over {D}^{3}} \left[-R\ (\cos\theta\ \mathbf{u} + \sin\theta\ \mathbf{v}) + 3 R\ \cos\theta\ \mathbf{u} \right]\\ &=& {{\cal G} m R\over {D}^{3}} \left[2 \cos \theta\ \mathbf{u} - \sin \theta\ \mathbf{v} \right]\\ \end{eqnarray*}$

Le champ de marée

Champ de marée (modèle statique).

Crédit : ASM

On peut comparer les modules des champs de marée et gravitationnel :

$\left\vert { \delta \mathbf{G} _{\mathrm{m}}\over G}\right\vert \simeq {{\cal G}mR/D^3\over {\cal G}m/D^2} \simeq R/D$

Il ressort de cette analyse que l'effet de marée :

S'exercer

Marée dans une flaque d'eau

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

Question 1)

On exprime l'ordre de grandeur du module du champ de marée $\delta G _{\mathrm{m}}$ de la Lune sur la Terre de la façon suivante :

$\delta G _{\mathrm{m}} \simeq {2GmR\over D^{3}}$

avec le rayon de la Terre, , la distance Terre-Lune ( $R \ll D$ ), et la masse de la Lune.

Dans le modèle de l'océan global, caractérisé par une distance $r _{\mathrm{car}}=R=6400\ \hbox{km}$ mesurant l'étendue d'eau, la hauteur de la marée est de l'ordre de 1 m.

En supposant que est, comme le champ de marée, une fonction linéaire de $r _{\mathrm{car}}$ , estimer la hauteur de marée dans les cas suivants :

une mer s'étendant sur 640 km,
un lac s'étendant sur 64 km,
une flaque d'eau de 64 cm.

En déduire pourquoi il n'y a pas de marée dans une flaque d'eau, ni même dans un grand lac.

[2 points]

Question 2)

On souhaite retrouver l'expression du champ de marée $\delta G _{\mathrm{m}}$ de la Lune sur la Terre.

Pour cela, exprimer la valeur du champ gravitationnel de la Lune en deux points distincts et $P^{'}$ de la Terre, tels que , $P^{'}$ et soient alignés, le point repérant le centre de la Lune. Soit la distance $PP^{'}$ , et $r \ll D$ .
Choisir et $P^{'}$ de façon à bien caractériser le problème.
Calculer $\delta G _{\mathrm{m}} = G(P)-G(P^{'})$ , en effectuant un développement limité au 1er ordre en .