Comme toute équation de la physique, les équations régissant la dynamique atmosphérique doivent s'exprimer dans un système de coordonnées et un référentiel choisis arbitrairement. Un tel système naturellement adapté à une sphère, et donc à une planète, sont les coordonnées sphériques , où est la distance au centre de la sphère, est la l'angle de la longitude, et est l'angle de la latitude.
On définit également un repère local pour tout point de l'espace de coordonnées , avec comme base le triplet où est dirigé vers l'Est, dirigé vers le Nord, et selon la verticale locale vers le haut. Le référentiel d'étude est ce référentiel local, lié à la rotation de la planète, il s'agit donc d'un référentiel tournant, donc non galiléen.
Pour résumer, on travaille dans deux référentiels différents, ce qui donne trois systèmes de coordonnées différents :
L'exercice suivant permet de se familiariser avec la manipulation mathématique des coordonnées et des repères. Les resultats serviront à établir l'équation fondamentale de la dynamique.
Montrer que dans le référentiel de la planète, un point de coordonnées sphériques a pour coordonnées cartésiennes
Exprimer , et dans le repère de la planète en fonction des angles et
Montrer qu'une vitesse dans le référentiel local au point de coordonnées sphériques s'exprime par .
Exprimer , et en fonction de , et .
Pour résoudre les équations régissant une atmosphère, on se place dans le référentiel local, lui-même dans un référentiel tournant avec la planète. Ce référentiel n'est pas inertiel, c'est-à-dire qu'il est en accélération par rapport à un référentiel inertiel. Afin de poser le principe fondamental de la dynamique, il est essentiel de tenir de compte de l'accélération apparente du référentiel d'étude, sous la forme de pseudo-forces.
Traditionnellement et pour des raisons pratiques on parle de force, ou pseudo-force, en multipliant l'accélération apparente par la masse de l'objet. On parlera ici plutôt de l'accélération d'une force apparente afin de s'affranchir du terme de masse, qui disparaitra dans les équations finales.
Les deux forces apparentes à considérer dans le cas d'une atmosphère sont la force centrifuge et la force de Coriolis.
L'expression mathématique des forces apparentes requiert l'emploi du produit vectoriel, défini ainsi:
Le produit vectoriel des vecteurs et s'écrit et correspond au vecteur orthogonal à la fois à et tel que le triplet soit de sens direct. et que le module du produit soit où est l'angle direct de vers . Ainsi, si et sont colinéaires, leur produit vectoriel sera le vecteur nul.
Le produit vectoriel s'écrit avec des coordonnées dans un système cartésien uniquement :
Cette relation n'est pas valable en coordonnées sphériques. Il faut faire la transformartion en coordonnées cartésiennes pour pouvoir utiliser cette relation.
La force centrifuge est la force apparente due au fait que le référentiel d'étude est en rotation, donc en accélération. En effet, l'orientation de la vitesse d'un point lié à la planète varie, mais pas son module. Ainsi, une particule au repos dans un référentiel galiléen aura une force apparente dans le référentiel de la planète.
On définit le vecteur rotation comme étant le vecteur orienté selon l'axe de rotation de la planète et de module avec la période de rotation de la planète. L'accélération de la force centrifuge s'exprime avec le vecteur position depuis l'axe de rotation où la force s'applique. Dans un système de coordonnées sphériques, on a , avec le vecteur position depuis le centre de la planète.
Une autre manière de l'exprimer est de dire qu'il s'agit d'une accélération perpendiculaire à l'axe de rotation, orientée vers l'extérieur et de valeur
La force centrifuge est regroupée avec la force de gravité, dont l'accélération vaut , l'indice faisant référence à la masse de la planète. On obtient une force dont l'accélération totale est . Cette force dérive d'un potentiel, qu'on appelle le géopotentiel, somme de l'action de la gravité et de la force centrifuge.
Démontrer par l'analyse ou par un schéma en 3D que correspond bien à une accélération perpendiculaire à l'axe de rotation, orientée vers l'extérieur et de valeur . Comment s'exprime cette accélération dans le référentiel local ?
Par la suite on fait l'approximation que l'accélération due au géopotentiel est orientée selon l'axe . Quelle erreur est faite pour la Terre ? pour Jupiter ?
Dans un référentiel en rotation, une autre force apparente est à prendre en compte lors d'un déplacement. Il s'agit de la force de Coriolis, qui tient compte du fait que le déplacement d'une particule génère une accélération apparente supplémentaire. Par exemple, le mouvement rectiligne d'une particule est apparement dévié pour un observateur situé dans un référentiel tournant.
L'accélération de la force de Coriolis s'exprime avec le vecteur vitesse de la parcelle d'air considérée.
La vitesse d'une parcelle d'air dans l'atmosphère est généralement orientée parallèlement à la surface locale, c'est-à-dire que sa composante radiale (c'est-à-dire sa composante verticale locale) est en général petite par rapport à au moins une des deux autres. En négligeant la composante radiale, on constate les choses suivantes :
Ceci explique pourquoi certaines structures atmosphériques, tels les ouragans ou les anticyclones, tournent toujours dans le sens des aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Nord, et dans le sens contraire dans l'autre hémisphère.
Démontrer par l'analyse ou par un schéma en 3D les 3 points ci-dessus.
Les écoulements atmosphériques peuvent être décrits en utilisant deux points de vue classiques, appelés eulérien ou lagrangien :
L'écoulement est suivi par un observateur depuis une position fixe. C'est le cas, par exemple, d'un atterrisseur sur Mars fixé au sol qui mesure la vitesse du vent, la température, ou la pression. Cette description est souvent préférée car elle est la plus pratique.
Dans ce cas, les particules fluides sont suivies le long de leurs trajectoires. C'est la description la plus intuitive.
Les descriptions lagrangienne et eulérienne sont liées à travers la dérivée particulaire, encore appelée dérivée totale, et qui s'écrit . Soit une grandeur physique vectorielle de l'écoulement, dépendant du point d'observation et du temps . La variation de la grandeur s'écrit :
Où est la vitesse du fluide avec composants: , , .
Dans la cas où la grandeur est un champ scalaire , la relation est la même.
La dérivée particulaire décrit la variation avec le temps en suivant la particule en mouvement (point de vue lagrangien), en revanche décrit la variation locale avec le temps en un point d'observation fixé (point de vue eulérien) .
Le mouvement d'une particule dans un fluide est décrit par la deuxième loi de Newton (conservation de la quantité de mouvement) qui lorsqu'elle est appliquée à la mécanique des fluides donne l'équation de Navier-Stokes. Dans un système en rotation l'équation du mouvement d'une parcelle de fluide est:
avec est la dérivée particulaire qui s'écrit , la vitesse du fluide, la somme des forces s'appliquant sur la parcelle et la densité du fluide.
Soit en détaillant les forces :
avec l'accélération de la force de Coriolis, les forces dues au gradient de pression, l'accélération du géopotentiel, et qui désigne l'accélération dues à la viscosité. Ce qui donne :
(1)
où est le vecteur de rotation de la planète est le gradient de pression.
Comment s'exprime l'accélération de la force de Coriolis dans le repère local ?
On a . Or il a été vu en exercice les expressions des dérivées temporelles des vecteurs , et . Ceci nous permet d'établir les équations de Navier-Stokes dans le référentiel local, en notant que et :
Ce système d'équations décrit tous les types de mouvements atmosphériques à toutes les échelles. Ces équations sont compliquées à résoudre, mais dans bien des cas utiliser une approximation est suffisante pour modéliser de nombreux phénomènes atmosphériques dynamiques.
Déduire les équations de Navier-Stokes en coordonnées sphériques à partir de l'équation fondamentale de la dynamique (Equation 1).
Les équations de la dynamique sont très compliquées car elles forment un système non linéaire. Ceci signifie que la somme de deux solutions n'est pas forcément solution du problème, ce qui rend la résolution de ces équations très ardue, et à ce jour encore source de recherches. Cependant, en fonction des phénomènes étudiés et des caractéristiques de l'atmosphère planétaire, certains termes de ces équations peuvent en dominer d'autres. Pour estimer les différents termes dans les équations, on utilise la méthode de l'analyse d'échelle. Les ordres de grandeur des différents termes en jeu dans les équations fondamentales de la dynamique seront très différents selon l'échelle des écoulements que l'on souhaite étudier. Dans le tableau ci-dessous on compare les termes dominants sur les planètes à rotation rapide (la Terre) avec ceux sur les planètes à rotation lente (Vénus):
Terre | 10-5 | 10-5 | 10-8 | 10-3 | 10-6 | 10-12 |
Vénus | 10-3 | 10-5 | 10-5 | 10-5 | 10-7 | 10-12 |
avec le rayon de la planète. On a , où est l'altitude depuis la surface.
On peut alors appliquer les approximations suivantes:
On obtient alors les équations primitives de la météorologie :
À ce système d'équations on ajoute l'équation des gaz parfaits:
Avec la constante universelle des gaz parfaits et la masse molaire du gaz qui constitue l'atmosphère, et dépend donc de sa composition. Pour l'air terrestre, on a
ainsi que l'équation de conservation de la masse:
Enfin, le premier principe de la thermodynamique:
Avec le forçage diabatique et la température potentielle : , où , la chaleur spécifique à pression constante et une pression de référence.
On obtient ainsi 6 équations avec 6 inconnues ().
Ce système d'équations primitives est le plus complet utilisé pour l'étude de la circulation générale de l'atmosphère. C'est notamment celui utilisé par les modèles de circulation générale.
Les équilibres géostrophique et cyclostrophique sont deux approximations des équations primitives. Ils sont purement diagnostiques : ils ne contiennent pas de dérivées dans le temps, d'où l'impossibilité de faire des prédictions. Néanmoins, ils sont des outils puissants pour décrire différents écoulements observés dans les planètes.
L'approximation géostrophique est un développement des équations primitives utilisée aux moyennes latitudes sur les planètes à rotation rapide (Terre, Mars). On suppose l'équilibre entre la force de Coriolis et la force due au gradient horizontal de pression. La force centrifuge est négligée.
D'après ces équations, lorsque cet équilibre est valide, la vitesse du vent est directement proportionnelle au gradient horizontal de pression. Notez que l'équilibre géostrophique cesse d'être valide autour des latitudes équatoriales.
En combinant les deux composantes de la vitesse, on peut introduir le vent géostrophique comme :
La circulation générale des planètes à rotation lente (Vénus, Titan), aussi bien que les vortex et les tourbillons sur toutes les planètes, peut être approximée par l'équilibre cyclostrophique. Cela suppose l'égalité entre la composante dirigée vers l'équateur de la force centrifuge et le gradient méridional de la pression. La force de Coriolis est négligée.
L'équation du vent cyclostrophique peut alors être écrite comme :
Montrer à partir de l'équation que l'équation du vent cyclostrophique peut être écrite comme :
où : J kg-1 K-1, et est la coordonnée de pression logarithmique, avec la pression au niveau de référence.
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Projeter les vecteurs sur les axes X,Y et Z.
Calculer en gardant en tête que est un vecteur local qui dépend de la position, donc varie avec les coordonnées .
Exprimer , et en fonction des angles et .
Utiliser les résultats des deux questions précédentes qui donnent les expressions de , , , , et .
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C'est le même exercice que celui sur la force de Coriolis, mais sans négliger la composante .
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Aussi dans ce cas, c'est un exercice similaire à celui de la force de Coriolis.
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