Lois du corps noir

Auteur: EM

Nous allons à présent aborder les lois quantitatives permettant de modéliser simplement les profils verticaux de température au sein des atmosphères planétaires. Cela nécessite quelques rappels sur le rayonnement thermique, dit de "corps noir".

Spectre du corps noir

L'intensité lumineuse $B_{\lambda}(T)$ , définie comme la puissance émise par unité de surface émettrice, par angle solide autour de la direction du rayon et par unité de longueur d'onde $\lambda$ émise par tout corps noir idéal de température , est donnée par la loi de Planck :

$B_{\lambda}(T) = \frac{2 h c^2}{\lambda ^5} \frac{1}{\exp \left( \frac{hc}{\lambda kT} \right) -1}$

où , et désignent respectivement les constantes fondamentales de Planck, de la vitesse de la lumière et de Maxwell-Boltzmann. Cette fonction possède des propriétés mathématiques aux conséquences importantes pour la suite du cours.

Loi de Wien

Elle donne la position du maximum en $\lambda$ de $B_{\lambda}(T)$ à température donnée, comme illustré précédemment.

$\lambda_{\mathrm{max}} \approx \frac{hc}{2,821\;k T} \approx \frac{2898\,\mathrm{\mu m \cdot K}}{T }$

Autrement dit, plus le corps est chaud, et plus il émet principalement à des longueurs d'ondes courtes et ce de façon inversement proportionnelle. Cela justifie la séparation du spectre lumineux en :

lumière UV-visible-proche IR : émise par les objets d'une température de quelques milliers de Kelvins. Ainsi, pour le Soleil, $\lambda_{\mathrm{max}}$ est voisin de $0.5\,\mu\mathrm{m}$ (soit dans le vert).
infrarouge thermique : émis par les objets d'une température de quelques dizaines à quelques centaines de Kelvins, comme les planètes du système solaire. Ainsi, pour la Terre, $\lambda_{\mathrm{max}}$ est voisin de $10\,\mu\mathrm{m}$ .

La séparation entre les deux domaines est prise de façon conventionnelle autour de $5\,\mu\mathrm{m}$ . Dans le contexte exoplanétaire, une remarque importante s'impose dès maintenant : la plupart des exoplanètes actuellement connues sont extrêmement chaudes, avec des températures excédant souvent $1000\,\mathrm{K}$ , si bien que la limite entre infrarouge thermique et lumière stellaire est décalée vers de plus courtes longueurs d'onde, voire devient complètement dénuée de sens. Cela empêche notamment d'appliquer tels quels les modèles atmosphériques conçus dans le système solaire qui distinguent ces deux catégories.

Loi de Stefan

Lorsque l'on ne s'intéresse pas au détail du spectre émis par le corps noir, il est souvent intéressant de calculer le flux (c'est à dire la puissance par unité de surface émettrice) total émis par le corps noir dans un demi-espace (par exemple, pour une surface planétaire, vers le haut). Pour cela, il suffit d'intégrer la loi de Planck sur sa variable spectrale $\lambda$ , et sur les $2\pi\,\mathrm{sr}$ d'angle solide en question. Le calcul donne alors le résultat suivant, connu sous le nom de loi de Stefan-Boltzmann :

$F = \sigma T^4$

où $\sigma = \frac{2\pi^5 k^4}{15h^3c^2} \approx 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W/m^2/K^4}$ est connu sous le nom de constante de Stefan-Boltzmann. La puissance émise par un corps noir dépend donc énormément de sa température (une augmentation relative de $1\%$ de sa température entraîne ainsi une augmentation d'environ $4\%$ du flux émis).