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Nous allons à présent aborder les lois quantitatives permettant de modéliser simplement les profils verticaux de température au sein des atmosphères planétaires. Cela nécessite quelques rappels sur le rayonnement thermique, dit de "corps noir".

Spectre du corps noir

L'intensité lumineuse $B_{\lambda}(T)$ , définie comme la puissance émise par unité de surface émettrice, par angle solide autour de la direction du rayon et par unité de longueur d'onde $\lambda$ émise par tout corps noir idéal de température , est donnée par la loi de Planck :

$B_{\lambda}(T) = \frac{2 h c^2}{\lambda ^5} \frac{1}{\exp \left( \frac{hc}{\lambda kT} \right) -1}$

où , et désignent respectivement les constantes fondamentales de Planck, de la vitesse de la lumière et de Maxwell-Boltzmann. Cette fonction possède des propriétés mathématiques aux conséquences importantes pour la suite du cours.

Loi de Wien

Elle donne la position du maximum en $\lambda$ de $B_{\lambda}(T)$ à température donnée, comme illustré précédemment.

$\lambda_{\mathrm{max}} \approx \frac{hc}{2,821\;k T} \approx \frac{2898\,\mathrm{\mu m \cdot K}}{T }$

Autrement dit, plus le corps est chaud, et plus il émet principalement à des longueurs d'ondes courtes et ce de façon inversement proportionnelle. Cela justifie la séparation du spectre lumineux en :

lumière UV-visible-proche IR : émise par les objets d'une température de quelques milliers de Kelvins. Ainsi, pour le Soleil, $\lambda_{\mathrm{max}}$ est voisin de $0.5\,\mu\mathrm{m}$ (soit dans le vert).
infrarouge thermique : émis par les objets d'une température de quelques dizaines à quelques centaines de Kelvins, comme les planètes du système solaire. Ainsi, pour la Terre, $\lambda_{\mathrm{max}}$ est voisin de $10\,\mu\mathrm{m}$ .

La séparation entre les deux domaines est prise de façon conventionnelle autour de $5\,\mu\mathrm{m}$ . Dans le contexte exoplanétaire, une remarque importante s'impose dès maintenant : la plupart des exoplanètes actuellement connues sont extrêmement chaudes, avec des températures excédant souvent $1000\,\mathrm{K}$ , si bien que la limite entre infrarouge thermique et lumière stellaire est décalée vers de plus courtes longueurs d'onde, voire devient complètement dénuée de sens. Cela empêche notamment d'appliquer tels quels les modèles atmosphériques conçus dans le système solaire qui distinguent ces deux catégories.

Loi de Stefan

Lorsque l'on ne s'intéresse pas au détail du spectre émis par le corps noir, il est souvent intéressant de calculer le flux (c'est à dire la puissance par unité de surface émettrice) total émis par le corps noir dans un demi-espace (par exemple, pour une surface planétaire, vers le haut). Pour cela, il suffit d'intégrer la loi de Planck sur sa variable spectrale $\lambda$ , et sur les $2\pi\,\mathrm{sr}$ d'angle solide en question. Le calcul donne alors le résultat suivant, connu sous le nom de loi de Stefan-Boltzmann :

$F = \sigma T^4$

où $\sigma = \frac{2\pi^5 k^4}{15h^3c^2} \approx 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W/m^2/K^4}$ est connu sous le nom de constante de Stefan-Boltzmann. La puissance émise par un corps noir dépend donc énormément de sa température (une augmentation relative de $1\%$ de sa température entraîne ainsi une augmentation d'environ $4\%$ du flux émis).

Loi de Kirchhoff

Émissivité

Le corps noir est un modèle abstrait que l'on ne rencontre pas dans la vie courante. Le spectre thermique $S_{\lambda}(T)$ émis par un corps donné se trouvant à l'équilibre thermodynamique à la température peut alors s'exprimer comme $S_{\lambda}(T) = \varepsilon_{\lambda}\times B_{\lambda}(T)$ où $\varepsilon_{\lambda}$ est une grandeur sans dimension appelée émissivité (qui dépend de la température, mais de façon moins marquée que la fonction de Planck $B_{\lambda}(T)$ si bien que par souci d'alléger les notations, on ne la note pas en général $\varepsilon_{\lambda}(T)$ comme on le devrait en toute rigueur).

Loi de Kirchhoff

Considérons un corps noir en contact radiatif avec un corps réel à travers un filtre laissant seulement passer les radiations à la longueur d'onde $\lambda$ . On sait qu'une fois l'équilibre thermodynamique atteint, ces deux corps en contact radiatif auront la même température . Si l'on note $a_{\lambda}$ la fraction du rayonnement incident absorbée par le corps réel, que l'on appelle absorbance, il en renvoie la fraction complémentaire $\left( 1 - a_{\lambda} \right)$ . Un bilan net des flux (nul à l'équilibre) à travers le filtre donne alors la relation $B_{\lambda}(T) = \varepsilon_{\lambda} B_{\lambda}(T) + \left(1 - a_{\lambda} \right) B_{\lambda} (T)$ , ce qui se simplifie en $a_{\lambda} = \varepsilon_{\lambda}$ . C'est la loi de Kirchhoff, que L'on résume souvent en "les bons absorbeurs sont les bons émetteurs".

Illustration de la loi de Kirchhoff

Crédit : EM

Conséquences

Comme l'absorbance est comprise entre et quelle que soit la longueur d'onde, l'émissivité l'est aussi. Il en résulte qu'aucun corps ne peut rayonner plus efficacement que le corps noir à longueur d'onde et température donnée.
Le corps noir ayant par définition une émissivité constante avec la longueur d'onde et égale à , son absorbance est aussi égale à l'unité quelle que soit la longueur d'onde, ce qui justifie son nom de corps noir au sens où il ne réfléchit aucun rayonnement incident.
À l'inverse, un réflecteur parfait qui n'absorberait aucun rayonnement serait également dans l'impossibilité d'émettre quelque rayonnement thermique que ce soit. Une application dans la vie courante de ce phénomène est l'aspect métallique et réfléchissant des objets traités pour éviter les pertes thermiques radiatives : couvertures de survie, bouteilles Thermos : en augmentant leur réflectivité, on abaisse leur absorbance, et donc leur émissivité aussi.

Température d'équilibre sans atmosphère

Cette page développe de façon quantitative les notions vues de façon qualitative ici.

Détermination du flux incident sur la planète

Puissance lumineuse émise par l'étoile : elle s'obtient au moyen de la loi de Stefan-Boltzmann, de la température et de la superficie de la photosphère de l'étoile (sa "surface" visible) : $\mathcal{P}_{*} = 4 \pi {R_*}^2 \times \sigma {T_*}^4$
Flux reçu au niveau de l'orbite de la planète : en supposant le milieu interplanétaire transparent, la puissance émise par l'étoile se dilue (mais sans absorption) sur des sphères concentriques à l'étoile de plus en plus grandes. En notant la distance de l'étoile à la planète, on obtient alors un flux (puissance par unité de surface réceptrice) $F = \frac{\mathcal{P}_*}{4 \pi d^2} = \left( \frac{R_*}{d} \right)^2 \sigma {T_*}^4$

Bilan de puissance

Puissance reçue par la planète : l'étoile étant en général assez éloignée de la planète ( $d \gg R_*$ ), les rayons qu'elle émet peuvent être considérés comme parallèles. La façon la plus simple de calculer cette puissance reçue consiste donc à multiplier le flux par la surface interceptant toute la lumière reçue par la planète à angle droit des rayons. Cette surface consiste donc ici en un disque du rayon de la planète, d'où $\mathcal{P}_i = F \times \pi R^2$
Puissances réfléchies et absorbées par la planète : en vertu de la définition de l'albédo bolométrique , la proportion réfléchie de la puissance incidente, la partie absorbée représente donc le complémentaire, soit $\mathcal{P}_{\mathrm{abs}} = \left( 1 - A \right) \mathcal{P}_i$ .
Puissance rayonnée thermiquement par la planète : en supposant que la surface de la planète à une température uniforme $T_{\mathrm{eq}}$ se comporte comme un corps noir aux longueurs d'ondes considérées, cette puissance rayonnée vaut alors $\mathcal{P}_{\mathrm{th}} = \sigma {T_{\mathrm{eq}}}^4 \times 4 \pi R^2$ puisque l'ensemble de la planète rayonne.

Expression de la température d'équilibre

Le bilan radiatif à l'équilibre imposant l'égalité entre la puissance rayonnée par la planète et la puissance absorbée par la planète, on obtient alors l'équation suivante :

$\pi R^2 \left(1 - A \right) F = 4 \pi R^2 \sigma {T_{\mathrm{eq}}^4$

qui se résout directement, après simplification du rayon de la planète (ce qui signifie qu'en première approximation, la température d'une planète ne dépend pas de sa taille) en :

$T_{\mathrm{eq}} = \left[ \frac{\left(1 - A\right) F}{4 \sigma} \right]^{1/4} = \sqrt{\frac{R_*}{d}} \left( \frac{1-A}{4} \right)^{1/4} T_*$

ce qui permet de constater que cette température décroît avec la distance à l'étoile, et est proportionnelle à celle de l'étoile. Ainsi, toutes choses égales par ailleurs, pour une étoile naine rouge d'une température moitié de celle du Soleil, il faut pour conserver une température d'équilibre donnée se rapprocher de l'étoile d'un facteur quatre : on peut d'ores et déjà affirmer que les zones habitables autour des petites étoiles de faible température (naines rouges) sont très proches de ces dernières. Notons au passage que la température d'équilibre d'une planète est bornée par celle de son étoile, plus précisément comprise entre $0\,\mathrm{K}$ (à très grande distance) et $0,7 \times T_*$ à la limite où l'orbite de la planète est tangente à son étoile (et la planète de rayon négligeable devant l'étoile).

Structure verticale des atmosphères

Atmosphère isotherme

Équation hydrostatique en géométrie plan-parallèle

Cette équation relie l'augmentation de la pression en descendant avec la masse volumique locale (autrement dit, elle exprime le fait que l'origine physique de la pression au sein des atmosphères est le poids de la colonne de gaz située à la verticale). La différence de pression entre le haut et le bas d'une couche d'épaisseur (la direction verticale étant bien définie en géométrie plan-parallèle) dépend donc de la masse contenue dans un volume de section horizontale et d'épaisseur , d'où, par équilibre des forces verticales s'exerçant sur ce volume $-S P(z+dz) + S P(z) = \rho dV g = \rho g S dz$

Équilibre hydrostatique

Schéma des forces appliquées à une tranche d'air à l'équilibre.

Crédit : Emmanuel Marcq

Une simplification par fait donc apparaître $dP = - \rho g dz$ : la pression décroît bien avec l'altitude, selon la masse volumique et la gravité locales.

Reformulation de l'équation d'état du gaz parfait

La forme habituelle de cette équation PV = nRT , où $R \approx 8,314\,\mathrm{J/mol/K}$ désigne la constante des gaz parfaits, P la pression, V le volume occupé, n le nombre de moles et T la température n'est pas vraiment adaptée à une formulation locale (intensive, dirait-on en thermodynamique). Il vaut mieux la présenter sous la forme $P = \frac{n}{V} RT$ , où l'on voit apparaître la densité molaire (homogène à des $\mathrm{mol/m^3}$ ) locale. Or, cette grandeur est proportionnelle à la masse volumique selon la relation $\frac{n}{V} = \frac{\rho}{M}$ où désigne la masse molaire. Il est alors possible d'exprimer la masse volumique du gaz parfait en fonction des conditions de pression et température locales, ainsi que de la masse molaire du gaz constituant : $\rho = \frac{MP}{RT}$ .

Échelle de hauteur

On suppose ici que l'atmosphère est constituée d'un gaz parfait de masse molaire , et que l'atmosphère est de surcroît isotherme à la température selon l'altitude. L'utilisation de l'équation d'état du gaz parfait au sein de l'équilibre hydrostatique donne, par substitution de $\rho$ , $\frac{dP}{P} = - \frac{dz}{H}$ avec $H = \frac{RT}{Mg}$ désignant une grandeur homogène à une altitude. On l'appelle échelle de hauteur, et son interprétation est plus claire en intégrant l'équation différentielle où elle apparaît, avec la condition à la limite inférieure P(z=0) = P_0 :

$\[ P(z) = P_0 \exp \left( - \frac{z}{H} \right)$

L'échelle de hauteur représente donc la hauteur caractéristique avec laquelle la pression décroît avec l'altitude pour tendre vers dans l'espace interplanétaire à grande distance de la planète (mais l'approximation plan-parallèle, ainsi que la thermodynamique usuelle à l'équilibre cessent d'être valides à quelques dizaines d'échelles de hauteur au-dessus de la surface).

Dans le cas d'une atmosphère non isotherme, la résolution formelle est un peu plus complexe, mais l'idée générale d'une décroissance localement exponentielle selon une échelle de hauteur locale dépendant de la température locale reste valable.

Autre interprétation de l'échelle de hauteur

On peut reformuler la constante des gaz parfaits selon $R = k \mathcal{N}$ où désigne la constante de Maxwell-Boltzmann et $\mathcal{N}$ la constante d'Avogadro, puis simplifier dans l'expression de . On obtient alors mgH = kT où $m = M/\mathcal{N}$ désigne la masse d'une molécule de gaz : une molécule de gaz à la hauteur caractéristique possède donc une énergie potentielle de pesanteur du même ordre que son énergie cinétique microscopique (thermique) moyenne. On comprend donc bien pourquoi représente le compromis entre l'agitation thermique qui tend à disperser les atmosphères ( est croissant avec ), et le poids qui a tendance à tasser les atmosphères vers le bas : décroît avec (atmosphère dense) et (gravité forte).

Effet de serre

Cadre du modèle

Dans un modèle purement radiatif d'une colonne d'atmosphère (sans convection ni conduction), il est relativement facile d'estimer l'effet de serre causé par une atmosphère (transparente en lumière visible et partiellement opaque au rayonnement infrarouge thermique) entourant une planète tellurique.

On supposera que la surface possède une émissivité égale à en infrarouge thermique, et que celle de l'atmosphère (directement reliée à son absorbance via la loi de Kirchhoff) est prise constante et égale à $\varepsilon_a$ dans tout le domaine infrarouge thermique (c'est ce que l'on appelle l'approximation grise). L'atmosphère est considérée ici isotherme à la température T_a . On négligera aussi les flux d'énergie éventuels provenant de l'intérieur de la planète, et on supposera que l'étoile émet de façon négligeable dans l'infrarouge thermique, situé loin de son maximum d'émission dans le visible (ou le proche IR pour les plus froides d'entre elles).

Bilans de flux

Représentation des flux rayonnants

Représentation schématique des flux (bleu pour le domaine stellaire visible-UV-proche IR, rouge pour le domaine infrarouge thermique).

Crédit : Emmanuel Marcq

La situation est très simple pour les flux stellaires. $\bar{F}$ désigne le flux moyen à la surface de la planète, qui se déduit du flux à incidence normale appelé constante solaire (ou stellaire) par l'égalité des puissances : $\pi R^2 F = 4 \pi R^2 \bar{F}$ (voir le raisonnement définissant la température d'équilibre pour plus de détails, désigne ici le rayon planétaire). On en déduit immédiatement $\bar{F} = F/4$ : un facteur 2 s'explique aisément par le fait que seul un hémisphère est éclairé, et l'autre facteur 2 par la moyenne du cosinus de l'angle d'incidence intervenant dans le calcul local du flux.

En vertu de la définition de l'émissivité, l'atmosphère rayonne donc $\varepsilon_a \sigma {T_a}^4$ dans chacun des demi-espaces inférieur (vers la surface) et supérieur (vers l'espace). En vertu de la loi de Kirchhoff, cette émissivité est égale à son absorbance, si bien que la fraction complémentaire $\left( 1 - \varepsilon_a \right)$ du rayonnement en provenance de la surface (considérée comme un corps noir) réussit à la traverser, le reste étant absorbé (on néglige les processus de diffusion ici ; seules les émissions et absorptions sont prises en compte).

Le bilan des flux à la surface donne alors à l'équilibre radiatif (synonyme d'égalité entre la somme des flux entrants et la somme des flux sortants) : $\bar{F} + \varepsilon_a \sigma {T_a}^4 = A \bar{F} + \sigma {T_{\mathrm{surf}}}^4$ , tandis que celui au niveau de la couche atmosphérique donne $\sigma {T_{\mathrm{surf}}}^4 = \left(1 - \varepsilon_a \right) \sigma {T_{\mathrm{surf}}}^4 + 2 \sigma \varepsilon_a {T_a}^4$ . Nous avons donc deux équations pour les deux inconnues T_a et $T_{\mathrm{surf}}$ , et la résolution du système donne alors : $T_{\mathrm{surf}} = \left( \frac{2}{2 - \varepsilon_a} \right)^{1/4} T_{\mathrm{eq}}$ et $T_a = \left( \frac{1}{2 - \varepsilon_a} \right)^{1/4} T_{\mathrm{eq}}$ où l'on aura reconnu la température d'équilibre $T_{\mathrm{eq}} = \left[\frac{(1-A) F}{4 \sigma} \right]^{1/4} = \left[\frac{(1-A) \bar{F}}{\sigma} \right]^{1/4}$ définie précédemment.

Discussion

Dans la limite transparente où $\varepsilon_a \to 0$ , $T_{\mathrm{surf}} \to T_{\mathrm{eq}}$ et $T_a \to T_0 = 2^{-1/4} T_{\mathrm{eq}} \approx 0.84 \, T_{\mathrm{eq}}$ : la surface retrouve alors la température d'équilibre, ce qui est normal pour une atmosphère à la fois transparente en lumière stellaire et en infrarouge thermique (atmosphère radiativement inerte ne causant aucun effet de serre). La température atmosphérique tend alors vers une valeur $T_0 < T_{\mathrm{eq}}$ appelée température de peau et typique des couches quasi-transparentes en approximation grise.
Dans la limite opaque où $\varepsilon_a \to 1$ , $T_{\mathrm{surf}} \to 2^{1/4} T_{\mathrm{eq}} \approx 1.19\,T_{\mathrm{eq}}$ et $T_a \to T_{\mathrm{eq}}$ : le rayonnement s'échappant vers l'espace provient alors uniquement de l'atmosphère, qui se met donc à la température d'équilibre. La surface reçoit donc du rayonnement infrarouge atmosphérique en plus du seul rayonnement stellaire (qui pris isolément la maintiendrait déjà à une température de $T_{\mathrm{eq}}$ ), si bien que sa température s'élève : c'est ce que l'on appelle l'effet de serre, plafonnant dans ce modèle à une seule couche atmosphérique isotherme à une augmentation de la température absolue (mesurée en Kelvins) de $19\,\%$ .

Effet de serre : modèles plus complexes

Limite du modèle à une seule couche

Le modèle vu précédemment a l'inconvénient de ne pas pouvoir excéder une augmentation de température à la surface de $19\,\%$ . Ceci est insuffisant dans le cas des atmosphères très épaisses comme celle de Vénus, où le rapport $T_{\mathrm{surf}}/T_{\mathrm{eq}}$ excède $320\,\%$ ! Cela signifie que de telles atmosphères ne peuvent se modéliser par une unique couche isotherme, même totalement absorbante aux rayons infrarouges. Il existe différents modèles plus complexes permettant de mieux rendre compte des effets de serre intenses.

Modèles à plusieurs couches

Une première idée est d'ajouter, au-dessus de la première couche atmosphérique complètement opaque au rayonnement thermique de la planète, une ou plusieurs couches (la dernière couche immédiatement avant l'espace pouvant être partiellement transparente). Ces différentes couches atmosphériques peuvent alors chacune adopter des températures différentes, et former ainsi un profil de température décroissant avec l'altitude. Il faut ainsi environ une centaine de couches opaques pour rendre compte de la température de surface de Vénus.

L'étude d'un modèle à deux couches atmosphériques fait l'objet d'un petit projet .

Modèles radiatifs continus

Une vision plus réaliste mais ne faisant toujours intervenir que des échanges d'énergie par rayonnement consiste à découper l'atmosphère en un mille-feuille constitué d'une infinité de couches atmosphériques infiniment fines (d'un point de vue radiatif). En restant dans l'approximation grise en infrarouge thermique et transparente en lumière visible, il est même possible (mais hors-programme au niveau licence) de démontrer l'expression du profil de température en fonction de la profondeur optique $\tau$ en infrarouge thermique : $T^4(\tau) = \frac{{T_{\mathrm{eq}}}^4}{2} \left( 1 + \frac{3}{2} \tau \right)$ . Notons que dans ce modèle, on obtient $T_{\mathrm{surf}}^4 = {T_{\mathrm{eq}}}^4 \left(1 + \frac{3}{4} \tau_{\mathrm{surf}} \right) > T^4 \left( \tau_{\mathrm{surf}} \right)$ : le seul équilibre radiatif tend à créer une discontinuité de température au niveau de la surface, ce qui déclencherait alors des processus de convection pour y remédier. Un tel contraste thermique est néanmoins observable à la surface des planètes telluriques éclairées par le Soleil, comme une plage sur Terre par beau temps (le sable peut alors être brûlant et l'air frais), ou mieux encore dans les déserts de Mars.

Néanmoins, dans les atmosphères épaisses ou pour expliquer l'existence des stratosphères, l'absorption de la lumière stellaire par l'atmosphère doit être prise en compte (par exemple, seuls quelques pourcents de la lumière solaire atteint directement la surface de Vénus). Des expressions analytiques deviennent alors délicates à trouver, mais des modèles numériques peuvent être utilisés pour déterminer les profils de température dans une colonne d'atmosphère (ce que l'on appelle un modèle 1D radiatif). On peut également profiter de la puissance de calcul des ordinateurs pour abandonner d'autres approximations : il est par exemple indispensable d'abandonner l'approximation grise en infrarouge thermique si l'on veut simuler le spectre du rayonnement thermique émis par la planète.

Expression des gradients adiabatiques

Gradient adiabatique sec

Lorsqu'une parcelle de gaz se déplace verticalement de façon adiabatique, sa température varie sous l'effet des variations de pression. Si l'on considère un déplacement élémentaire entre l'altitude et z+dz d'une masse d'un gaz de capacité calorifique à pression constante Cp, d'entropie S et de volume V à la pression P et à la température T, un bilan de son enthalpie H donne dH = m C_p dT = T dS + V dP = V dP puisque dS=0 (déplacement adiabatique). La variation de pression étant reliée au déplacement vertical selon la loi hydrostatique $dP = - \rho g dz = -\frac{m}{V} g dz$ , on obtient alors $dT = -\frac{g}{C_p} dz = \Gamma dz$ en posant $\Gamma = -\frac{g}{C_p}$ , appelé gradient adiabatique (sec). La détente adiabatique d'une parcelle de gaz ascendante conduit donc à un refroidissement proportionnel à la différence d'altitude selon le gradient adiabatique.

Une autre façon, peut-être plus intuitive, de considérer ce phénomène est d'interpréter la relation intermédiaire obtenue mC_p dT = - mg dz : la variation d'enthalpie du gaz (son "énergie thermique" en tenant compte des forces de pression) est directement reliée à sa variation d'énergie potentielle. Faire monter une parcelle de gaz lui coûte de l'énergie potentielle, ce qui est prélevé sur l'énergie thermique interne de ce gaz en l'absence de chaleur communiquée depuis l'extérieur.

Gradient adiabatique humide

Certaines atmosphères comportent des espèces chimiques condensables. L'exemple par excellence est la vapeur d'eau sur Terre, qui peut se condenser en glace ou un eau liquide. On rencontre aussi ce cas de figure sur Titan avec cette fois le méthane, ou encore dans les atmosphères des géantes gazeuses au niveau de leurs couches nuageuses. Le bilan précédent doit alors être modifié pour tenir compte de la libération de chaleur latente causée par le changement d'état qui peut arriver lorsque l'espèce condensable est saturée.

Le nouveau bilan d'enthalpie est alors donné par $dH = VdP + L dm_{\mathrm{vol}}$ où désigne l'enthalpie massique de condensation et $dm_{\mathrm{vol}}$ la masse d'espèce volatile qui se condense au cours du déplacement au sein de la parcelle de gaz. On arrive alors à l'expression suivante pour le nouveau gradient adiabatique $\Gamma'$ (dit gradient adiabatique humide) : $\Gamma' = \frac{\Gamma}{1 + \frac{L}{C_p} \frac{\partial e_{\mathrm{vol}}}{\partial T}}$ où $e_{\mathrm{vol}}$ désigne la fraction massique du volatil au sein de la parcelle de gaz. On constate alors que $\Gamma'$ est plus faible que $\Gamma$ en valeur absolue : la libération de chaleur latente par liquéfaction ou condensation compense partiellement le refroidissement dû à l'ascension.

Gradients adiabatiques au sein des atmosphères du système solaire
	Vénus	Terre	Mars	Jupiter	Saturne	Uranus	Neptune	Titan
$\Gamma \, (\mathrm{K/km})$	-10.5	-9.8	-4.5	-2	-0.71	-0.67	-0.85	-1.3
$\Gamma' (\mathrm{K/km})$		-5						-0.5

Profil thermique radiatif-convectif

Nécessité du phénomène de convection

La comparaison entre le profil thermique à un instant donné et le gradient adiabatique au même endroit permet de connaître la stabilité de l'atmosphère vis-à-vis des phénomènes de convection. Supposons pour bien comprendre un profil thermique isotherme. Si un mouvement local amène une parcelle de gaz à un niveau plus élevé de façon assez rapide pour qu'aucun échange thermique n'ait lieu (par conduction ou rayonnement), celle-ci va se refroidir en suivant le gradient adiabatique, et sera donc plus froide et plus dense que ses environs immédiats. Cette parcelle aura donc tendance à retomber jusqu'à son niveau de départ, puisqu'un gaz plus froid est également plus dense toutes choses égales par ailleurs : par exemple, pour un gaz parfait, $\rho = \frac{MP}{RT}$ . On est donc en présence d'une atmosphère stable.

À l'inverse, si le profil thermique décroît plus fortement avec l'altitude que ce qu'indique le gradient adiabatique, cette parcelle de gaz sera certes refroidie si elle est soumise à un déplacement ascendant adiabatique, mais elle se retrouvera tout de même légèrement plus chaude que l'atmosphère environnante, et donc moins dense. Elle pourra donc continuer son mouvement ascendant jusqu'à ce qu'elle rencontre une zone stable où le profil thermique décroît moins vite que le gradient adiabatique. Une telle zone où des mouvements de convection à grande échelle peuvent se développer à partir d'une petite perturbation est dite instable. L'effet à long terme de ces mouvements de convection va conduire à un mélange qui homogénéisera le profil vertical de température jusqu'à retrouver une situation marginalement stable, c'est-à-dire avec un profil thermique suivant exactement le gradient adiabatique.

Stabilité du profil thermique

Sur l'image de gauche, le profil thermique décroît rapidement avec l'altitude (dégradé de couleur rouge vers bleu). Si une masse d'air (délimitée par l'ellipse pleine) est amenée de façon adiabatique à un niveau supérieur, son refroidissement adiabatique est insuffisant par rapport aux alentours et elle reste plus chaude que ses environs. Elle peut alors continuer à monter, le profil thermique est instable. Sur l'image de droite, le profil thermique décroît très lentement avec l'altitude. La même masse d'air montant alors plus haut se retrouve plus froide que ses environs, et retombe alors à son niveau de départ. Le profil thermique est convectivement stable.

Crédit : Emmanuel Marcq

Troposphère

Les profils thermiques purement radiatifs tels que ceux modélisés ici ont tendance à voir leur pente $\frac{dT}{dz} = \frac{dT}{d\tau} \times \frac{d\tau}{dz}$ croître en valeur absolue à mesure que la profondeur optique infrarouge $\tau$ croît en s'enfonçant dans l'atmosphère profonde. Sous couvert d'hypothèses raisonnables concernant la composition du gaz considéré parfait (pour C_p ) et la croissance de $\tau$ selon le niveau de pression dans l'atmosphère, il est possible (mais hors-programme) de montrer que la pente du profil radiatif excède, en valeur absolue, le gradient adiabatique pour $\tau$ voisin de l'unité. Les régions atmosphériques situées en dessous ( $\tau > 1$ ) deviennent donc instables vis-à-vis de la convection qui s'y développe, et le profil thermique se met alors à suivre non plus la valeur donnée par le seul équilibre radiatif, mais le gradient adiabatique. On appelle cette couche atmosphérique troposphère. Les couches situées au-dessus ( $\tau < 1$ ) sont quant à elles stables vis-à-vis de la convection, et l'équilibre radiatif y est valable : on se trouve alors dans la stratosphère ou la mésosphère, selon l'existence ou non d'une inversion de température.

Notons qu'il existe quand même une troposphère dans les atmosphères des planètes telluriques trop peu opaques au rayonnement infrarouge thermique pour avoir $\tau > 1$ (par exemple Mars, et dans une moindre mesure la Terre). En ce cas, l'instabilité de départ est causée par la discontinuité de température au niveau de la surface planétaire (voir ici), qui donne naissance à des mouvements de convection s'étendant jusqu'à une altitude équivalente à une échelle de hauteur environ.

Profil thermique radiatif-convectif

En pointillé, le profil thermique purement radiatif. En dessous d'une certaine altitude (marqué par un point noir), ce profil devient convectivement instable et la convection prend le relais pour transporter l'énergie (aidant ainsi au refroidissement de la surface). la couche atmosphérique située sous ce point s'appelle alors la troposphère, et celle au-dessus mésosphère (il n'y a pas de stratosphère dans ce profil).

Crédit : Emmanuel Marcq

Autres couches atmosphériques

Couches atmosphériques des planètes telluriques du système solaire

Crédit : LASP, Emmanuel Marcq (traduction)

Condition d'existence d'une stratosphère

Les profils thermiques les plus simples ne comportent qu'une troposphère surmontée d'une mésosphère, et le profil thermique y décroît toujours avec l'altitude. Mais il existe parfois au sein de la zone purement radiative une anomalie, une zone où la température croît avec l'altitude. Une telle zone est appelée stratosphère. Pour qu'une telle couche existe au sein d'une atmosphère, il faut qu'elle absorbe elle-même une partie du flux stellaire (dans le domaine visible, UV ou proche IR) et qu'elle soit relativement mauvaise émettrice en infrarouge thermique afin que l'énergie reçue par absorption du flux stellaire ne soit pas immédiatement perdue par rayonnement infrarouge thermique. Si l'on néglige les processus de diffusion lumineuse (ce qui est une hypothèse souvent vérifiée dans le domaine infrarouge thermique en l'absence de nuages, mais assez inexacte pour la lumière stellaire à plus courte longueur d'onde), le critère quantitatif pour l'existence d'une stratosphère est d'avoir une région verticale d'épaisseur optique $\Delta \tau_v$ en lumière stellaire et $\Delta \tau$ en infrarouge thermique tels que $\Delta \tau_v > \Delta \tau$ .

Dans le système solaire, la Terre possède une stratosphère due à la présence d'ozone, qui est un très bon absorbant de la lumière UV du Soleil. Comme, à l'altitude où cette absorption a lieu, l'atmosphère est froide et sèche, et que l'atmosphère terrestre est pauvre en $\mathrm{CO}_2$ , il y a peu d'absorption du rayonnement infrarouge, et donc aussi une faible émissivité infrarouge ( $\mathrm{H_2O}$ et $\mathrm{CO}_2$ étant les gaz à effet de serre principaux au sein des atmosphères telluriques). Les conditions d'existence d'une stratosphère sont donc réunies. En revanche, les atmosphères de Vénus et de Mars, constituées principalement de $\mathrm{CO}_2$ qui est un excellent émetteur infrarouge, ne possèdent pas de stratosphère. Dans le système solaire extérieur, on trouve également des stratosphères, dues à la présence de méthane ( $\mathrm{CH}_4$ ) au sein de ces atmosphères qui absorbe bien dans l'infrarouge proche émis par le Soleil. Dans le cas de Titan, la stratosphère est due non seulement au méthane, mais aussi à l'absorption de la lumière solaire par les particules du brouillard photochimique qui l'entoure à haute altitude.

Thermosphère

Positions respectives de la source de chaleur (

) et du puits radiatif mésosphérique (

). Le profil conductif s'établit alors entre les deux avec transport par conduction de la chaleur verticalement selon $\vec{\jmath}_Q$ entre les deux, imposant le gradient thermique positif dT/dz > 0

Crédit : Emmanuel Marcq

Au sommet de la mésosphère, vers un niveau de pression de $1\,\mathrm{Pa}$ , l'atmosphère devient trop peu dense pour être efficacement absorbante au rayonnement infrarouge et ainsi échanger de l'énergie de façon radiative. Le seul phénomène encore capable de transporter l'énergie devient alors la conduction thermique, obéissant à la loi de Fourier : $\vec{\jmath}_Q = - k \overrightarrow{\nabla{T}}$ où désigne la conductivité thermique du milieu et $\vec{\jmath}_Q$ le flux de chaleur ainsi transporté. La structure thermique dans cette couche est alors dictée par la position des sources et des puits de chaleur :

la source est située à haute altitude, là où les particules énergétiques issues du vent stellaire ainsi que les photons de haute énergie (X ou $\gamma$ ) dissocient les molécules et/ou ionisent les atomes en leur arrachant des électrons.
le puits est situé à la base de la mésosphère, là où l'atmosphère redevient assez dense pour que la chaleur qui y arrive soit rayonnée efficacement vers l'espace sous forme de rayonnement infrarouge thermique

Les positions respectives de ces puits et de ces sources causent un profil thermique croissant avec l'altitude, et pouvant atteindre des températures très élevées la journée car la conductivité thermique d'un tel milieu dilué est très faible, la chaleur peut donc y être piégée de façon très efficace. On nomme donc cette couche thermosphère. Sur Terre, la dissociation des molécules de $\mathrm{O}_2$ par les UV solaires est une source de chaleur intense (ces molécules très fragiles vis-à-vis des rayonnements dissociants et/ou ionisants sont nombreuses dans l'atmosphère terrestre), si bien que les températures thermosphériques peuvent atteindre des valeurs très élevées, supérieures à $1000\,\mathrm{K}$ . Pour les planètes géantes du système solaire, la source d'énergie est principalement due au chauffage par effet Joule dans l'ionosphère (friction des électrons libres). En revanche, dans les atmosphères telluriques riches en $\mathrm{CO_2}$ comme celles de Vénus et Mars, la dissociation des molécules est relativement difficile et le dioxyde de carbone est un radiateur efficace même à faible pression, ce qui entraîne des maxima de température diurne bien plus faible, pouvant même disparaître complètement pendant la nuit. On appelle alors parfois cette couche cryosphère lorsque ce phénomène se produit.

Comprendre

Sans atmosphère

Lois du corps noir

Spectre du corps noir

Loi de Wien

Loi de Stefan

Loi de Kirchhoff

Émissivité

Loi de Kirchhoff

Conséquences

Température d'équilibre sans atmosphère

Détermination du flux incident sur la planète

Bilan de puissance

Expression de la température d'équilibre

Structure verticale des atmosphères

Atmosphère isotherme

Équation hydrostatique en géométrie plan-parallèle

Reformulation de l'équation d'état du gaz parfait

Échelle de hauteur

Autre interprétation de l'échelle de hauteur

Effet de serre

Cadre du modèle

Bilans de flux

Discussion

Effet de serre : modèles plus complexes

Limite du modèle à une seule couche

Modèles à plusieurs couches

Modèles radiatifs continus

Expression des gradients adiabatiques

Gradient adiabatique sec

Gradient adiabatique humide

Profil thermique radiatif-convectif

Nécessité du phénomène de convection

Troposphère

Autres couches atmosphériques

Condition d'existence d'une stratosphère

Thermosphère