Distance et temps : Outils

Auteur: Benoît Mosser

Introduction
Unités
- Introduction
- Unités de distance
  - Observer
  - Apprendre
  - Simuler
  - S'exercer
  - S'évaluer
- Unités angulaires
  - Observer
  - Apprendre
  - Simuler
  - S'exercer
  - S'évaluer
- Unités de temps
  - Observer
  - Apprendre
  - S'exercer
  - S'évaluer
- Conclusion
Triangulation
- Introduction
- Relation dans un triangle
  - Observer
  - Apprendre
  - S'évaluer
- La Terre et le mètre
  - Observer
- Conclusion
Systèmes de coordonnées
- Introduction
- Référentiels et coordonnées
  - Observer
  - Apprendre
  - Simuler
  - S'exercer
- Le temps sidéral : définition
  - Observer
  - Apprendre
  - S'exercer
- Le temps sidéral : détermination
  - Apprendre
  - Simuler
  - S'exercer
  - S'évaluer
- Période sidérale, période synodique
  - Apprendre
  - Simuler
  - S'exercer
- Conclusion

Introduction

Ce sous-chapitre introduit les outils indispensables pour :

se repérer dans l'espace
mesurer les distances

La notion de triangulation, à la base de l'arpentage de l'Univers, est amplement développée.

Sphère armillaire. Dans une configuration géocentrique, les différents cercles concentriques représentent le ciel et différents plans de repère.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

A ombre ronde, Terre ronde, fut le raisonnement de l'astronome Apian (XVIe siècle)

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Unités

Auteur: Benoît Mosser

Introduction

Se repérer, dans le temps comme dans l'espace, est à la base de toute bonne astrophysique.

Il suffit, pour s'en convaincre, de penser à l'étape première de l'analyse d'un problème mécanique : la nécessaire identification d'un référentiel, càd d'un solide sur lequel appuyer l'étude, muni d'une horloge fiable et précise. Pour permettre des mesures, ce référentiel doit s'accompagner d'un repère.

Ce chapitre aborde ainsi les mesures de temps et d'espace qui serviront de cadre de travail à tout le cours.

Carte du ciel (ascension droite en abscisse, déclinaison en ordonnée), avec toutes les étoiles de magnitude plus brillante que 6. La taille du symbole est proportionnelle à la magnitude, et la couleur représente le type spectral . La région la plus riche en étoiles est notre Galaxie, vue par la tranche.

Crédit : BSC/ASM

Unités de distance

Observer

Du bon usage des distances

Lorsque l'on parcourt la littérature astrophysique, les longueurs ou distance apparaissent souvent exprimées dans des unités inhabituelles.

Les distances sont couramment rapportées :

en distance angulaire sur le ciel ; la conversion en distance linéaire nécessite de connaître l'éloignement à l'objet.
en temps de lumière.
en parsec, ou en multiple du parsec ; ce qui nécessite une définition.
en décalage spectral ; ce qui nécessite une interprétation.

Mètre étalon

Un des nombreux mètres étalons installés sur la voie publique, pour aider à l'usage de cette nouvelle unité, définie dans l'enthousiasme révolutionnaire.

Crédit : ASM

France

La France vue du ciel.

Crédit : NASA

L'étoile Bételgeuse

Seules les étoiles les plus grosses, et proches, laissent entrevoir leur diamètre physique. Sinon, on ne peut en apercevoir que la tache de diffraction (image de droite).

Crédit : HST

Par pas de 10

Crédit : ASM

La nébuleuse de la Tête de Cheval dans Orion

Cette nébuleuse, trop faible pour apparaître sur une observation non posée, correspond à une partie d'un nuage interstellaire froid, qui absorbe la lumière des sources en arrière plan et se découpe en ombre chinoise sur le fond lumineux.

Crédit : CFHT

Messier 13

Amas globulaire M13, réunissant de l'ordre de 300 000 étoiles, liées gravitationnellement. Son diamètre est estimé à 130 AL.

Crédit : OHP/CNRS

Messier 100

Galaxie spirale vue de face. Son diamètre est de l'ordre de 100 000 AL.

Crédit : CFHT

Un amas de galaxies

L'amas de galaxies 0024+1654, source d'un mirage gravitationnel

Crédit : HST

Par pas de 10

La liste ci-jointe et le tableau ci-dessous proposent une promenade dans les distances et longueurs, par pas de 10, pour passer du mètre à l'échelle la plus vaste que l'on puisse imaginer dans l'Univers.

1 m $(10^{0} {\,\mathrm{m}})$ : le mètre étalon
1000 km $(10^{6} {\,\mathrm{m}})$ : taille caractéristique de la France
10 UA $(10^{12} {\,\mathrm{m}})$ : diamètre d'une étoile géante
1 AL $(10^{16} {\,\mathrm{m}})$ : taille d'une nébuleuse (la Tête de Cheval dans Orion)
3 pc $(10^{17} {\,\mathrm{m}})$ : diamètre d'un amas d'étoiles (Messier 13)
30 kpc $(10^{21} {\,\mathrm{m}})$ : diamètre d'une galaxie (Messier 100)
30 Mpc $(10^{24} {\,\mathrm{m}})$ : à l'échelle d'un amas de galaxies

Apprendre

Objectifs

Comme le parcours de l'échelle du mètre à celle de l'Univers s'étend sur 26 ordres de grandeurs, il apparaît rapidement que le mètre est une unité malcommode pour estimer la plupart des longueurs et distances rencontrées. D'où la nécessité d'introduire des unités appropriées, qui permettent d'exprimer les distances avec des nombres plutôt voisins de l'unité que de milliards de milliards de mètres.

Le temps de lumière

Le temps de lumière permet d'estimer les distances, qu'elles soient courtes (la Terre est à 8 minutes de lumière du Soleil), ou longues (les galaxies les plus lointaines observées sont à environ 12 milliards d'années de lumière).

L'unité astronomique

Dans le système solaire, ou pour des dimensions dans un environnement stellaire, on s'appuie sur le demi-grand axe de l'orbite de la Terre, et on utilise couramment l'unité astronomique (UA).

Définition

Par définition, il s'agit du demi-grand axe de l'orbite terrestre, soit environ 150 millions de km (plus précisément : 149 597 870 km)

La parallaxe

Le mouvement de la Terre autour du soleil se traduit par un mouvement apparent des étoiles du proche voisinage solaire, qui semblent parcourir une petite ellipse sur le fond des étoiles plus lointaines, fixes.

Définition

La parallaxe annuelle $\Pi$ mesure le demi-grand axe angulaire de ce mouvement apparent.

Les parallaxes sont usuellement exprimées en millièmes de seconde d'arc (mas). L'étoile la plus proche, Proxima du Centaure, a une parallaxe de 772 mas.

1 pc est la distance sous laquelle 1 UA sous-tend 1". Cette définition provient bien sûr du mouvement de parallaxe annuelle des étoiles proches.

Crédit : ASM

Le parsec

Une unité propre à l'astrophysique est le parsec, noté pc.

Définition

Le parsec est la distance à laquelle 1 unité astronomique sous-tend 1 seconde d'arc.

On emploie couramment les unités multiples du parsec : kpc, Mpc, Gpc.

Cette définition du parsec est opérationnelle : elle est reliée au mouvement de parallaxe annuelle des étoiles proches.

Définition

Une étoile présentant une parallaxe $\Pi$ , exprimée en seconde d'arc, est à une distance $1/\Pi$ , exprimée en parsec.

En application directe de la définition, un objet de taille angulaire $\alpha$ exprimée en seconde d'arc vu à une distance exprimée en parsec possède une taille linéaire $\ell$ , exprimée en unité astronomique (dans l'approximation des petits angles) :

$\ell \ ( {\,\mathrm{UA}}) \ = \ d \ ( {\,\mathrm{pc}}) \times \alpha \ ''$

Conversion

Le tableau ci-dessous présente les passages d'une unité à l'autre.

Unités de longueur et distance
	Unité	m	UA	AL	pc
m	mètre	1
UA	demi-grand axe de l'orbite terrestre	$1.5\ 10^{11}$	1
AL	année de lumière	$9.5\ 10^{15}$	63 000	1
pc	$1 {\,\mathrm{pc}} \equiv 1 {\,\mathrm{UA}} / 1"$	$3.1\ 10^{16}$	206 000	3.26	1

Simuler

La parallaxe

Plus une étoile est éloignée, moins sa parallaxe est marquée.

La rotation de la Terre autour du Soleil se traduit par un mouvement d'oscillation des étoiles proches sur le fond du ciel (modélisé en gris), d'amplitude décroissant avec la distance.

Crédit : ASM

Mouvement apparent parallactique

Le mouvement apparent parallactique, créé par la rotation de la Terre autour du Soleil, dépend de la position de l'étoile par rapport à l'écliptique.

Le mouvement parallactique d'une étoile proche d'un pôle céleste est quasiment circulaire.

Crédit : ASM

Le mouvement parallactique d'une étoile proche de l'équateur céleste est quasiment rectiligne.

Crédit : ASM

S'exercer

Une pomme et des pépins

Difficulté : ☆ Temps : 15 min

Un peu d'exercice sur les ordres de grandeurs.

Données
Rayon du Soleil	$R_\odot$	$7\ 10^8 {\,\mathrm{m}}$
Rayon de la Terre	$R _{\mathrm{Terre}}$	$6.4\ 10^6 {\,\mathrm{m}}$
Diamètre d'une pomme	$\simeq 7 {\,\mathrm{cm}}$

Question 1)

La taille du Soleil étant rapportée à celle d'une pomme, quelle est à cette échelle la taille de la Terre ?

Question 2)

A quelle distance se situe la pomme la plus proche, l'étoile Proxima du Centaure éloignée de 1,31 pc du Soleil.

Le groupe local

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Question 1)

Faire un schéma de la Galaxie vue par la tranche.

Question 2)

Faire un schéma de notre Galaxie dans le groupe local, comprenant entre autres la galaxie d'Andromède, située à $2.2~10^6 {\,\mathrm{AL}}$ et de taille comparable à notre galaxie, et le Grand Nuage de Magellan, situé à $1.5~10^5 {\,\mathrm{AL}}$ et de diamètre $3.6~10^4 {\,\mathrm{AL}}$ . Respecter une même échelle pour les tailles et distances.

L'Univers est plein de vide

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

Le bulbe galactique présente une densité moyenne de 3 étoiles par ${ {\,\mathrm{pc}}}^3$ . On suppose que ces étoiles sont toutes de même type, de rayons identiques.

Données
Diamètre du bulbe		5.4 kpc
Rayon stellaire moyen		$7\ 10^8$ m
Diamètre du vaisseau		1 km

Question 1)

Estimer la probabilité de collision entre une étoile et un vaisseau intergalactique de rayon traversant le bulbe de part en part.

Question 2)

Etes-vous partant pour piloter le vaisseau ? Pourquoi le bulbe d'une galaxie présente-t-il cet aspect si dense?

M31

Crédit : CFHT

S'évaluer

Le laser-lune

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Le télescope laser-lune du CERGA, à Grasse.

Crédit : OCA/CERGA

Un télescope laser-lune mesure la distance Terre-Lune par la mesure du trajet aller-retour d'un faisceau laser envoyé par le télescope, réfléchi par des rétro-réflecteurs (déposés sur la Lune par des missions américaines et des sondes soviétiques), et reçu par le télescope.

Question 1)

Rétro-réflecteur

Rétro-réflecteur.

Crédit : ASM

Le principe des rétroréflecteurs correspond au schéma ci-joint. Expliquer le fonctionnement en illustrant le trajet des rayons lumineux sur ce schéma. On étudiera le cas de plusieurs angles incidents différents. Quelle est la propriété du faisceau réfléchi ? Est-elle utile ?

[1 points]

Question 2)

La distance Terre-Lune valant en moyenne 380 000 km, déterminer la durée du trajet du faisceau lumineux. La précision temporelle de la mesure étant de l'ordre de quelques dizaines de picosecondes, en déduire l'ordre de grandeur de la précision en distance par le faisceau laser.

[1 points]

Lentille gravitationnelle

Difficulté : ☆☆ Temps : 40 min

On souhaite mesurer le décalage temporel entre 2 images d'une même source, résultant du phénomène de lentille gravitationnelle : la lumière d'une source lointaine (typiquement un quasar) est défléchie par la présence d'une masse élevée (typiquement un amas de galaxies) sur la ligne de visée. Cette déflexion s'interprète dans le cadre de la relativité générale : la présence d'une très grande masse courbe l'espace-temps, ce qui infléchit la trajectoire de la lumière. On suppose la géométrie de l'observation fixée par le schéma ci-joint, avec le quasar et l'amas de galaxies et T la Terre.

Lentille gravitationnelle

Phénomène de lentille gravitationnelle observé par le télescope spatial HST en direction de l'amas Abell 1689. De multiples images d'un quasar sont visibles, qui apparaissent comme des arcs centrés sur l'amas déflecteur.

Crédit : NASA

Schématisation de l'effet de lentille gravitationnelle.

Crédit : ASM

Question 1)

Déterminer la distance d'=d'_1+d'_2 correspondant au trajet dévié quasar-lentille-Terre. On note epsilon_2 le petit angle entre l'image directe et l'image déviée.

[2 points]

Question 2)

Expliciter la différence de chemin optique entre les 2 rayons.

[1 points]

Question 3)

Faire l'application numérique. On prendra $d_1=d_2 = 1 {\,\mathrm{Gpc}}$ et $\varepsilon_1= \varepsilon_2 = 2"$ . Donner le résultat en pc ainsi qu'en temps de lumière.

[2 points]

Question 4)

Certains quasars présentent des variations rapides de flux et sont vus sous différents angles, suite à de multiples chemins optiques possibles, plus ou moins déviés selon la géométrie (potentiellement complexe) du déflecteur. Estimer l'ordre de grandeur du délai maximal entre 2 images du quasar ?

[1 points]

Globules déphasés

Difficulté : ☆☆ Temps : 1 h

Dans cet exercice, l'étoile céphéide RS Pup éclaire des globules de son environnement. On détecte la courbe de lumière de l'étoile. Les globules montrent une courbe de lumière avec les mêmes variations mais décalées d'un temps qui correspond au temps mis par la lumière pour aller de l'étoile au globule. Le but de l'exercice est d'estimer quel déphasage est attendu pour chaque globule.

Pour cela, on se propose d'abord, à l'aide de l'appliquette ci-jointe, d'estimer la distance angulaire entre la céphéide RS Pup et les globules de la nébuleuse de son environnement. On suppose que les globules et l'étoile sont dans le même plan.

RS Pup

Question 1)

À partir de l'échelle, étalonner le rapport d'unité u, pour retranscrire directement une mesure non pas en pixel mais en seconde d'arc.

[1 points]

Question 2)

Estimer la distance angulaire $\theta$ de chaque globule et remplir la colonne correspondante du tableau présenté par la 2ème appliquette.

[1 points]

Question 3)

Traduire ces distances angulaires en distances en UA, sachant que le système étoile et globules est à 2.0 kpc de la Terre.

Puis calculer les phases des globules, sachant que la période de la céphéide est P=41,44 jours.

[1 points]

Unités angulaires

Observer

Se repérer

Les cartes du ciel ci-jointes repèrent les étoiles les plus brillantes par 2 coordonnées angulaires, pour 2 régions du ciel, sur l'équateur céleste ou proche du pôle nord céleste.

L'une de ces coordonnées angulaires, appelée ascension droite, est exprimée en unités horaires (h, min, s).

La pleine échelle vaut 24 h, équivalant à 1 tour de ciel, ou 360 degrés.

Carte du ciel, dans la région d'Orion. Les étoiles sont repérées par leurs coordonnées équatoriales (ascension droite en abscisse, déclinaison en ordonnée), analogues aux coordonnées géographiques (longitude, latitude) utilisées pour un lieu sur Terre. Magnitudes et types spectraux sont également indiqués.

Crédit : BSC/ASM

Carte du ciel, autour de l'étoile polaire. Les étoiles sont repérées par leurs coordonnées équatoriales, analogues aux coordonnées géographiques (longitude, latitude) utilisées pour un lieu sur Terre.

Crédit : BSC/ASM

Carte des constellations de l'hémisphère Nord. On y reconnaît la Grande Ourse, le Lion, le Triangle, les Gémeaux...

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Constellations

Les constellations réunissent de façon arbitraire des étoiles voisines. Les histoires que racontent les constellations ou les groupes de constellation offrent un support à la mémoire.

Les tracés de constellation peuvent joindre les étoiles (la Grande Ourse devenant ainsi une casserole), ou peuvent les délimiter (les représentations du cours ont choisi cette convention de l'Union Astronomique Internationale).

Apprendre

Coordonnées équatoriales

Le ciel, sans la dimension de profondeur, est analogue à la surface d'une sphère. Usuellement, on y repère un astre par son ascension droite et sa déclinaison. Ces 2 coordonnées sont définies dans un repère lié à la Terre : un des axes s'appuie sur l'axe polaire terrestre, l'autre sur l'équateur.

La déclinaison, équivalant à la latitude, varie de -90 à +90 degrés, ces limites pointant respectivement les pôle sud et nord célestes.

L'ascension droite est comptée en heure, minute et seconde. L'origine des ascensions droites est la direction du point vernal.

La conversion entre heure, minute et seconde d'une part, et degré, minute d'arc et seconde d'arc d'autre part, est donnée par la table ci-jointe.

La conversion entre heure, minute et seconde d'une part, et degré, minute d'arc et seconde d'arc d'autre part, est donnée par la table ci-jointe qui propose une conversion entre les unités horaires et angulaires. Le facteur 15 provient simplement de la division du jour (1 tour, ou 360 deg), en 24 heures, soit une rotation de 15 deg/h. Attention à bien respecter les unités, afin de ne pas confondre minute horaire et minute angulaire, qui ne sont pas égales.

Conversions angulaires
1 heure = 15 deg	1 deg = 4 min	1 deg = 0.0174 rad
1 minute= 15'	1 ' = 4 s	1' = 0.29 mrad
1 seconde= 15"	1" = 1/15 s	1" = 5 microrad

Ecriture

Il est nécessaire de distinguer l'écriture décimale de l'écriture développée dans ces systèmes d'unités qui reposent sur une base non décimale.

Par exemple : $1.50^\circ = 1^\circ 30'$ , mais $1.30^\circ \not = 1^\circ 30'$

Conversion en radian

L'unité angulaire dans le système international d'unités (SI) est le radian. Vu l'usage intensif de la seconde d'arc en astronomie, il est utile d'avoir en tête l'ordre de grandeur :

$1"\ \simeq\ 5.10^{-6} {\,\mathrm{rad}}$

Simuler

Cartographie

Exemple d'utilisation de l'appliquette : galaxie NGC1316, elliptique, en train de cannibaliser une petite galaxie elliptique.

Coordonnées

A l'aide du curseur, estimer les coordonnées angulaires des points du champ dans la constellation d'Orion, pour en déduire l'ordre de grandeur de ses dimensions angulaires.

Vérifier l'accord avec les coordonnées 2000 de 4 objets du champ, et repérer la nébuleuse d'Orion M42.

étoile	$\alpha$ (h, min, s)	$\delta$ (deg, ', ")
Bételgeuse	05 55 10	+07 24 25
Rigel	05 14 32	-08 12 06
Bellatrix	05 25 08	+06 20 59
M 42	05 35 17	-05 23 28

Carte du ciel

Reprendre le relevé pour la carte synthétique de la région d'Orion. Pourquoi l'accord est-il meilleur ?

S'exercer

Un tour de ciel

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

En unité naturelle angulaire, le ciel, comme toute sphère, couvre $4\pi$ stéradians (pour s'en convaincre si besoin est, se rappeler l'aire de la sphère de rayon ). L'astronome préfère exprimer les angles en degré, heure et minute d'angle $(º, \ ',\ ")$ . Les instruments astronomiques ont des champs de vue qui varient typiquement de $1" \times 1"$ à $1^\circ \times 1º$ pour les instruments grand champ.

Question 1)

Traduire $4\pi {\,\mathrm{sr}}$ en degré carré, puis en minute et seconde carrée.

Question 2)

Un instrument imageur couvre un champ carré de 12' de côté (projet DENIS, mené à l'Observatoire Austral Européen (ESO), pour la cartographie infrarouge du ciel austral). Il pose en 3 couleurs dans l'infrarouge (filtres I, J, K à respectivement 0.85, 1.25 et 2.15 micromètres), avec des temps de pose de l'ordre de 10 à 30 s, soit environ 1 minute pour les 3 filtres. Il permet ainsi de cartographier une moitié du ciel, jusqu'aux magnitudes limites 18.5 à 14. Estimer la durée du programme d'observation (5 h/nuit pour compter les aléas divers et météorologiques).

S'évaluer

Détails lunaires

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

La surface de la Lune a été observée par le système d'optique adaptative (OA) de l'ESO. Les clichés ci-joints permettent de comparer l'apport de cette technique. La largeur totale du champ représente 26", pour 201 pixels.

Avec optique adaptative (à droite), la surface de la Lune présente des détails inaccessibles sur l'image non corrigée (système d'OA NAOS, développé pour le VLT à l'ESO). La largeur totale du champ représente 26".

Crédit : ESO

Question 1)

Quelle est la taille angulaire d'un pixel ? En déduire la taille linéaire, en km, du champ de vue d'un pixel et du champ de vue total, la Lune étant à 384 000 km de la Terre lors de l'observation.

[2 points]

Question 2)

À l'aide de l'appliquette, estimer le diamètre apparent du gros cratère, les tailles des plus petits détails visibles, avec ou sans optique adaptative.

[1 points]

Unités de temps

Observer

Rotation du ciel, ou de la Terre ? La régularité du mouvement en fait une "bonne" horloge.

Crédit : CFHT

La rotation de la Terre

La mesure du temps, comme la définition des unités de temps, s'appuie sur des rotations régulières : la rotation propre de la Terre, sa révolution autour du Soleil.

Nombre de diviseurs de la base

Le décompte du nombre de diviseurs de la base utilisée (1 et la base non compris) montre que 60 présente un maximum local prononcé, et que c'est le premier nombre à atteindre 10 diviseurs.

Crédit : ASM

Heure, minute et seconde

La découpe des jours en 24 heures est une longue histoire... A l'époque où le temps n'était défini qu'à la précision d'une clepsydre ou d'un cadran solaire, la définition même de l'heure est restée vague, et sa durée variable.

Quantitativement, la base 24 provient des Egyptiens, pour qui 24 h = 12 h de jour + 12 h de nuit, avec 12 = 1 + 10 + 1. Le jour et la nuit égyptiens comptaient invariablement 10 heures, auxquelles étaient rajoutées 2 heures extrêmales "entre chien et loup".

Pourquoi compte-t-on 60 secondes par minute, et 60 minutes par heure ? Plus encore que pour l'heure, l'usage des minutes et secondes est récent (XVIIe siècle), vu qu'il nécessite un chronométrage précis du temps.

Quantitativement, la base 60 provient d'un héritage babylonien, et date de la fin du 3e millénaire avant notre ère. Le nombre 60 présente en effet l'avantage de posséder un grand nombre de diviseurs (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30), ce qui est commode pour les calculs de fraction lorsque les techniques de calcul d'une division ne sont pas connues.

C'est pour cette raison que 60 servait de base de calcul, en complément ou à la place de la base 10 ; cet usage a perduré de nos jours pour les mesures de temps et d'angles.

Apprendre

La mesure du temps

La mesure du temps s'est longtemps appuyée sur les mouvements les plus réguliers observables : la rotation propre de la Terre (le jour), sa révolution autour du Soleil (l'année). Ce n'est qu'en 1969 que le Bureau international des poids et mesures a abandonné la rotation de la Terre pour la définition de la seconde comme unité de temps.

La seconde correspond à l'intervalle de temps comprenant 9 192 631 770 oscillations entre les deux niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'atome de césium 133.

Durées

Il n'y a pas d'unités temporelles spécifiques en astrophysique, contrairement aux nombreuses unités de distance.

La seconde apparaît une unité ni mieux ni moins bien appropriée que pour d'autres domaines que la physique.

L'année est de facto une unité pratique pour les problématiques circum-stellaires, vu qu'elle a été définie comme unité "circumsolaire". Il suffit juste de s'habituer, dans certains cas, à l'usage des grands nombres, et de compter en millions, voire milliards d'années.

Temps de lumière

L'usage du temps de lumière est sans ambiguïté, dès lors que la célérité de la lumière est une constante universelle. Un temps de lumière est une distance, et correspond à la durée du trajet si l'on chevauche un photon.

Définition

La célérité de la lumière dans le vide est un invariant, fixé par définition à 299 792 458 m/s.

Echelles de temps caractéristiques

Les unités dérivées les plus utiles sont des échelles de temps caractéristiques, appropriées à l'étude précise d'un problème. Ces échelles de temps sont définies par :

La physique d'un problème, qui introduit les grandeurs pertinentes pour l'analyse d'un problème
L'analyse dimensionnelle, qui permet la plupart du temps de construire de manière univoque une grandeur physique en fonction d'un nombre limité d'autres grandeurs, celles justement dévoilées par l'analyse physique précédente.

On définit ainsi, pour un système donné, des échelles de temps caractéristiques telles :

Echelle de temps dynamique : Dans l'environnement d'un objet de masse et rayon , un phénomène gouverné par la gravitation aura naturellement une constante de temps de l'ordre de $\sqrt{R^3/ {\cal G} M}$ (vérification proposée en exercice)
Echelle de temps thermique : Un objet disposant d'un réservoir d'énergie et émettant une luminosité totale (càd une puissance) peut le faire pendant typiquement la durée .

S'exercer

QCM

1) Une grandeur exprimée en année de lumière est
un temps
une distance
l'un ou l'autre

Echelle de temps dynamique

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

On considère un objet autogravitant de masse , rayon , et on s'intéresse à son échelle de temps dynamique.

Question 1)

Quelle constante fondamentale de la physique intervient nécessairement dans toute formulation de la physique du problème.

Question 2)

Montrer, avec le minimum de calcul possible, que $\sqrt{{\cal G}M / R}$ est homogène à une vitesse, et en déduire que $\sqrt{R^3 / {\cal G}M}$ est homogène à un temps.

Question 3)

Montrer que $t _{\mathrm{dyn}}$ peut s'exprimer en fonction de la masse volumique moyenne $\bar{\rho}$ de l'objet.

Question 4)

Faire l'application numérique pour la Terre, la Galaxie, un petit noyau cométaire. On choisira une constante multiplicative $2\pi$ :

$t _{\mathrm{dyn}} \ = \ 2 \pi \ \sqrt{R^3 \over {\cal G} M }$

Données
Objet	Masse (kg)	Rayon (km)
noyau cométaire	$6\ 10^{11}$	1
la Terre	$6\ 10^{24}$	6400
la Voie Lactée	$2\ 10^{41}$	15 000 pc

La vie du Soleil en 1 an seulement

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

Quelques événements
La formation du système solaire	en an après le Soleil
L'apparition du dioxygène atmosphérique	$-0,4\cdot 10^9$ an
La disparition des dinosaures	$-65\cdot 10^6$ an
Notre ancêtre Lucy	$-2\cdot 10^6$ an
La maîtrise de l'écriture	avant JC
Votre naissance	...
Hier

Question 1)

Reporter dans un graphe en échelle logarithmique les événements suivants de l'histoire de la Terre depuis la naissance du Soleil [ $-4,56\cdot 10^9$ an].

Déterminer leur date, sur la base d'une année, la formation du Soleil débutant le 1er janvier à 0 heure, et aujourd'hui correspondant à minuit du 31 décembre.

S'évaluer

Durée d'effondrement

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

L'échelle de temps dynamique d'un objet autogravitant donne un bon ordre de grandeur de la durée caractéristique de l'éventuel effondrement de cet objet.

	Masse (kg)	Rayon (km)
Soleil	$2\ 10^{30}$	700 000
Étoile à neutrons	$3\ 10^{30}$	10
Nuage d'hydrogène moléculaire	$1\ 10^{33}$	10 AL

Question 1)

Rappeler l'expression de cette échelle de temps, fonction de la masse , du rayon et de la constante gravitationnelle $\cal G$ .

[2 points]

Question 2)

Calculer l'échelle de temps pour les 3 objets proposés. Commenter.

[3 points]

Quelle source d'énergie ?

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

Question 1)

Estimer le réservoir d'énergie gravitationnelle, fonction de la masse , du rayon du Soleil, et de la constante gravitationnelle $\cal G$ . Faire l'application numérique.

	Masse (kg)	Rayon (km)	Luminosité (W)
Soleil	$2\ 10^{30}$	700 000	$4 \ 10^{26}$

[2 points]

Question 2)

En déduire l'échelle de temps associée à ce réservoir d'énergie. Est-elle compatible avec l'âge du Soleil ?

[2 points]

Question 3)

On s'intéresse au réservoir d'énergie nucléaire. Le rendement énergétique de la fusion de l'hydrogène en hélium est de 0.007, ce qui signifie que la fusion d'une masse d'hydrogène dégage une énergie $0.007\ mc^2$ . On estime, pour une étoile telle que le Soleil, qu'un dixième seulement de sa masse fusionnera. En déduire une estimation de la durée de vie du Soleil.

[2 points]

Conclusion

Cette section a permis d'introduire des ingrédients indispensables pour un champ d'activité fécond de l'astrophysique : l'étude des objets binaires dans le voisinage solaire (cf systèmes binaires et multiples).

Pour un tel système binaire, repéré par 2 angles directement obtenus par l'observation (parallaxe $\Pi$ et séparation angulaire $\alpha$ ) et mesurés en seconde d'angle, on connaît alors immédiatement la distance en parsec :

$d \mathrm{ \ (pc)}\ =\ {1\over \Pi \mathrm{\ (")}}$

et la séparation linéaire en unité astronomique :

$a \mathrm{ \ (UA)}\ =\ \alpha \mathrm{\ (")} \ d \mathrm{ \ (pc)}$

Relation dans un triangle, avec une distance en parsec, un angle en seconde d'arc, et une mesure en UA.

Crédit : ASM

Triangulation

Auteur: Benoît Mosser

Introduction

La triangulation permet de mesurer des distances... à distance, la géométrie euclidienne rapportant à une mesure angulaire une mesure de distance.

La mesure du méridien

Triangulation du méridien de Paris, oeuvre de la Révolution.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Relation dans un triangle

Observer

Trianguler

Mesurer une hauteur ou une distance ... à distance est souvent nécessaire, et nombreuses sont les illustrations mettant en pratique la mesure de distances par triangulation. Remarquer l'esthétique de ces représentations !

Mesures

Mesure de la hauteur du Soleil.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Mesurer une distance

Vive Thalès !

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Apprendre

Prérequis

Relations trigonométriques

Relations dans un triangle

Dans un triangle de côtés , et et d'angles opposés , et , la relation du triangle s'énonce :

${\sin A \over a} = {\sin B \over b} = {\sin C \over c}$

Il en découle que la mesure de seulement deux angles et d'un côté du triangle permet de calculer les autres côtés.

En effet, le 3e angle est alors connu, par la relation dans un triangle, en géométrie plane :

$A+B+C\ =\ 180º$

La relation liant côtés et angles permet alors de connaître la mesure de chaque côté.

Définition des angles et côtés du triangle.

Crédit : ASM

Application

Si, p.ex, le côté est directement accessible à la mesure (p.ex. une distance sur Terre), ainsi que, que les angles et , on a accès aux distances et (attention, les notations de la figure de principe sont différentes).

Le principe de la mesure de triangulation pour la mesure de la distance de la Lune.

Crédit : IMCCE

S'évaluer

Incertitudes de mesure

Difficulté : ☆ Temps : 15 min

Question 1)

On mesure la parallaxe d'une étoile $p = 0.091" \pm 0.009"$ . A quelle distance est cette étoile ? Avec quelle précision ?

[2 points]

Question 2)

Le satellite européen HIPPARCOS a mesuré des parallaxes stellaires avec une précision moyenne de l'ordre de 1 mas (0.001 seconde d'arc). Jusqu'à quelle distance les mesures ont pu être obtenues avec une précision relative meilleure que 20% ?

[2 points]

Question 3)

Le projet GAIA doit atteindre une précision de l'ordre de 0.001 mas. Jusqu'à quelle distance pourra-t-on espérer la même précision relative ?

[1 points]

La Terre et le mètre

Observer

La mesure du méridien

Triangulations successives, le long d'un méridien. Remarquer l'unité utilisée comme échelle : la toise... qui signe sa future désuétude, vu qu'elle participe à la mesure du rayon de la Terre, et donc à la définition du mètre.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

La mesure du méridien

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

La mesure de la Terre

Par triangulation, les astronomes Delambre et Méchain ont mesuré la Terre, et défini le mètre, à la fin du XVIIIe siècle. Ils ont parcouru un arc de méridien, de Dunkerque à Barcelone, par une succession d'étapes formant des triangles juxtaposés. La mesure d'un seul des côtés d'un seul des triangles, la base, et de l'ensemble des angles a permis de déterminer la longueur de l'arc du méridien de Barcelone à Dunkerque, en passant par Paris.

La mesure du mètre

Le lien entre la mesure du méridien de Dunkerque à Montjouy, et la nouvelle unité : le mètre.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

La mesure du mètre

L'extrapolation de la mesure du méridien, de l'équateur au pôle nord, a alors été effectuée. Par définition, la longueur de ce quart de méridien a été posée égale à 10 000 km, ou 10 millions de mètres. Le mètre est à la mesure du quart de méridien terrestre (aujourd'hui : le mètre est devenu une unité dérivée, définie à partir de la seconde et de la vitesse de la lumière).

Ce n'est donc pas un hasard si l'équateur mesure 40 000 km. Le léger résidu provient d'une meilleure mesure, ultérieure, de la figure de la Terre, la mesure du mètre étant définitivement figée.

Conclusion

L'importance de la mesure par triangulation se retrouve dans bien des thématiques.

C'est en opérant des triangulations astucieuses que Kepler a déterminé la nature de l'orbite de Mars, pour en dériver ses lois ; il lui fallut se positionner dans le bon référentiel, héliocentrique, et considérer différents événements à différentes dates pour conduire les mesures.

De manière plus moderne, c'est à une sorte de triangulation que se livrent les astrophysiciens pratiquant l' interférométrie pour mesurer de très petits diamètres angulaires : en élargissement la base d'observation, ils arrivent à retrouver l'information de la distance.

La mission Gaia , lancée fin 2013 développe le sens de la triangulation à l'échelle de notre Galaxie.

Et donc l'altitude de la tour vaut...

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Systèmes de coordonnées

Auteur: Benoît Mosser

Introduction

Cette section traite plus spécialement de questions spécifiques à l'astronomie, liées au fait que le lieu d'observation, la Terre, a la fâcheuse habitude de tourner !

Observation d'une supernova par Kepler, en 1572.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Référentiels et coordonnées

Observer

Carte du ciel, autour de l'étoile polaire. Les méridiens convergent au pôle nord. Les cercles sont des lignes d'iso-déclinaison.

Crédit : BSC/ASM

Éphéméride sur 15 jours de Jupiter. L'ascension droite (RA = right ascension) et la déclinaison sont données en fonction du temps universel UTC.

Crédit : IMCCE

Cartes et éphémérides

Les cartes et les éphémérides donnent les positions des objets dans des coordonnées particulières, le plus souvent les coordonnées équatoriales.

Monture équatoriale

L'axe polaire de la monture équatoriale pointe vers le nord ; son inclinaison dépend donc de la latitude du lieu d'observation. L'axe de déclinaison lui est perpendiculaire. Ex: grande lunette de l'observation de Poulkovo (Saint-Pétersbourg, Russie).

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris-Meudon

Monture équatoriale en berceau

Monture équatoriale en berceau. L'axe équatorial, dans le plan de l'image, est matérialisé côté nord par une forme en fer à cheval ; l'axe de déclinaison est perpendiculaire au plan de l'image.

Crédit : CFHT

Monture équatoriale

Dans un système d'axes liés à la Terre, avec un axe parallèle à l'axe polaire et un autre perpendiculaire, on travaille en coordonnées équatoriales, comme avec un télescope en monture équatoriale. Un cas particulier de monture équatoriale est la monture en berceau, utilisée pour la plupart des grands instruments de la classe 4-mètres construits dans les années 1970-80.

Monture azimutale

Les axes d'une monture azimutale sont simplement verticaux et horizontaux. Tous les grands télescopes sont aujourd'hui tous construits avec une telle monture. Le bâtiment tourne avec le télescope pour le pointage en azimut.

Crédit : ESO

Monture azimutale

Les coordonnées locales servent au pointage d'un télescope en monture azimutale : l'un des axes est selon la verticale locale, l'autre lui est perpendiculaire. Pour des raisons techniques, les grands télescopes récents ont tous une monture azimutale.

Apprendre

Objectifs

Illustrer les référentiels utilisés, munis de leurs repères, et y définir les coordonnées des objets.

L'axe horaire (flèche orange) d'une monture équatoriale est parallèle à l'axe de rotation de la Terre (flèche rouge). En un lieu de latitude $\phi$ , cet axe est incliné de $\phi$ par rapport à l'horizontale (si l'on néglige l'aplatissement de la Terre).

Crédit : ASM

Référentiel géocentrique

Si l'on se repère dans un système d'axes liés à la Terre, avec un axe parallèle à l'axe polaire, et un autre perpendiculaire, on travaille en coordonnées équatoriales, comme un télescope en monture équatoriale.

Ascension droite et déclinaison

Coordonnées équatoriales : ascension droite, repérée à partir du point vernal, et déclinaison, par rapport à l'équateur céleste.

Crédit : ASM

Point vernal

Le point vernal est à l'intersection de l'écliptique et de l'équateur céleste, côté printemps.

Crédit : ASM

Les coordonnées équatoriales $(\alpha, \ \delta)$ ne dépendent pas du lieu d'observation. Ce sont elles qui sont données par les catalogues d'objets ou les éphémérides. L'origine des ascensions droites est le point vernal. La déclinaison est nulle sur l'équateur céleste.

Référentiel local

Si l'on se repère par rapport au zénith et à l'horizon local, qui n'est qu'une extension du référentiel du laboratoire, les coordonnées locales permettront de rendre compte de l'élévation d'un astre, et de sa position par rapport au méridien. Ces coordonnées, azimut , hauteur , servent au pointage d'un télescope en monture azimutale.

Coordonnées locales

Les angles

, hauteur et azimut, sont repérés par rapport à des axes horizontaux et verticaux.

Crédit : ASM

Référentiel galactique

Les coordonnées galactiques sont définies par rapport au plan de la galaxie. Elles sont évidemment bien utiles pour décrire notre galaxie, mais également pour se repérer dans le ciel profond. Il est en effet plus facile d'observer le ciel profond au voisinage des pôles galactiques, moins encombrés par les objets de la galaxie.

Coordonnées galactiques

Représentation de la carte du ciel, en coordonnées galactiques. La Voie Lactée s'étend de part et d'autre de l'équateur galactique. Cet équateur est le support de la longitude galactique, la latitude galactique mesurant l'éloignement à la Voie Lactée.

Crédit : Observatoire de Paris

Simuler

Pas de rotation apparente du champ avec une monture équatoriale. Le champ se déplace parallèlement à une ligne d'égale déclinaison : les cibles sont figées dans le champ.

Crédit : ASM

Avec une monture azimutale, le champ se translate par rapport à l'horizon, ce qui conduit à une rotation apparente des cibles.

Crédit : ASM

Rotation du champ

Le choix de la monture n'est pas sans incidence sur l'observation. Une monture équatoriale permet de suivre un champ sans rotation de champ, car elle fige la rotation totalement, contrairement à une monture azimutale. En effet, cette dernière propose une translation du champ, autour de l'objet central, parallèlement à l'horizon terrestre, et non le long d'une ligne d'égale déclinaison.

Les 2 animations illustrent ceci, en modélisant l'observation d'un même champ stellaire avec un collecteur sur monture équatoriale ou azimutale.

S'exercer

Trigonométrie sphérique

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

Un peu de trigonométrie sphérique nous apprend que la distance angulaire entre 2 objets A et B de coordonnées équatoriales respectives $( \alpha _{\mathrm{A}}, \, \delta _{\mathrm{A}})$ et $( \alpha _{\mathrm{B}}, \, \delta _{\mathrm{B}})$ s'écrit :

$d = {\mathrm{acos}} \left[ \sin \delta _{\mathrm{A}} \sin \delta _{\mathrm{B}} + \cos \delta _{\mathrm{A}} \cos \delta _{\mathrm{B}} \cos( \alpha _{\mathrm{A}} - \alpha _{\mathrm{B}}) \right]$

Question 1)

Vérifier cette expression dans le cas particulier où A et B sont 2 objets sur l'équateur céleste.

[1 points]

Question 2)

Vérifier cette expression dans le cas particulier où A et B ont même ascension droite.

[2 points]

Question 3)

Vérifier cette expression dans le cas particulier où A et B sont séparés de 12 h en ascension droite. Préciser le résultat lorsque, en plus, les déclinaisons sont égales.

[3 points]

Le temps sidéral : définition

Observer

Midi solaire

L'entraînement annuel de la Terre étant ici très fortement exagéré, il apparaît clairement qu'une étoile donnée (une direction fixe), revient en face de l'observateur, symbolisé par un trait rouge, avant que le Soleil ne repasse au méridien.

Crédit : ASM

"Chacun voit midi à sa porte".

La rotation de la Terre autour du Soleil se combine à sa rotation propre pour définir la durée de 24 heures entre deux passages du Soleil au méridien.

Le soleil sur fond d'étoiles

Si l'on voyait les étoiles de jour, on s'apercevrait que le Soleil se déplace sur le fond stellaire, déplacement relatif induit par la révolution de la Terre.

Crédit : ASM

Les étoiles doublent le Soleil

La révolution de la Terre autour du Soleil entraîne le déplacement apparent de celui-ci par rapport aux étoiles, déplacement que l'on ne perçoit pas directement... sauf si l'on éteint un peu le soleil (on pourrait aussi souffler l'atmosphère).

Le temps sidéral à minuit à Greenwich, au cours de l'année. Une étoile culmine à minuit à la date où le temps sidéral vaut son ascension droite.

Crédit : ASM

Le temps sidéral

Le temps sidéral, qui donne l'ascension droite d'une étoile culminant à minuit, varie de 24 h sur l'année. L'origine est à l'équinoxe de printemps.

Apprendre

Objectifs

Comment savoir si une étoile est visible ou non ? Il faut connaître le temps des étoiles.

Un référentiel stellaire

C'est le Soleil qui définit le jour et la nuit. Mais comme la Terre tourne autour du Soleil, cette alternance jour/nuit n'est pas en phase avec les étoiles. Le temps sidéral, qui est plus à considérer comme un angle sidéral que comme un temps, permet de se repérer indépendamment du mouvement de rotation autour de la Terre.

Le temps sidéral : définition

Le temps sidéral, c'est, littéralement, le temps des étoiles, et non celui du Soleil. Si le passage du soleil définit, entre 2 midis successifs, la journée moyenne de 24 h, celui des étoiles définit une autre "journée" de seulement 23 heures et 56 minutes en temps solaire, mais 24h00 en temps sidéral.

Définition du temps sidéral

Le temps sidéral est l'angle horaire entre le méridien sud et le point vernal.

De cette définition, on retient que le temps sidéral est plutôt une position angulaire qu'un temps. Il se note comme une ascension droite, en h, min et s. Mais comme la définition n'est pas très pratique, on peut donner un équivalent de définition.

'Définition pratique' du temps sidéral

Le temps sidéral est l'ascension droite des objets qui passent au méridien à un instant donné.

23h56min04s

Les étoiles reviennent en une même position en 23h56min04s. Les 236 secondes manquantes par jour, cumulés sur un an, représentent 24 heures, soit l'équivalent d'une rotation, celle que la Terre a fait par rapport aux étoiles mais pas par rapport au Soleil.

Jour, heure, minutes et seconde sidérales ne valent pas leurs équivalents solaires. Le rapport vaut 366.25/365.25

Temps sidéral/temps solaire
Temps sidéral	Temps solaire
24h00	23h56min
24h04	24h00min
1.002738 s sidérale	1 s solaire
1 s sidérale	0.997269 s solaire

Angle horaire

L'angle horaire d'un astre repère sa position par rapport au méridien. Une étoile de déclinaison nulle de lève avec un angle horaire de -6 h, et se couche à +6 h. A angle horaire nul, elle passe au méridien et culmine.

Angle horaire, ascension droite et déclinaison

En pratique, le temps sidéral, exprimé en heure et minute, correspond à l'ascension droite d'un objet dans le plan méridien. Les éphémérides définissent le temps sidérale par les coordonnées.... du Soleil.

La relation entre l'ascension droite $\alpha$ d'une étoile, son angle horaire et le temps sidéral s'exprime :

$S\ =\ \alpha + H$

L'angle horaire est nul au méridien, et donc un astre culmine au méridien lorsque son ascension droite vérifie :

$\alpha\ = \ S$

Lorsqu'une étoile culmine, son angle horaire est nul, son ascension droite égale au temps sidéral local.

Crédit : ASM

S'exercer

QCM

1) Le temps sidéral représente l'angle horaire du soleil ?
vrai
faux

2) Les étoiles se lèvent environ 4 minutes plus tôt chaque jour ?
vrai
faux

3) Le temps sidéral recule d'environ 4 minutes par jour ?
vrai
faux

4) Le temps sidéral s'écoule-t-il plus vite ou moins vite que le temps universel ?
plus vite
moins vite
même allure

Le temps sidéral : détermination

Apprendre

Objectifs

Comment calculer le temps sidéral.

Le temps sidéral à Greenwich

Les éphémérides du Soleil donnent le temps sidéral $S _{\mathrm{G, 0}}$ à 0h00 TU à Greenwich.

On en déduit le temps sidéral $S _{\mathrm{G}}$ , toujours à Greenwich, mais à toute heure TU du temps universel en augmentant le temps sidéral de TU à un facteur près ; ce facteur rend compte de la différence entre 24h00 et 23h56.

$S _{\mathrm{G}}\ =\ S _{\mathrm{G, 0}} + TU \times 1.0027379 \ (\mathrm{avec \ } 1/0.0027379 = 365.25)$

L'origine du temps sidéral est à minuit à l'équinoxe d'automne. Chaque jour, le temps sidéral prend environ 4 minutes d'avance sur le temps universel.

Le temps sidéral ailleurs

On passe ensuite au temps sidéral en tout lieu en la retranchant au temps sidéral à Greenwich la longitude $\lambda$ du lieu d'observation :

$S\ =\ S _{\mathrm{G}} - \lambda$

Cette équation signifie que le temps sidéral dépend intimement du lieu d'observation. A un instant donné, chacun voit minuit à sa porte : les étoiles qui culminent au méridien dépendent du lieu d'observation, et donc le temps sidéral est partout différent (sauf pour les lieux de même longitude). Néanmoins, le temps sidéral correspondant au passage au méridien d'une étoile donnée est par définition le même en tout lieu. Par exemple : une étoile va culminer à Strasbourg (longitude 7°45' est) ou Brest (4°30' ouest) à même temps sidéral, mais ce passage au méridien va survenir environ 49 minutes plus tardivement à Brest. Entre ces deux dates, le temps sidéral à Greenwich aura dérivé de 8 s par rapport au temps universel.

Simuler

Le temps sidéral à Greenwich

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du temps sidéral à Greenwich à 0h00, au cours de l'année 1997 (données de l'IMCCE).

S'en servir pour déterminer le temps sidéral à toute date.

S'exercer

S'évaluer

Quand demander du temps de télescope ?

Difficulté : ☆☆ Temps : 30min

Un observateur souhaite obtenir du temps de télescope à l'ESO (observatoire austral européen). Les appels d'offres sont ouverts chaque semestre, pour des observations courant respectivement du 1er avril au 30 septembre, puis du 1er octobre au 31 mars. Il faut choisir des cibles en conséquence.

Question 1)

Le programme d'observation requiert des cibles visibles toute la nuit. Traduire cette condition en une relation entre l'ascension droite de la cible et le temps sidéral à minuit.

[2 points]

Question 2)

Quelles cibles (définies par leur ascension droite) seront observable au semestre 01/04-30/09 ?

[1 points]

Question 3)

Un autre observatoire propose des semestres d'observation du 1er mars au 31 août, puis 1er septembre au 28 février. Comment est modifié le résultat ?

[1 points]

Période sidérale, période synodique

Apprendre

Objectifs

La mesure de la période d'un phénomène dépend du référentiel.

Selon le point de vue, vu de la Terre ou du Soleil, un phénomène périodique ne présentera pas la même période.

Le point de vue sidéral

Un phénomène sidéral est décrit dans le référentiel héliocentrique. Il se repère en pratique sur un fond d'étoiles, fixe.

Le point de vue synodique

Un phénomène synodique est décrit dans un référentiel lié à la Terre, mais non géocentrique. Il se repère par rapport à un système d'axes dont l'un pointe en permanence vers le Soleil.

C'est évidemment la définition du jour moyen (24 h en moyenne s'écoulant entre deux passages successifs du Soleil au méridien) qui impose le point de vue synodique.

Entre les points de vue sidéral et synodique, il y a donc un désaccord d'un tour par an !

Exemple

La période de révolution sidérale de Jupiter est de l'ordre de 12 ans : une révolution complète de Jupiter autour du Soleil dure 12 ans. Pratiquement, l'ascension droite de Jupiter va évoluer de 360 deg en 12 ans. Observé de la Terre, Jupiter va mettre 12 ans pour revenir dans une constellation donnée.

Mais la période de révolution synodique de Jupiter est de 13 mois seulement. Si à une date donnée, Jupiter est à l'opposition, il s'écoulera 13 mois avant l'opposition suivante. Au bout de 13 mois, Jupiter à l'opposition sera dans une constellation différente, à environ 30 deg (360/12) de la précédente.

Correspondance entre périodes sidérale et synodique des planètes du système solaire.

Crédit : ASM

Simuler

Le mouvement de Mars, suivi par pas de 10 jours, sur une période synodique

Crédit : ASM

Le mouvement de Jupiter, par pas de 20 jours, repéré sur une carte en coordonnées équatoriales. Jupiter étant plus éloigné que Mars, sa boucle de rétrogradation est de moindre ampleur ; elle est également peu ouverte, car les plans orbitaux de Jupiter et de la Terre sont quasiment confondus.

Crédit : ASM

Le mouvement apparent des planètes externes

Les animations ci-jointes montrent le mouvement apparent de Mars et de Jupiter. Lorsque la Terre double la planète, celle-ci semble rétrograder sur le fond d'étoiles.

S'exercer

Conclusion

Temps des étoiles, temps mesuré depuis la Terre... il est important de s'y retrouver. De manière générale, une mesure depuis la Terre sera synodique ; mais une loi physique s'exprimera avec une grandeur sidérale.

Retenir du temps sidéral que c'est un angle plus qu'un temps.

Les points de vue diffèrent, depuis la Terre ou vu du Soleil.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Réponses aux QCM

pages_unite-distance/unite-distance-sexercer.html

QCM

Question 1
Solution : réponse 2)
Question 2
Solution : réponse 3)
Question 3
Solution : réponse 3) ( En effet, la Terre tourne rond vu du Pôle )
Question 4
Solution : réponse 1)
Question 5
Solution : réponse 3) ( C'est le diamètre maximal de Jupiter, dans les conditions d'observation optimales )
Question 6
Solution : réponse 1)
Question 7
Solution : réponse 2)

pages_unite-angle/unite-angle-sexercer.html

QCM

Question 1
Solution : réponse 2)
Question 2
Solution : réponse 1)
Question 3
Solution : réponse 2)
Question 4
Solution : réponse 2)

pages_unite-temps/unite-temps-sexercer.html

QCM

Question 1
Solution : réponse 2)

pages_temps-sideral/temps-sideral-sexercer.html

QCM

Question 1
Solution : réponse 2)
Question 2
Solution : réponse 1)
Question 3
Solution : réponse 2)
Question 4
Solution : réponse 1)

pages_temps-sideral-determination/temps-sideral-determination-sexercer.html

QCM

Question 1
Solution : réponse 3)
Question 2
Solution : réponse 2)
Question 3
Solution : réponse 3) ( Soit 3 mois après avoir culminé à minuit )
Question 4
Solution : réponse 2) ( En effet, la dépendance est due à la rotation de la Terre autour du Soleil, et ne dépasse pas 3 min 56 s )

pages_periode-sideral-synodique/periode-sideral-synodique-sexercer.html

QCM

Question 1
Solution : réponse 2)
Question 2
Solution : réponse 1) ( Les éclipses concernent un alignement Soleil-Terre-Lune ou Soleil-Lune-Terre )
Question 3
Solution : réponse 1) ( L'intensité de la marée dépend du triangle Soleil-Terre-Lune )
Question 4
Solution : réponse 1) ( Car justement on l'observe de la Terre )
Question 5
Solution : réponse 2)

Réponses aux exercices

pages_unites/unite-distance-sexercer.html

Exercice 'Une pomme et des pépins'

Question 1
Aide :
Calculatrice !

Solution :
Le rapport d'échelle pour passer du Soleil à la pomme, est de l'ordre de 10 milliards à 1, la moitié si l'on tient compte du fait qu'est donné le rayon du Soleil, mais le diamètre de la pomme (ce n'est pas le facteur 2 de différence qui importe ici, mais les ordres de grandeur).

Le rayon terrestre étant 100 fois plus petit que celui du Soleil, il s'ensuit un rayon équivalent pour la Terre de l'ordre de 0.7 mm. Un bout de pépin !
Question 2
Aide :
Voir la page de cours !

Solution :
La conversion des pc en m donne une distance de l'ordre de $4 \ 10^{16}$ m ; en tenant compte du rapport $10^{10}$ , cela donne une distance de 4000 km.

La première pomme étant en France, la pomme la plus proche est, au choix, presque aux Etats-Unis, en Afrique équatoriale, ou en Inde. Entre les 2 pommes, il y a de tout petits noyaux (Jupiter, Saturne...), et des bouts de pépins (la Terre...), quelques poussières et microbes (les astéroïdes et comètes), et aussi et surtout du vide.

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Exercice 'Le groupe local'

Question 1
Aide :
Echelle conseillée : $1 {\,\mathrm{kpc}} \longleftrightarrow 1 {\,\mathrm{cm}}$

Solution :
Figure à l'échelle (sauf le Soleil)

Schéma de la Voie Lactée
Crédit : ASM
Question 2
Aide :
1 pc = 3.26 AL.

Aide :
Echelle conseillée : $2\ 10^6 {\,\mathrm{AL}} \longleftrightarrow 10 {\,\mathrm{cm}}$

Solution :
Figure à l'échelle, mais orientations arbitraires.

Groupe local
Crédit : ASM

pages_unites/unite-distance-sexercer.html

Exercice 'L'Univers est plein de vide'

Question 1
Aide :
Déterminer le volume balayé par le vaisseau, nécessaire pour traverser la galaxie de part en part sans "toucher" une seule étoile.

Aide :
Ce volume est cylindrique ; son rayon dépend surtout de la taille des étoiles, pas de celle du véhicule, car il est très petit par rapport à une étoile.

Aide :
Comparer le volume précédemment trouvé au volume moyen offert à une étoile.

Solution :
Pour éviter toute mauvaise surprise, le vaisseau ne doit pas voir d'étoile, repérée par son centre, dans une section de rayon $R+d\simeq R$ (car $d\ll R$ ).

Le volume $\pi R^2\ D$ doit donc être libre de toute étoile. La probabilité d'en trouver une s'énonce $n \pi R^2 D$ , avec la densité stellaire. L'application numérique donne donc, avec $n= 1/3{ {\ \mathrm{pc}}}^{-3}$ , et $R = 2.2\ 10^{-8} {\,\mathrm{pc}}$ , $p = 1.4\ 10^{-12}$ .

Crédit : ASM
Question 2
Aide :
Bien répertorier les conditions du voyage : risque de collisions, durée du trajet, pause sandwich...

Aide :
Que voit-on exactement d'une étoile : un point, un disque, une tache de diffraction ? Et combien d'étoiles a-t-on sur un pixel ?

Solution :
Le risque de collision est minime, mais le temps de parcours ne saurait être inférieur, pour vos amis n'étant pas du voyage, à 17 000 ans (5.4 kpc $\simeq$ 17 000 AL). Pour vous, pilote, cette durée dépend de votre vitesse : mieux vaut être relativiste, pour ne pas trop vieillir !

D'un point de vue observationnel, les étoiles ne sont pas des points matériels, mais des taches de diffraction. La densité stellaire est alors telle qu'il est impossible de résoudre spatialement ces objets : ces taches de diffraction des étoiles se superposent et contribuent à l'aspect uniformément brillant du bulbe.

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Exercice 'Lentille gravitationnelle'

Question 1
Aide :
Travailler dans l'approximation des petits angles.

Si , et
Question 2
Question 3
Aide :
$2" \simeq 10^{-5} {\,\mathrm{rad}}$
Question 4

pages_unites/unite-distance-sevaluer.html

Exercice 'Globules déphasés'

Question 1
Aide :
Se servir de la fonction ligne.
Question 2
Aide :
Avoir 3 onglets ouverts, pour le cours et chacune des appliquettes.

Aide :
Sélectionner la case à remplir, et rentrer sa valeur précédée d'un symbole = dans la ligne de commande.
Question 3
Aide :
Pour convertir sans douleur les distances angulaires en UA, voir la définition du parsec : Une distance de 1 UA vue à 1 pc sous-tend 1", donc N UA à p parsec sous-tendent ...

La phase d'un globule est la distance du globule à l'étoile, mesurée en périodes de la céphéide. C'est donc le temps mis par la lumière pour aller de l'étoile au globule, divisé par la période de la céphéide.

Aide :
N UA à p parsec sous-tendent N/p secondes d'arc.

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Exercice 'Un tour de ciel'

Question 1
Aide :
1 stéradian représente un angle solide de 1 radian par 1 radian : $1 {\,\mathrm{sr}} \ = \ 1 {\,\mathrm{rad}} \times 1 {\,\mathrm{rad}}$

Aide :
Ne pas oublier que :

$2\pi {\,\mathrm{rad}} \ \equiv\ \ 360º$ °

Solution :
Avec les égalités :

$1 {\,\mathrm{sr}} \ = \ 1 {\,\mathrm{rad}} \times 1 {\,\mathrm{rad}}, \mathrm{\ et\ } 1 {\,\mathrm{rad}}\ =\ {180\over \pi} \mathrm{deg}$

il vient

$4\pi {\,\mathrm{sr}} = 4\pi \left({180\over \pi}\right)^2\ \mathrm{deg}^2 \simeq 41200\ \mathrm{deg}^2$

En multipliant par , on trouve $1.48 \ 10^8$ minutes d'angle carrées, et $5.3\ 10^{11}$ secondes d'angle carrées.
Question 2
Aide :
Se servir de la question précédente

Solution :
Le ciel entier couvrant $1.48 \ 10^8$ minutes d'angle carrées, un hémisphère représente $0.74\ 10^8$ champs de 1' par 1', soit $5.1\ 10^5$ champs de 12' par 12'.

Chaque champ nécessite 1 min de pose, soit un programme de $5.1 \ 10^5$ minutes, ou de l'ordre de 8400 h.

Il faut compter, avec des nuits de 5 h efficaces, si l'on néglige tout temps mort (changement de filtres, dépointages...), 1680 nuits, soit un programme de 4.6 années

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Exercice 'Détails lunaires'

Question 1
Aide :
Une taille angulaire $\alpha$ petite correspond, à une distance , à la taille linéaire $\ell = \alpha \ d$ . Mais il faut travailler dans le bon système d'unités.

Aide :
L'unité naturelle des angles est le radian.
Question 2
Aide :
La conversion d'unité peut être introduite dans la fenêtre rapport d'unité.

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Exercice 'Echelle de temps dynamique'

Question 1
Aide :
Il s'agit ici de gravitation.

Solution :
Dès lors que l'on parle de la gravitation, intervient la constante gravitationnelle $\cal G$ .
Question 2
Aide :
Essayez de dénicher une loi physique qui exprime une vitesse dans un problème gouverné par la gravitation.

Aide :
L'accélération normale d'un satellite en orbite circulaire peut s'écrire en fonction du champ gravitationnel, à la distance :

${v^2 \over R} = {{\cal G} M \over R^2}$

Solution :
Il est plus simple de procéder par induction, plutôt que de chercher des exposants $\alpha,\ \beta, \mathrm{\ et\ } \gamma$ qui satisfassent à :

$T \propto {\cal G}^\alpha M^\beta R^\gamma$

On écrit p.ex. que l'accélération normale d'un satellite en orbite circulaire à la distance est égale au champ gravitationnel :

${v^2 \over R} = {{\cal G} M \over R^2}$

D'où il sort une vitesse caractéristique (que l'on rencontre dans tout problème gravitationnel, à une constante numérique près que l'analyse dimensionnelle ne permet pas de calculer)

$v _{\mathrm{dyn}} \propto \sqrt{{\cal G} M \over R}$

Le temps dynamique ne peut être que de la forme

$t _{\mathrm{dyn}} \propto {R\over v _{\mathrm{dyn}}}$

et donc

$t _{\mathrm{dyn}} \propto \sqrt{R^3 \over {\cal G} M }$
Question 3
Aide :
Définir $\bar{\rho}$ en fonction de et

Solution :
La masse volumique moyenne est proportionnelle à la masse divisée par le volume :

$\bar{\rho } \propto {M\over R^3}$

et donc le temps dynamique s'exprime :

$t _{\mathrm{dyn}} \propto \sqrt{1\over {\cal G} \bar{\rho}}$
Question 4
Aide :
$1 {\,\mathrm{pc}} \simeq 3.1 \ 10^{16} {\,\mathrm{m}}$

Solution :
Les application numériques donnent :

- noyau cométaire : 31 400 s, soit presque 9 h

- la Terre : 5100 s, soit 1h 25min

- la Voie Lactée : $1.7\ 10^{16} {\,\mathrm{s}}$ , soit environ 500 millions d'années

La constante de temps dynamique d'un noyau cométaire est plus longue que celle de la Terre, car la masse volumique moyenne $\bar{\rho}$ est plus faible.

La constante de temps dynamique d'une galaxie représente une fraction non négligeable de l'âge de l'Univers. Elle donne l'ordre de grandeur de sa période de rotation moyenne.

La constance de temps dynamique pour la Terre représente l'ordre de grandeur d'une foultitude de phénomènes :
- la période typique d'un satellite en orbite basse (1h40 en fait)
- la durée typique d'un vol de missile balistique
- la durée typique de propagation d'une secousse sismique de l'épicentre du séisme aux antipodes
- un match de foot... mais ça c'est un hasard

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Exercice 'La vie du Soleil en 1 an seulement'

Question 1
Aide :
Aller chercher une calculatrice !

Solution :
Crédit : ASM

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Exercice 'Trigonométrie sphérique'

Question 1
Aide :
Dans ce cas, les déclinaisons sont nulles toutes les deux.

Aide :
Un peu de trigonométrie : $\sin 0 = 0$ et $\cos 0 = 1$ .

Aide :
Un peu plus de trigonométrie : comme $\cos u = \cos( -u)$ , ${\mathrm{acos}} (\cos u) = |u|$ .

Solution :
Les déclinaisons de A et B étant toutes deux nulles, la relation se réécrit simplement :

$d = {\mathrm{acos}} \left[\cos( \alpha _{\mathrm{A}} - \alpha _{\mathrm{B}}) \right]$

D'où la solution, évidemment simple :

$d = | \alpha _{\mathrm{A}} - \alpha _{\mathrm{B}}|$
Question 2
Aide :
Peut-être est-il utile de rappeler que $\cos(u-v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v$

Solution :
Avec des ascensions droites égales, la distance angulaire se réécrit :

$d = {\mathrm{acos}} \left[ \sin \delta _{\mathrm{A}} \sin \delta _{\mathrm{B}} + \cos \delta _{\mathrm{A}} \cos \delta _{\mathrm{B}} \right]$

Plus simplement :

$d = {\mathrm{acos}} \left[ \cos( \delta _{\mathrm{A}} - \delta _{\mathrm{B}}) \right]$

Soit

$d = | \delta _{\mathrm{A}} - \delta _{\mathrm{B}}|$

Là encore, le résultat est assez intuitif
Question 3
Aide :
Que devient dans ce cas la contribution du terme avec les ascensions droites ?

Aide :
Encore un peu de trigonométrie : $\cos(u+v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v$

Aide :
Moins courant, mais un cercle trigonométrique le justifie aisément : ${\mathrm{acos}}(-u) = \pi - {\mathrm{acos}} u$

Solution :
La solution

$d = {\mathrm{acos}} \left[ \sin \delta _{\mathrm{A}} \sin \delta _{\mathrm{B}} + \cos \delta _{\mathrm{A}} \cos \delta _{\mathrm{B}} \cos( \alpha _{\mathrm{A}} - \alpha _{\mathrm{B}}) \right]$

s'écrit dans ce cas, avec $\alpha _{\mathrm{A}} - \alpha _{\mathrm{B}} = \pi$ .

$d = {\mathrm{acos}} \left[ \sin \delta _{\mathrm{A}} \sin \delta _{\mathrm{B}} - \cos \delta _{\mathrm{A}} \cos \delta _{\mathrm{B}} \right] = \pi - {\mathrm{acos}} \left[ \cos \delta _{\mathrm{A}} \cos \delta _{\mathrm{B}} - \sin \delta _{\mathrm{A}} \sin \delta _{\mathrm{B}} \right]$

Et donc, dans ce cas :

$d = \pi - {\mathrm{acos}} [ \cos ( \delta _{\mathrm{A}} + \delta _{\mathrm{B}}) ] = \pi - | \delta _{\mathrm{A}} + \delta _{\mathrm{B}}|$

Si, de plus, les déclinaisons sont égales, on trouve alors

$d = \pi - 2\delta = 2 \, (\pi/2 - \delta)$

La distance angulaire, en passant par les pôles, est bien égale à 2 fois la colatitude ; la colatitude est le complément à $\pi/2$ (ou 90 deg) de la latitude.