Énoncé

En l'an 1867, Marco et Polo décident de réitérer l'exploit de Christophe Colomb et de traverser l'Atlantique sur leur radeau le « Kicoolpa », ils partent des côtes françaises à la mi-février. La traversée se déroule bien, sauf vers la fin où ils sont pris dans une terrible tempête. Durant cette tempête ils perdent une grande partie de leur matériel et échouent finalement sur une île inconnue le mardi 19 mars 1867 au soir.

Or ils ont réussi à sauver de la tempête un précieux Annuaire du Bureau des longitudes pour l'année en cours. Dans cet annuaire, ils trouvent (page 12), les éphémérides du Soleil à Paris au mois de mars

Seuls les instants des passages sont utiles pour notre problème.

Dans cette éphéméride les instants sont donnés en temps moyen du méridien de Paris, le Soleil apparent ne tournant pas uniformément autour de la Terre, l'instant du passage au méridien du lieu (midi au Soleil) exprimé en temps moyen diffère de 12h. Ainsi le 19 mars le Soleil passe au méridien (midi au Soleil) lorsque qu'une montre donnant l'heure en temps moyen de Paris indique 12h 8m 1s. Dans cette éphéméride, ils trouvent également (page 32) qu'une éclipse partielle de Lune aura lieu 20 mars 1867, avec les horaires suivants :

Cette éclipse n'est pas visible à Paris (il fait jour au moment de l'éclipse).

Polo a sauvé la montre gousset de son oncle Anatole, il l'avait mise à l'heure de Paris à son départ de France et a toujours pris soin de la remonter chaque jour, mais cette montre, très précise à Terre, à la fâcheuse habitude de prendre du retard lorsqu'elle est ballottée par les flots.

Dans la seconde partie de la nuit du 19 au 20 mars, ils observent le début de l'éclipse partielle de Lune, c'est-à-dire l'entrée de la Lune dans l'ombre de la Terre. La montre de l'oncle Anatole indique alors 7h 2m 17s. Ils ne peuvent observer la fin de l'éclipse, la Lune se couchant éclipsée.

Le jour suivant, ils construisent un gnomon, à l'aide d'un manche à balai planté verticalement dans le sol, à l'aide d'un cordeau, ils tracent un cercle autour du manche à balai et notent le matin et l'après-midi l'intersection de l'ombre du balai avec le cercle. La bissectrice de l'angle formé par ces deux directions leur donne la direction du méridien nord-sud du lieu.

Le lendemain, le 21 mars, jour de l'équinoxe de printemps, ils notent la longueur de l'ombre à l'instant où le Soleil passe par le méridien, à cet instant la montre de l'oncle Anatole indique 15h 57m 21s. Et le rapport de l'ombre du balai sur la longueur du balai est égal à 0,244. L'ombre est dirigée vers le nord.

Hourra ! S'écrit Marco, nous pouvons connaître notre latitude, notre longitude par rapport à Paris et je sais de combien retarde la montre de l'oncle Anatole.

Quelles sont les coordonnées de l'île et quel est le retard de la montre de l'oncle Anatole ?

On donnera la longitude par rapport au méridien de Paris et la latitude en degrés, minutes et secondes. Attention il faut donner les secondes pour que les résultats soient valables.

Le lendemain (22 mars) Marco décide de mettre sa montre à l'heure en temps moyen local de l'île au moment du passage au méridien du Soleil. Quelle heure affichera-t-il à sa montre à cet instant ?