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sexercerLa compression gravitationnelle au centre d'une étoile : S'exercer

calcotron

exerciceCompression gravitationnelle

Difficulté : ☆☆☆   Temps : 30 min

Le but de l'exercice est d'estimer la constante de proportionnalité de la compression gravitationnelle. Pour dépasser le stade d'une masse volumique uniforme, et rendre compte d'une distribution de masse volumique plus piquée vers le centre, tout en gardant des calculs acceptablement légers, on suppose le modèle suivant : \rho(r) = \beta \ r^\alpha.

On s'intéresse à des exposants légèrement négatifs, conduisant à une singularité au centre, qui ne prête pas à conséquence.

Question 1)

Déterminer la relation entre la masse totale M et le rayon extérieur R. En déduire l'expression du coefficient \beta en fonction de ces grandeurs.

AideSolution [2 points]

Question 2)

En déduire la masse m(r) et le champ gravitationnel en un point de rayon r. Quelle condition sur l'exposant \alpha garantit que le champ ne diverge pas ?

AideAideSolution [2 points]

Question 3)

L'équilibre hydrostatique donne le gradient de pression :

{ {\mathrm{d}} P \over {\mathrm{d}} r} = - \rho g

En déduire la pression centrale.

AideSolution [2 points]

Question 4)

Discuter de la forme du résultat précédent. Que se passe-t-il pour une distribution uniforme ?

AideAideSolution [1 points]

calcotron

exerciceAinsi fond, fond, fond...

Difficulté : ☆☆   Temps : 30 min

limbelunerelief.jpg

Le but de cet exercice est de modéliser la hauteur limite d'une montagne sur une planète de masse M et rayon R, pour en déduire la transition entre un objet sphérique et un autre ressemblant plutôt, comme les noyaux cométaires, à une grosse cacahuète.

On suppose très hardiment la montagne de forme cylindrique, section S et hauteur h, dans le champ gravitationnel uniforme de la planète.

Question 1)

Rappeler l'expression du champ gravitationnel g. Déterminer l'énergie supplémentaire pour rajouter au sommet une masse \Delta m, en fonction de g et h.

AideSolution [2 points]

Question 2)

En déduire la valeur limite de la hauteur h, pour laquelle la couche rajoutée au sommet va conduire à faire fondre une couche équivalente à la base de la montagne. L'exprimer en fonction de la chaleur latente de fusion des roches L _{\mathrm{f}}. Faire l'application numérique pour la Terre, avec L _{\mathrm{f}} = 250\ \mathrm{kJ} {\,\mathrm{kg}}^{-1}.

AideSolution [2 points]

Question 3)

Les plus hautes montagnes atteignent 8.8 km sur Terre (l'Everest) et 27 sur Mars (le Mont Olympe). A l'aide des données du calcotron, vérifier si l'estimation précédente est correcte.

Solution [1 points]

Question 4)

En supposant toujours valable le résultat précédent, et en notant \rho la masse volumique uniforme de la planète, en déduire le rayon minimum d'une planète sphérique, défini pour des montagnes de hauteur égale au rayon de la planète. Faire l'application numérique avec une masse volumique crustale (de la croûte terrestre) de 3\ 10^3 {\,\mathrm{kg}} {\,\mathrm{m}}^{-3}.

AideSolution [2 points]

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