L'Astronomie dans l'apprentissage des Mathématiques
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- Les outils mathématiques en astronomie

Ex: Précession du périastre

Auteur: S. Renner
Auteur: S. Renner
calcotron

exercicePrécession du périastre

Difficulté :    Temps : 1h30

On considère le mouvement d'un satellite de masse $m$ par rapport à un corps central de masse  $M$ et de rayon $R$. On note $a$ le demi-grand axe du satellite, r sa distance au corps central, et $e$ son excentricité supposée faible (e<<1).

Sous l'effet de sa rotation, le corps central est légèrement aplati aux pôles. En conséquence, le potentiel gravitationnel pour un satellite évoluant dans le plan équatorial est donné par : $$\displaystyle V(r)= - \frac{G M}{r} \Big{(} 1 + \alpha \frac{R^2}{r^2}  \Big{)},$$\alpha est une constante <<1 qui caractérise l'applatissement. On peut montrer qu'alors l'équation du mouvement du satellite s'écrit: $$\displaystyle \frac{d^2}{d\theta^2} \Big{(} \frac{1}{r} \Big{)} + \frac{1}{r} = \frac{GM}{C^2} + \frac{3 \alpha GM R^2}{C^2 r^2} \equiv K_1 + \frac{K_2}{r^2},$$\theta est la position angulaire du satellite sur sa trajectoire (anomalie vraie), et C=r^2 \dot{\theta} le moment cinétique.

Question 1)

Comparer K_1 et \frac{K_2}{r^2}, et en déduire que la trajectoire du satellite est peu modifiée sous l'effet de l'applatissement du corps central, par rapport au problème à 2 corps classique.

Solution

Question 2)

Montrer que la solution de l'équation du mouvement peut s'écrire: $$\displaystyle r = \frac{q}{1+e \cos (1+ \epsilon) \theta},$$ avec \epsilon <<1, et exprimer q et \epsilon en fonction de $a$, $e$, $R$ et \alpha.

Solution

Question 3)

Quelle est alors l'allure de la trajectoire? Exprimer l'avance \Delta \theta du périastre de la trajectoire, c'est-à-dire l'angle dont les axes de l'ellipse ont tourné après une révolution du satellite.

Solution

Question 4)

Déterminer:

a) l'avance du périgée d'un satellite artificiel d'altitude h=1000 km autour de la Terre ($R= 6378$ km, \alpha=542 \times 10^{-6}).

b) l'avance du périastre du satellite Pan (a=133583 km et période orbitale  T=0.575 jours) autour de Saturne (R=60268 km, \alpha=8149 \times 10^{-6}).

c) l'avance du périhélie de Mercure (a=0.387 UA \simeq 58 \times 10^{6} km, T \simeq 88 jours) autour du Soleil (R=696000 km, \alpha = 10^{-5}). La précession observée du périhélie de Mercure s'élève en fait à 43''/siècle. Commenter.

Solution

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