L'Astronomie dans l'apprentissage des Mathématiques
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- Algèbre

Les racines des polynômes de Legendre

Auteur: Alain Vienne

Auteur: Alain Vienne

En Mécanique Céleste, on est souvent conduit à utiliser les polynômes de Legendre que l'on note ici P_n .

C'est le cas, par exemple, dans le développement du potentiel terrestre. Si on suppose que la Terre est un sphéroïde, le potentiel peut s'écrire:

U(r,\varphi)=\frac{KM_T}{r} \ [1 - \sum_{m=1}^{\infty} J_{2m} (\frac{a_e}{r})^{2m}  P_{2m}(\sin\varphi) \ ]

K est la constante de gravitation de la Terre, M_T la masse totale de la Terre, a_e son rayon équatorial et J_{2m} des coefficients numériques. r et \varphi sont le rayon et la latitude du point pour lequel on évalue le potentiel U .

Un autre exemple d'utilisation est de considérer 2 corps M et M' décrivant autour d'un centre P des orbites proches d'un mouvement elliptique. Pour décrire les perturbations (gravitationnelles) entre M et M', on doit écrire l'inverse de la dsitance entre M et M', 1/\Delta, en fonction de leurs éléments d'orbite. On montre facilement que:

\frac{1}{\Delta} = \frac{1}{r'} (1-2\rho \cos S + \rho^2)^{-1/2}

Avec r=PM, r'=PM', \rho = r/r' et S l'angle entre M et M' vu de P.

Cette dernière expression est développée en puissance de \rho grâce aux polynômes de Legendre:

(1-2\rho \cos S + \rho^2)^{-1/2} =  \sum_{n=0}^{\infty} \rho^n  P_n(\cos S)

Ce développement est rapidement convergent si \rho est petit. C'est le cas si, par exemple, M est la Terre, P le Soleil et M' un satellite artificiel.

Plus de détails de ces développement peuvent être vus dans le cours de Mécanique Céleste de Luc Duriez.

Les polynômes de Legendre ont de nombreuses propriétés. Celle que nous allons utiliser dans l'exercice qui suit est la formule de Rodrigues:

P_m(x)=\frac{1}{2^m \  m!} \  \frac{d^m}{dx^m} (x^2-1)^m

Cette formule va nous permettre de montrer que l'équation P_m(x)=0 a toutes ses racines dans [-1,+1] et en a m distinctes.

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