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Ex: Les racines des polynômes de Legendre |
Les racines des polynômes de LegendreDifficulté : ☆☆ Temps : 1h (pour une rédaction correcte)
Les polynômes de Legendre, bien connus en Mécanique Céleste, peuvent se déterminer par la formule de Rodrigues:
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a toutes ses racines dans ![[-1,+1]](../pages_poly/equations_poly/equation59.png)
et en a 
distinctes.
a 
racines. Elles sont non disctinctes car il s'agit de 
et 
chacune d'elles étant d'ordre 
.
et 
pour tout 
, où
sur l'intervalle ![[-1,+1]](../pages_poly/equations_poly/equation70.png)
qui s'annulle en 
, 
et 
(ces trois racines sont distinctes)
sur l'intervalle ![[-1,x_{1,1}]](../pages_poly/equations_poly/equation76.png)
, puis sur ![[x_{1,1},+1]](../pages_poly/equations_poly/equation77.png)
. On a donc les racines 
, 
, 
et 
(ces quatres racines sont distinctes). Rédigez ensuite la récurrence. Une rédaction propre n'est pas si aisée. Faites la avec soin et choissisez bien vos notations (par exemple, bien différencier l'indice du polynôme et l'indice de la récurrence).