Formulation hamiltonienne du problème

Le Hamiltonien

finalement obtenu s'écrit :
$H = \frac{1}{2} (P_1^2 + P_2^2) + P_1 Q_2 - P_2 Q_1 - \left(\frac{1- \mu}{R_1} + \frac{\mu}{R_2}\right)$
avec comme équations associées :

$\left\{\begin{array}{ll}\dot{Q_1} = \frac{\partial H}{\partial P_1} & \dot{P_1} = - \frac{\partial H}{\partial Q_1} \\\dot{Q_2} = \frac{\partial H}{\partial P_2} & \dot{P_2} = - \frac{\partial H}{\partial Q_2} \end{array}\right.$
Les variables Q_1

se rapportent à la position de la particule, P_1

sont leurs variables dites "conjuguées" et sont liées à la vitesse de la particule. Le Hamiltonien

représente en fait l'énergie du système. Théoriquement, il doit donc être conservé au cours du mouvement. On dit alors qu'il constitue une intégrale première du mouvement. Explicitement, les équations du mouvement sont donc :
$\left\{\begin{array}{l}\dot{Q_1} = P_1 + Q_2 \\\dot{Q_2} = P_2 - Q_1 \\ \dot{P_1} = P_2 +(1-\mu) \cdot \frac{\partial}{\partial Q_1}(1/R_1) + \mu \frac{\partial}{\partial Q_2} (1/R_2) \\ \dot{P_2} = -P_1 +(1-\mu) \cdot \frac{\partial}{\partial Q_1}(1/R_1) + \mu \frac{\partial}{\partial Q_2} (1/R_2)\end{array}\right.$
où
$\left\{\begin{array}{l}R_1 = \sqrt{ (Q_1 + \mu )^2 +Q_2^2 } \\ R_2 = \sqrt{ (Q_1 + \mu - 1)^2 +Q_2^2 }\end{array}\right.$

Présentation du problème (2/3)

Formulation hamiltonienne du problème