Caracterisation et détermination des courbes de vitesse nulle

L'expression de l'Hamiltonien peut se réécrire sous une forme différente, en réintroduisant les vitesses relatives dans le référentiel en rotation accent(Q_1;.)

, on obtient alors :
H=(1/2)*( (P_1+Q_2)^2 + (P_2-Q_1)^2 ) - (1/2)*(Q_1^2+Q_2^2)-((1-mu)/R_1 + mu/R_2 )

Puisque

, et que la courbe de vitesse nulle s'écrit
V^2=accent(Q_1;.)^2+accent(Q_2;.)^2

,
nous obtenons :
V^2=accent(Q_1;.)^2+accent(Q_2;.)^2=(Q_1^2+Q_2^2)+2*((1-mu)/R_1 + mu/R_2) +2*H

Or, nous avons l'intégrale de Jacobi (lien) qui vaut J=-2H. L'équation de la courbe de vitesse nulle est donc la suivante :
V^2=((Q_1)^2+(Q_2)^2)+2*( (1-mu)/R_1 + mu/R_2) - J

Cette expression devant être toujours positive, on voit que pour une valeur fixée de J, le plan (Q₁,Q₂) sera partagé en plusieurs régions:

Celles où l'équation précédente est négative sont des zones où le mouvement n'est pas possible, ce sont des zones interdites.
Les points (Q₁,Q₂) pour lesquels l'expression précédente s'annule forment les séparatrices appelées "courbes de vitesse nulle". Notons que ces séparatrices ne sont pas interdites ! En effet, le fait que la vitesse s'y annule ne signifie pas que l'accélération soit elle aussi nulle. Les trajectoires de la particule peuvent donc passées par un point de ces courbes, où elles sont tangentes.

Bien entendu, ces courbes ne sont visible que dans le repère tournant.

Pour une même valeur du paramètre de masse (ici mu=0.1), il y a cinq types de comportements possibles :

Pour une faible valeur de J (ici J<2.91), tout l'espace est accessible.
Lorsque la valeur de l'intégrale de Jacobi (J) augmente, deux zones interdites symétrique se développent autour des points de Lagrange et .
Lorsqu'on augmente encore J, ces deux zones se rejoignent autour de .
Puis, ces deux zones se rejoignent aussi de l'autre côté, c'est-à-dire autour de . Le plan (Q₁,Q₂) est alors séparé en deux régions qui ne peuvent communiquer entre elles. Si la sonde est lâchée au voisinage d'un des deux corps massif, elle ne peut s'échapper.
Pour des valeurs toujours plus grandes de J, la zone interdite sépare le voisinage de de celui de . La sonde est alors confinée au voisinage d'une seule des deux masses.

Courbes de vitesse nulle (1/2)

Caracterisation et détermination des courbes de vitesse nulle